1. 개요
cubic equation · 三次方程式미지수의 최고 차항이 3인 방정식. 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math( ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad )](단, [math(a \neq 0)])
2. 해법
2.1. 인수분해 가능할 때
삼차방정식은 삼차함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(x)=0)]으로 나타낼 수 있으며,세 일차식 [math(A(x))], [math(B(x))], [math(C(x))]의 곱으로 인수분해 된다면, 즉 [math(A(x)B(x)C(x)=0)]이면, 그 해는
[math( A(x)=0 \, {\sf{or}} \, B(x)=0 \, {\sf{or}} \,C(x)=0)]
으로 세 일차방정식으로 풀면 된다.
다만, 일차식 [math(D(x))]와 이차식 [math(E(x))]의 곱으로 인수분해된다면, 즉 [math(D(x)E(x)=0)]이면, 그 해는
[math( D(x)=0 \, {\sf{or}} \, E(x)=0)]
으로 일차방정식과 이차방정식을 각각 풀면된다.
2.1.1. 인수분해 방법
나머지 정리에 의거하여, [math(x-\alpha)]가 삼차식 [math(f(x))]의 인수로 가진다면, [math(f(\alpha)=0)]임을 이용한다.즉, 적당한 [math(\alpha)]를 식에 대입하여 등식이 성립하는지 보고, 삼차식의 형태를 다음과 같이 추론한다.
[math( f(x)=(x-\alpha)F(x) )]
[math(F(x))]는 이차식이며, [math(F(x))]는 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 함으로써 얻는다.
그런다음 이차식 [math(F(x))]를 인수분해하면 된다. 이차식의 인수분해 방법은 삼차식 보다는 간단하기 때문에 따로 적지는 않는다.
2.2. 인수분해가 가능하지 않을 때
삼차방정식의 일반적인 꼴[math( ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad )]
에서 양변을 [math(a)]로 나누고, 취른하우스 정리에 따라
[math( x=t-\dfrac{b}{3a} \quad \cdots \, \small{(\ast)} )]
를 대입하고 정리하면,
| [math(\begin{aligned} t^3 + {\biggl \{\frac ca - \frac13{\biggl (\frac ba\biggr)}^2\biggr\}}t + \frac2{27}{\biggl (\frac ba\biggr)}^3 - \frac{bc}{3a^2} + \frac da = 0\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \dfrac ca - \dfrac13{\biggl (\dfrac ba\biggr)}^2 &= p \\ \dfrac2{27}{\biggl (\dfrac ba\biggr)}^3 - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac da &= q \end{aligned} )] |
| [math(t^3 + pt + q = 0)] |
적당한 두 수 [math(u)], [math(v)]가 있어, [math(t = u + v )]로 표현할 수 있다 가정하자. 단, [math(u + v \ne 0)], [math(u)], [math(v)]는 복소수이다. 이를 식에 대입하여 정리하면,
| [math(\begin{aligned} (u^3 + v^3 + q) + (u+v)(3uv + p) = 0\end{aligned})] |
| [math(\begin{cases} u^3 + v^3 + q = 0 \\ 3uv + p = 0 \end{cases})] |
| [math(\begin{aligned} (u^3)^2 + qu^3 - {\biggl (\frac p3\biggr)}^3 = 0 \end{aligned})] |
| [math(u^3 = -\dfrac q2\pm\sqrt{{\biggl (\dfrac q2\biggr)}^2 + {\biggl (\dfrac p3\biggr)}^3})] |
[math(u^3 = \alpha \quad \leftrightarrow \quad u^3 - \alpha = 0)]
이며 이 방정식은 다음과 같이 인수분해되며
[math(u^3 - \alpha = {(u - \sqrt[3]\alpha)}{(u^2 + \sqrt[3]\alpha u + {\sqrt[3]\alpha}^2)} = 0)]
복소수를 포함한 근이 얻어지는데
| [math(u = \begin{cases} \sqrt[3]\alpha \\ \dfrac{-1+\sqrt3i}2\sqrt[3]\alpha \\ \dfrac{-1-\sqrt3i}2\sqrt[3]\alpha\end{cases})] |
로 나타내면
[math(u = \begin{cases} \sqrt[3]\alpha \\ \omega\sqrt[3]\alpha \\ \omega^2\sqrt[3]\alpha \end{cases})]
로 간단하게 나타낼 수 있다. 한편, [math(v)]에 관하여, [math(3uv = -p)]에서 [math(p)]가 실수이므로 [math(u)]의 복소 계수 근은 [math(v)]와의 곱에 의해 실수화 되어야 한다. [math(\alpha)]의 켤레근을 [math(\beta)]라고 하면 [math(u)]의 각 경우에 관하여
[math(v = \begin{cases} \sqrt[3]\beta \\ \omega^2\sqrt[3]\beta \\ \omega\sqrt[3]\beta \end{cases})]
가 되며 이를 종합하여 정리하면 [math(t)]의 근은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math(\begin{aligned} t &= u + v \\ &= {\biggl (\frac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^k\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{{\biggl (\frac q2\biggr)}^2+{\biggl (\frac p3\biggr)}^3}} + {\biggl (\frac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^{3-k}\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{{\biggl (\frac q2\biggr)}^2+{\biggl (\frac p3\biggr)}^3}} \quad (k=0,\,1,\,2) \end{aligned})] |
2.2.1. 환원 불능
[math(u^3)]과 [math(v^3)]에 관한 이차방정식에서 판별식 [math(D)]가| [math(\begin{aligned} D &= {\biggl(\frac q2\biggr)}^2 + {\biggl(\frac p3\biggr)}^3 \\ &= {\biggl\{\frac c{3a}-\frac19{\biggl(\frac ba\biggr)}^2\biggr\}}^3 + {\biggl\{\frac1{27}{\biggl(\frac ba\biggr)}^3-\frac{bc}{6a^2}+\frac d{2a}\biggr\}}^2 \\ &= \frac{27a^2d^2-b^2c^2+4ac^3+4b^3d-18abcd}{108a^4}<0 \end{aligned})] |
아울러 [math(D = 0)]이면 중근 혹은 삼중근, [math(D>0)]이면 실근 한 개와 두 허근을 갖는다. 전술한 것처럼 해의 형태가
| [math(\omega^k\sqrt[3]\alpha+\omega^{3-k}\sqrt[3]\beta)] |
| [math(k=0 \quad \rightarrow \quad \omega^3 = \omega^0 = 1)] |
이를테면 다음과 같은 방정식
| [math(x^3 - 15x - 4 = 0)] |
| [math((x - 4)(x + 2+\sqrt3)(x + 2-\sqrt3) = 0)] |
| [math(D = (-2)^2 + (-5)^3 = -121<0)] |
| [math(x = {\biggl(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^k\sqrt[3]{2+11i} + {\biggl(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^{3-k}\sqrt[3]{2-11i} \quad (k=0,\,1,\,2))] |
이 경우엔 다음과 같이 해결이 된다. 우선 [math(k=0)]이면 두 세제곱근 항의 계수가 [math(1)]이 되므로 근은 세제곱근의 합임을 알 수 있는데 앞서 [math(u^3)]과 [math(v^3)]이 켤레근의 관계에 있다는 점에 착안하여, 두 세제곱근 역시 각각 켤레복소수의 관계에 있다고 가정하면 [math(\sqrt[3]{2\pm11i} = a\pm bi)]이며 두 세제곱근의 합이 [math(x = 4)]를 나타내는 것이라고 할 수 있으므로 [math(a = 2)]이고, 양변을 세제곱해서 [math(b)]를 구하면 [math(b = 1)]이 된다. 즉 위의 해는
| [math(x = {\biggl(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^k(2 + i) + {\biggl(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\biggr)}^{3-k}(2 - i) \quad (k=0,\,1,\,2))] |
3. 근과 계수의 관계
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[비에트의 정리#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[비에트의 정리#|]][[비에트의 정리#|]] 부분을삼차방정식
[math( ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad )](단, [math(a \neq 0)])
의 세 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned} -\frac ba &= \alpha+\beta+\gamma \\ \frac ca &= \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \\ -\frac da &= \alpha\beta\gamma\end{aligned})] |
4. 기하학적 의미
삼차방정식은 삼차함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(x)=0)]으로 나타낼 수 있으며, 결국 그래프 [math(y=f(x))]와 [math(x)]축이 만나는 교점의 [math(x)]좌표가 방정식의 근이 된다.5. 근의 형태
삼차방정식의 근의 형태의 조사를 하려면 극값의 정의와 미분을 이해하여야 한다.우선 삼차함수 [math(f(x))]에 대하여 그 도함수 [math(f'(x))]를 고려하자.
이차방정식 [math(f'(x)=0)]의 두 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자.
우선 [math(\alpha \neq \beta)]임을 가정한다. [math(\alpha=\beta)]일 때는 독자들의 몫으로 남겨둔다.
5.1. 세 실근을 가질 때
이 경우에는 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다. 따라서[math( f(\alpha)f(\beta)<0 )]
5.2. 한 실근과 두 허근을 가질 때
이 경우에는 한 극값이 0이다. 따라서[math( f(\alpha)f(\beta)=0 )]
5.3. 세 허근을 가질 때
이 경우에는 극댓값과 극솟값의 부호가 같다. 따라서[math( f(\alpha)f(\beta)>0 )]
6. 기타
6.1. 삼차 디오판토스 방정식
| <nopad> |
| 한때 화제가 되었던 과일 분수방정식 문제[3] |
저 문제를 푼 Alon Amit이 삼차방정식을
심오한 이론의 거대한 바다와 수백만 가지의 미해결 문제.
a vast ocean of deep theory and a million open problems.
라고 할 정도로 정수론의 주요하면서도 쉽사리 볼 수 없는 대상이다.[5] 덧붙여 4차 이상부터는 Alon Amit이 정말로 어렵다고 딱 잘라 얘기하기도 했다.a vast ocean of deep theory and a million open problems.
[1] 유리수로 된 해가 있는지를 알아내려면 유리근 정리와 가우스의 다항식 보조정리를 이용해야 한다. 그러나 저 두 이론도 유리근의 후보를 제시하는 것 뿐이라 하나하나 대입해봐야 근인지 아닌지 알 수 있다.[2] 식 하나에 실수부와 허수부의 계수 2개가 들어간 삼차방정식을 또 풀어야 하기 때문에 풀리지 않는다.[3] 에르되시 번호가 2인 Alon Amit이 풀었는데, 해의 자릿수가 무려 79~81자리나 되었다.[4] Alon Amit의 풀이를 보면 알겠지만 타원곡선 교점을 찍어 푸는 노가다를 9번이나 해야 한다.[5] 참고로 1~2차는 각각 초 간단, 공부 조금만 해도 쉽게 풂이어서 취급이 아예 넘사벽이다.