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1. 개요
항등원(恒等元, identity element)은 임의의 원소(실수, 다항식, 행렬, 벡터 등)에 특정 연산을 했을 때 재귀시키는 원소를 말하며, 역원(逆元, inverse element)은 연산 결과 항등원이 나오게 하는 원소를 말한다.2. 정의
집합 [math(S)]와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 [math(* : S \times S \to S)]가 있을 때, 어떤 [math(e \in S)]가 다음을 만족한다고 하자.- 임의의 [math(x(\in S))]에 대해, [math(e * x = x)]이다.
- 임의의 [math(x(\in S))]에 대해, [math(x * e = x)]이다.
또한 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*a = e )]을 만족하는 [math(a)]를 역원이라고 한다. 보통 [math(a=x^{-1})]로 표기한다.
항등원은 보통 [math(e)]로 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동에 주의.
항등원이 존재할 경우, 항등원은 유일하다. [math(e_1)]과 [math(e_2)]가 항등원이라 하면 [math(e_1 = e_1 * e_2 = e_2)]가 되기 때문이다.
2.1. 수에서의 항등원과 역원
- 덧셈에서의 항등원은 0이다. 덧셈의 항등원은 달리 영원이라고도 한다.
- 곱셈에서의 항등원은 1이다. 곱셈의 항등원은 달리 일원이라고도 한다.
- 덧셈의 역원은 부호가 반대인 수(반수)이다. ([math(a + (-a) =0)])
- 곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수(역수)이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])
- 0은 뺄셈의 우항등원, 1은 나눗셈의 우항등원이다.
한편, 항등원은 존재하지만 역원이 존재하지 않는 군은 모노이드라고 한다. 대표적으로 0을 포함하는 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.
2.2. 멱등원
동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 행한 원소가 원래의 원소와 동일한 경우, 그 원소를 멱등원(冪等元, idempotent element)이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다. 위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다. 이를 통해 알 수 있는 사실은, 멱등원은 제곱해도 그 값이 변하지 않는다는 것이다.어떤 연산의 항등원은 정의에 의해 해당 연산의 멱등원이지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, [math(0)]은 [math(0 \cdot 0 = 0)]에서 곱셈에 대한 멱등원이지만, 곱셈에 대한 항등원은 아니다.
2000년대 KTF의 광고 '쇼 곱하기 쇼는 쇼'(쇼 x 쇼 = 쇼)가 적절한 예시이다. 다항식 '쇼n = 쇼'처럼 거듭제곱을 몇 번이나 해도 결과가 같다. 쇼의 값은 0 또는 1인 셈인데, 공교롭게도 두 숫자는 이진법에서 쓰인다.
3. 예시
| [math( S )] | [math( *:S \times S \to S )] | [math( e \in S )] | [math( S^{-1} )] | [math(S^2=S)] |
| 행렬의 집합 | 덧셈 | 영행렬 | 부호가 반대인 행렬 | 영행렬 |
| [math( n \times n )] 행렬의 집합 | 행렬곱 | [math( n \times n )] 단위행렬 | 역행렬[2] | 멱등행렬 |
| 함수의 집합 | 함수의 합성 | 항등함수 | 역함수[3] | 멱등함수 |
4. 중등교육과정
2007 개정 교육과정까지 '집합과 수 체계' 단원에 포함되어 있었으나, 2009 개정 교육과정에서 행렬이 탈락되면서 함께 사라졌다. 2022 개정 교육과정의 공통수학1에 행렬은 다시 편제되었으나 항등원과 역원은 재포함되지 않았다.[1] 참고로 집합 [math(S)]에 좌항등원 [math(e_\mathrm{left})]와 우항등원 [math(e_\mathrm{right})]가 모두 존재한다면 [math(e_\mathrm{left} = e_\mathrm{left} * e_\mathrm{right} = e_\mathrm{right})]에서 둘은 서로 같고, 양쪽 항등원이다. 후술할 항등원의 유일성에 의해 이는 [math(S)]의 유일한 항등원이기도 하다.[2] 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.[3] 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.