1. 개요
Newton's Identities, 뉴턴 恒等式뉴턴 항등식은 여러 개의 숫자들의 거듭제곱의 합이 그들의 합과 곱등을 활용하여 귀납적으로 정의하는 항등식이다.
2. 정리
| [math(2)] 이상의 정수 [math(n)]와 [math(n)] 이하의 양의 정수 [math(k)]에 대해, [math(T_{k}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_{i}^{k})], [math(s_{k})]는 [math(\{x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n} \})] 중 [math(k)]개를 뽑은 모든 경우에서 각각의 총곱의 총합이라 할 때, 다음의 항등식이 성립한다. 단, [math(T_{0}=n)]으로 간주한다. [math(T_{m}=\displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{k+1}\cdot s_{k}\cdot T_{m-n})] ([math(m)]은 [math(n)] 이상인 정수) |
예를 들어 [math(n=4)]일 때 [math(T_{m}={x_{1}}^{m}+{x_{2}}^{m}+{x_{3}}^{m}+{x_{4}}^{m})]이며, [math(s_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})], [math(s_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})], [math(s_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})], [math(s_{4}=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})]이라 할 수 있다.
따라서 이 경우의 뉴턴 항등식은 [math(T_{m}=s_{1}T_{m-1}-s_{2}T_{m-2}+s_{3}T_{m-3}-s_{4}T_{m-4})].
3. 증명
비에트의 정리에 의해 [math(s_i)]는 [math((t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n})=0)]을 전개했을 때 [math(t^{n-i})]의 계수이다. 즉 [math(t^{n}-s_{1}t^{n-1}+s_{2}t^{n-2}- \cdots +(-1)^{n} s_{n}=0)]의 근이 [math(x_i)]이다따라서 위 식에 [math(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n})]을 각각 대입한 뒤 변변 더하고, [math(T_m)]의 정의를 활용해 정리하면 다음과 같은 결과가 나온다. [math(T_{n}=s_{1}T_{n-1}-s_{2}T_{n-2}+ \cdots + (-1)^{n+1} s_{n}T_{0})]. 즉 [math(T_n)]에 대한 뉴턴 항등식이 성립한다. 그렇다면 [math(T_{n+1})]부턴 어떻게 할까? [math(T_{m})]을 구할 땐 위의 전개한 식에 [math(t^{m-n})]을 곱한 후 변변 더하면 된다.
예를 들어 [math(T_{n+3})]에 대해선 [math(t^{3})]을 곱하자. 그러면 [math(t^{n+3}-s_{1}t^{n+2}+s_{2}t^{n+1}- \cdots +(-1)^{n} s_{3}=0)] 다시 [math(x_i)]를 대입하여 변변 더해 정리하면 [math(T_{n+3}=s_{1}T_{n+2}-s_{2}T_{n+1}+ \cdots (-1)^{n+1}s_{n}T_{3} )]이다.