1. 정의
체(體, field)는 대수적 구조의 하나로, 포함 원소끼리의 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)의 결과값을 항상 포함하는 집합을 의미한다. 이를 해당 연산에 대해 닫혀 있다고 말한다. 단, 0으로 나누기는 제외한다. 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 [math(\mathbb Q)], 실수의 집합 [math(\R)], 복소수의 집합 [math(\mathbb C)]가 있다. 그래서 이들이 체라는 것을 강조하고 싶을 때에는 각각 유리수체, 실수체, 복소수체라고 부르기도 한다. 그러나 정수의 집합 [math(\Z)]는 체가 되지 않는데, 정수 사이의 덧셈, 뺄셈, 곱셈까지는 언제나 원활하게 수행할 수 있지만 아무런 두 정수나 뽑아서 나눗셈을 했을 때에는 나머지가 발생하여 그 결과값이 유리수, 즉 정수 집합을 벗어나는 경우도 있기 때문이다. 자연수의 집합 [math(\N)]의 경우는 나눗셈은커녕 뺄셈부터 음수의 발생으로 인해 불가능한 경우가 허다하므로 당연히 체가 되지 않는다.어떤 집합 [math(F)]가 체가 되기 위해서는 다음 10가지의 조건을 만족시켜야 한다.[1]
- 집합 [math(F)] 위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.
- (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
- (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
- (A3) 덧셈의 항등원 [math(0)]이 존재한다.
- (A4) [math(F)]의 모든 원소 [math(a)]에 대해 역원 [math(-a)]가 존재한다. 따라서 뺄셈도 항상 가능하다.[2]
- (M1) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.[3]
- (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 따라서 곱셈만 있는 식에서도 괄호를 쓰지 않아도 된다.
- (M3) 곱셈의 항등원 [math(1(1\ne0))]이 존재한다.[4][5]
- (M4) [math(F)]의 [math(0)]이 아닌 모든 원소 [math(a)]에 대해 역원 [math(a^{-1})]가 존재한다. 따라서 [math(0)] 이외의 수로는 항상 나누기를 할 수 있다. 즉, 체에서는 나머지가 존재해서는 안 된다.
- (D) 덧셈과 곱셈에 대해 좌우 분배법칙이 모두 성립한다.
(Th) 단위원 [math(1_R)]을 지니는 가환환 [math(R)]에서 임의의 원소 [math(a(\ne0_R)\in R)]에 대하여, [math(ax=1_R)]을 만족하는 [math(x\in R)]이 존재하는 가환환 [math(R)]은 체이다.
이것이 위의 10가지 조건과 동치임은 조금만 생각해 보면 쉽게 보일 수 있다.[6]역대 수학 천재들의 목록을 나열해 본다면 절대로 빼놓을 수 없는 수학자가 바로 갈루아이다. 이 사람이 바로 체에 관한 이론을 연구하여 아벨이 기존에 증명하였던 것과는 다른 방식으로 5차 이상의 다항식에 대해서는 근의 공식이 존재하지 않는다는 것을 증명하였다.[7] 갈루아는 체와 군 사이에 존재하는 미묘하고도 심오한 관계를 사용하여 증명을 할 수 있었다. 이에 관한 자세한 설명은 갈루아 이론 문서 참고.
어떤 체의 경우에는 [math(1)]을 더하다 보면 [math(0)]이 나오는 경우가 있다. 체 [math(F)]에서 [math(1)]을 [math(p)]번 더했을 때 [math(0)]이 되도록 하는 가장 작은 자연수 [math(p)]를 [math(F)]의 지표(characteristic)라고 한다. 유리수체 [math(\mathbb Q)], 실수체 [math(\R)], 복소수체 [math(\mathbb C)]의 경우에는 아무리 [math(1)]을 여러 번 더해도 [math(0)]이 되지 않는데, 이런 체의 지표는 [math(0)]으로 정의한다. 지표가 [math(0)]이 아닌 체의 예시로는 유한체가 있다. 지표가 [math(p\ne0)]인 체 [math(F)]에서는 임의의 원소 [math(x\in F)]에 대해
[math(\underbrace{x+x+{\cdots}+x}_{p}=\underbrace{1x+1x+{\cdots}+1x}_{p}=(\underbrace{1+1+{\cdots}+1}_{p})x=0x=0)]
에서 [math(\underbrace{x+x+{\cdots}+x}_{p}=0)]이 성립한다. 한편, 지표 [math(p)]가 0이 아닌 경우, [math(p)]는 항상 소수이어야 한다. 그렇지 않다면, [math(p = ab)]이며 1보다 큰 두 정수 [math(a)], [math(b)]가 있을 것이며, 지표의 정의에 의하여 [math(a \cdot 1)]과 [math(b \cdot 1)]은 둘 다 0이 아니나, [math((a \cdot 1) \cdot (b \cdot 1) = (ab) \cdot 1 = p \cdot 1 = 0)]이 되어 체가 되기는커녕 정역(integral domain)도 되지 않는다는 모순이 생기기 때문이다. 이에 더해, 지표가 소수인 체 중에서도 지표가 2인 체 [math(F_2)]는 다른 체들과 달리 꽤나 특수한 성질을 지니고 있기 때문에 논외로 처리하는 경우가 많다.
2. 예시
위에서 이미 언급한 유리수체, 실수체, 복소수체 이외에도 체가 되는 집합을 다양하게 만들어 낼 수 있다. 본 항목에서는 체의 예시 중 중요한 것들 몇 가지에 대해 간단히 설명한다.2.1. 유한체(finite field)
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[유한체#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[유한체#|]] 부분을}}}2.2. 분수체(field of fractions)
몫체(field of quotients)라고도 한다. 간단히 말해, 정수환 [math(\Z)]로부터 유리수체 [math(\mathbb Q)]를 만드는 과정을 일반화한 것이다. 아래 내용을 읽기 전에 먼저 유리수의 구성 방법에 대해 읽고 오기를 권장한다.정역(integral domain) [math(D)]에 대하여 집합 [math(F)]를 [math(F:=(D\times(D\setminus\{0\}))/\sim)]와 같이 정의한다. 여기에서 동치관계 [math(\sim)]는 다음과 같이 정의한다.
이제 이렇게 정의한 집합 [math(F)] 위에 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]를 아래와 같이 정의하자.
따라서 [math((F,+,\cdot))]는 체라는 결론을 얻는다. 여기에 더해서 [math(D)]가 [math(F)]의 자연스러운 부분환이 됨을 증명할 수 있는데, 이는 자연스러운 매장(imbedding) [math(i:D\to F)]를 [math(i(a)=\left[(a,1)\right])]로 정의하면 된다. |
2.3. 체 확장(field extension)
대한민국의 중, 고등학교에서 6년 동안 수학 공부를 해온 사람이라면 아마도 [math(a+b\sqrt2)](단, [math(a,b)]는 유리수) 꼴의 수라는 표현에 매우 익숙할 것이다. 아마 이러한 표현을 보는 순간, 무리수 상등이라는 단어도 같이 떠오를 것이다. 정의에 따라 이런 꼴의 수만 모아놓아 만든 집합도 체가 된다. 고등학생은 이미 [math(a+b\sqrt2)] 꼴의 수를 서로 더하고, 빼고, 곱하여도 언제나 다시 똑같은 꼴의 숫자가 되지, 갑자기 [math(a+b\sqrt3)] 꼴의 수가 튀어나올 수는 없다는 것을 이미 잘 알고 있다. 게다가 나눗셈을 하는 경우에도 아무런 문제가 없는데, 다음과 같이 역수를 취해도 [math(\bigl(a+b\sqrt2\bigr)^{-1}=\dfrac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2})]에서 여전히 [math(a+b\sqrt2)] 꼴의 수가 되기 때문이다. 따라서 이러한 꼴의 수들을 모두 모아 놓은 집합은 체가 된다.이제 이 집합에 이름을 붙여주고자 한다면 어떻게 하는 것이 좋을까? [math(a+b\sqrt2)](단, [math(a,b)]는 유리수) 꼴의 수들의 집합은 간단하게 생각해 보면 유리수의 집합 [math(\mathbb Q)]에 새로운 원소 [math(\sqrt2)]를 추가한 것과 같다. 물론, [math(\sqrt2)]라는 원소 단 하나만을 추가해 줬다면, 그건 체가 될 수 없다. 체는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있어야 하므로, [math(\sqrt2)]라는 원소를 체에 추가해 주려면, 동시에 [math(b\sqrt2)](단, [math(b)]는 유리수) 꼴의 수도 모두 추가해 줘야 할 것이고, 따라서 [math(a+b\sqrt2)](단, [math(a,b)]는 모두 유리수) 꼴의 수를 모두 추가해야만 한다. 그러므로 우리가 설명하고자 하는 집합은 [math(\mathbb Q)]라는 체가 [math(\sqrt2)]라는 원소를 포함하도록 확장하려고 할 때 자연스럽게 얻어지는 체라는 것을 알 수 있고, 이를 간단하게 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2\bigr))]로 표기할 수 있다.
이와 같이 새롭게 얻어진 체 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2\bigr))]를 [math(\mathbb Q)]의 체 확장이라고 부른다. 이것을 알고 나면, 비슷하게 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt3\bigr))]이라는 체도 쉽게 생각할 수 있을 것이다. 더 나아가서, 원소를 여러 개 덧붙여 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2,\sqrt3\bigr))]이라는 체도 생각해 볼 수 있다. 이는 [math(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)](단, [math(a,b,c,d)]는 모두 유리수) 꼴의 수들을 모두 모은 집합이 된다. 또한, [math(\R(i))]는 [math(\mathbb C)]와 같다는 것도 어렵지 않게 이해할 수 있다.
2.4. 분해체(splitting field)
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의 [[분해체#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[분해체#|]] 부분을}}}이제 조금 다른 방향에서 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2\bigr))]를 생각하자. 이때의 키워드는 바로 다항식의 인수분해이다. [math(x^2-2)]라는 다항식을 생각해 보자. 이 다항식의 해는 유리수가 아니므로, 이 다항식을 유리계수 일차다항식 두 개의 곱으로 인수분해하는 것은 절대로 불가능할 것이다. 이처럼 어떤 체에서 더 이상 인수분해할 수 없는 다항식이 있는 경우라면, 언제나 그 체를 확장하여 그 다항식의 해를 가지는 새로운 체를 만들어 낼 수 있다! 그런 체를 만드는 방법은 무엇일까? 바로 다항식의 나머지를 취하는 것이다.
우선, 모든 유리계수 다항식을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb Q[x])]로 표기한다. 그리고 인수분해하고자 하는 다항식은 바로 [math(x^2-2)]이다. 이제 우리는 [math(\mathbb Q[x])]의 원소들 중, [math(x^2-2)]로 나눈 나머지가 같은 원소들은 그냥 서로 동일한 것이라고 생각한다. 예를 들어, [math(x^2+x+1)]을 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지는 [math(x+3)]이므로, [math(x^2+x+1\equiv x+3)]으로 취급한다. 그렇게 하고 나면, 어떤 다항식이든 이차다항식으로 나눈 나머지는 일차 이하의 다항식이므로, [math(\mathbb Q[x])]의 모든 원소를 어떤 1차 이하의 다항식 [math(a+bx)](단, [math(a,b)]는 유리수)과 동일한 것이라고 생각할 수 있다. 이 다항식 사이의 덧셈, 뺄셈은 그냥 평범한 다항식의 덧셈, 뺄셈을 사용한다. 두 다항식 사이의 곱을 하고 나면 2차 다항식이 만들어질 수도 있는데, 그 경우에는 다시 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지를 취한다. 즉, [math(x\cdot x)]는 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지가 [math(2)]이므로 [math(x)]라는 다항식을 제곱하면 그것은 [math(2)]가 된다. 마지막으로 나눗셈을 하는 방법을 알아야 하는데, 이것은 조금 복잡하다. 그렇지만 [math(x^2-2)]라는 다항식이 [math(\mathbb Q)]에서는 인수분해가 불가능하다는 사실을 잘 사용하면 어떤 다항식의 역수에 해당하는 다항식을 찾아내는 것도 가능하다. 예를 들어, [math((x)^{-1}\equiv\dfrac{1}{2}x)]이다. 이는 [math(x\cdot\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{1}{2}\bigl(x^2-2\bigr)+1\equiv1)]에서 옳은 식임을 확인할 수 있다. 따라서, 이렇게 [math(\mathbb Q[x])]에서 [math(x^2-2)]으로 나눈 나머지가 같은 다항식은 같다고 선언한 집합(기호로는 [math(\mathbb Q[x]/\bigl(x^2-2\bigr))]로 쓴다.)은 사칙연산이 잘 정의되므로, 체가 된다. 길게 설명했지만 사실 이 체는 위에서 설명한 [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2\bigr))]와 동일하다. 왜냐하면 [math(x^2-2)]로 나눈 나머지 다항식들의 곱셈과 나눗셈에서 [math(x)]라는 기호는 마치 [math(\sqrt2)]처럼 작용하기 때문이다. 우리는 이미 위에서 [math(x\cdot x\equiv2)]라든지, [math((x)^{-1}\equiv\dfrac{1}{2}x)]라든지 하는 식으로부터 [math(x)]라는 기호가 실은 [math(\sqrt2)]처럼 작동하는 것을 이미 확인했다. 정리하자면, 우리는 [math(\sqrt2)]라는 수의 존재를 전혀 알지 못하고도, [math(x^2-2)]라는 다항식이 해를 가지는 [math(\mathbb Q)]의 체 확장을 이야기함으로써, [math(\mathbb Q\bigl(\sqrt2\bigr))]를 만들어낼 수 있다. 이렇게 새로운 체에서는 [math(x^2-2)]를 분해할 수 있으므로, [math(\mathbb Q[x]/\bigl(x^2-2\bigr))]를 [math(x^2-2)]의 분해체라고 부른다.
어떤 다항식이 그 체에서 인수분해되지 않는다는 것만 확인한다면 동일한 일을 반복할 수 있다. 예를 들어, [math(x^2+x+1)]라는 다항식이 해를 가지는 [math(\mathbb Q)]의 체 확장을 만들고 싶다면, 유리 계수 다항식을 모두 모아놓고, [math(x^2+x+1)]로 나눈 나머지가 같은 다항식은 서로 동일하다고 선언만 하면 된다. 그렇게 얻어지는 체는 물론 [math(x^2+x+1)]의 해인
이차다항식의 경우에는 한 번의 체 확장으로 분해체를 얻을 수 있지만, 고차다항식이 주어진 경우에는 이러한 체 확장을 여러 번 해야 할 수도 있다. 그렇지만 매번 해를 1개씩만 구하여도 최대 n번만 이 과정을 반복함으로써 어떤 다항식이든 일차다항식의 곱으로 인수분해하는 새로운 체를 구성할 수 있다.[9] 그렇게 얻어지는 체를 그 다항식의 분해체라고 한다. 또한 이런 식으로 계속해서 체를 확장해갈 경우, 유리수체 [math(\mathbb Q[x])]의 모든 다항식의 근을 포함하는 체를 생각할 수 있는데, 이 체는 [math(\mathbb Q_\mathrm A)]로 표기하고 유리수체의 대수적 폐포(algebraic closure)라고 부르며, [math(\mathbb Q\subsetneq\mathbb Q_\mathrm A\subsetneq\mathbb C)]를 만족한다.
3. 여담
여담으로 주의할 점이 있다면, 대수적으로 닫힌 확대체. 즉 대수적 확대체의 존재성에 대한 증명의 경우는 선택공리 없이는 증명할 수 없다. 정확하게는 모든 체에 대하여 대수적으로 닫힌 체가 존재함을 보이기 위해서는 '부분 순서 집합의 임의의 사슬이 상계를 가지면 극대원소가 적어도 하나 존재한다'라는 초른의 보조정리를 이용해야 하는데, 이는 선택공리와 동치이기 때문.학부 수학에서 군-환-체의 테크트리를 거쳐야 나오는 대상이고 기초 추상대수학 과목의 하이라이트인 갈루아 이론의 주인공인 만큼 뭔가 최종 보스 같은 느낌을 줄 수 있다. 특히 division ring으로 나누기도 갖춘데다 정역 등의 좋은 성질들을 가지고 있다는 점 등으로 인하여 체가 매우 복잡한 대상일 것이라고 볼 수 있겠지만, 막상 체론을 제외한 여러 분야들에서는 오히려 단순한 녀석 취급을 받는다. 일단 벡터 공간 등 여러 대상들에서 체는 그냥 수 취급이며, 가환대수나 대수기하학 같은 분야에서는 그냥 점 하나 취급이다. 사실, 체가 가지는 소아이디얼(prime ideal)이 0 하나 뿐이라는 점이 이러한 현상에 매우 크게 작용한다. 이런 상황들도 그렇고 어떤 (가환)환 위의 가군(module over a ring)을 다룰 때 그 환에 어떤 원소의 역원을 도입시켰을 때 (즉, 분수환을 적용시켰을 때)[10], 여러 freeness나 flatness가 튀어나오는 상황을 통해 나누기가 얼마나 많은 것들을 단순화시키는지 체감할 수 있을 것이다. 그나마 체의 확장이나 제한 같은 것을 고려하였을 때[11], 혹은 separate하지 않은 체에서 놀 때 체에 대해 좀 신경을 쓰긴 한다.
[1] 보통 수학과, 수학교육과에서 배우는 전공수학 커리큘럼 중 이 분야를 본격적으로 다루는 현대대수학에서는 군을 한 학기 가까이 공부하고서 가장 기본적인 덧셈군에다가 이것저것 차근차근 추가하면서 가환군, 환 등을 거쳐 체의 공리를 마주하기까지의 과정에 최소 한 학기를 써먹지만, 3학년 과정인 현대대수학보다 이른 2학년 때 배우는 해석학개론에서는 이 10가지 체의 공리를 첫 학기 첫 수업에서부터 머릿속에 마구 쑤셔 넣고 완비순서체로서의 실수를 구성하는 데에만 집중하기 때문에 미적분학이나 집합론 말고는 별다른 기초도 안 갖춰진 2학년생들에게 상당한 컬처쇼크를 선사한다. 2학년 때에는 그냥 암기, 사실 암기조차도 아니고 '당연한 성질'이라고 무심코 넘기던 것이 이렇게 여러 조건을 강화한 것임을 깨닫고 나면 고학년생들은 한번쯤 이불킥을 한다.[2] (A1)~(A4)는 덧셈에 대해 교환법칙까지 성립하는 가환군의 조건이다.[3] 이게 성립하지 않는 환은 꼬인체(skew field)가 된다. 대표적인 예시로 사원수 집합 [math(\mathbb H)]가 있다.[4] 대수학 교과서나 학자에 따라 환의 정의에 이 조건을 포함시키기도 하고 제외하기도 한다.[5] 이게 성립하지 않으면 RNG가 된다. 대표적으로 [math(0)]과 음수를 포함한 짝수(=2로 나누어 떨어지는 정수)가 있다.[6] 일단 환이므로 덧셈에 대한 모든 조건과 곱셈의 결합법칙을 내포한다. 그리고 가환환이므로 곱셈의 교환법칙도 내포하며, 단위원 [math(1_R)]을 지정하므로 곱셈의 항등원과 역원도 내포한다. 다만 이 문장만으로는 분배법칙에 대한 내용은 조금 끌어내기가 힘든데, [math(a(\ne0_R)\in R)]에서 덧셈에 대한 항등원 [math(0_R)]을 언급하고 있다는 점을 이용하면 된다.[7] 이때 근의 공식이란, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 및 [math(n)]제곱근의 조합으로만 구성된 수식을 이용하여 방정식의 해를 표현하는 것을 의미한다.[8] [math(z\neq 0)]이고 [math(xz=yz)]이면 [math(x=y)].[9] 이는 대수학의 기본정리의 자명한 귀결로 얻어지는 결과다. 항목의 따름정리 1 참조.[10] 더 정확하게, (가환)환 [math(A)] 위의 가군 [math(M)], 그리고 곱셈에 대해 닫힌 집합 (multiplicatively closed subset) [math(S \subset A)]에 대하여 [math(S^{-1} M \cong S^{-1} A \otimes_A M)]을 생각하자는 것이다.[11] 예컨대, 실수체 위에서 다루던 것을 복소수체 위로 확장시킨다거나 혹은 그 반대를 한다거나 할 때