단위 변환

#!style
.tpc {border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important}
.tc {border: 2px solid #0000; background: #0000 !important} 

1. 개요

2. 원리

#!if 문서명2 != null
, [[]]

#!if 문서명3 != null
, [[]]

#!if 문서명4 != null
, [[]]

#!if 문서명5 != null
, [[]]

#!if 문서명6 != null
, [[]]

2.1. 변화량 관계식

2.1.1. 약식 관계식

3. 방법

3.1. 항등원 이용

3.1.1. 예시

[ 풀이 보기 · 접기 ]

||<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \pu{1000m} = \pu{1km} &\iff \frac{\rm km}{\pu{1000m}} = 1 \\ \pu{3600s} = \pu{1h} &\iff \frac{\pu{3600s}}{\rm h} = 1\end{aligned})] ||
이므로

<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} v &= \pu{45m/s} \\ &= \dfrac{45~\cancel{\color{red}\pu m}}{\cancel{\color{blue}\pu s}}\times\dfrac{\rm km}{1000~\cancel{\color{red}\pu m}}\times\dfrac{3600~\cancel{\color{blue}\pu s}}{\rm h} \\ &= \dfrac{\pu{45km}}{\rm h}\times\dfrac{3600}{1000} \\ &= \pu{45km/h}\times3.6 \\ &= \pu{162km/h}\end{aligned})]

3.2. 직접 대입법

3.2.1. 예시

4. 위 방법을 이용할 수 없는 경우

• 비례 관계임이 확실하지만 대수적으로는 구할 수 없거나, 대수적인 수이지만 환원 불능(casus irreducibilis)인 경우
  비례상수가 작도 불능인 경우로 항상 근삿값으로밖에 나타낼 수 없다. 원주율 [math(\pi)] 혹은 로그의 밑 변환 과정에 튀어나오는 [math(\log_{10}e)] 혹은 [math(\ln10)] 따위의 초월수를 비롯한 무리수를 포함하는 케이스로, 디랙 상수 [math(\hbar)]가 대표적이다. [math(\hbar)]는 엄밀하게는 플랑크 상수 [math(h)]에 대한 아래의 적분식
  

  <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} h &= 2\hbar \cdot \int^1_{-1} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2 \int^1_0\frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2\int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \\ &= 2\hbar \cdot 4\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \end{aligned})]

  
  을 이용해야 하지만, 수렴이 매우 느리기[14] 때문에 보통은 미리 구해 둔 수렴값을 일정 자리수 이하로 근사해서 이용한다.[15]
  
  또 하나의 예로 파섹이 있는데, 파섹은 본디 아래와 같이
  

  <tableclass=tpc> [math(\begin{aligned}\pu{1pc} &= \cot {\left( \frac{\pi}{\pu{648000}} \right)}~\pu{au} \\&= i + \frac{2i}{\operatorname{cis}(\pi/\pu{324000})-1}~{\rm au} \end{aligned})][16] (단, [math(i \triangleq \sqrt{-1})])

  
  와 같이 정의되나, 마찬가지로 식이 닫힌 꼴이 되지 않는다. 이 문제 때문에 2015년부터는 국제천문연맹에서 파섹의 정의를 위의 디랙 상수와 비슷한 방식으로 바꾸었다. 결론적으로는 옆그레이드 퍼센트/퍼밀로 표시된 경사도를 각도로 환산하는 과정 역시 이런 식이다.
  
  그러나 기본적으로 수학 상수들은 유효숫자의 자릿수가 무한개인 것으로 간주하기 때문에, 유효숫자의 개수가 적은 다른 측정값이나 물리 상수들이 구체적인 결과값을 결정한다고 보면 된다. 즉, 공학용 계산기를 쓸 수 있는 상황이라면 좀 더 정밀도가 높은 값을 얻기 위해 구태여 적은 자릿수로 근사하지 말고 메모리에 저장된 각 값을 그대로 쓰는 게 낫다. 물론 시험에서 쓰라고 값을 준다면 써야겠지만
  
• 영점이 다른 경우
  대표적인 예로 온도가 있는데 절대 온도와 랭킨온도를 제외한 나머지 온도 체계는 특정 두 기준점을 [math(n)]등분한 것을 단위로 삼았기 때문에 대부분의 체계가 다른 물리량처럼 비례 관계식으로 딱 떨어지지 않는다. 이를테면 물의 어는점을 화씨온도에서는 [math(\pu{32\degree\!F})]로 정의하고 섭씨온도에서는 [math(\pu{0\degree\!C})]로 정의하므로 둘 사이에는 눈금의 간격에 관한 비례 계수 외에도 [math(32)]만큼의 차이가 있으며 다음과 같이 기본 변환식의 꼴로밖에 나타낼 수 없다. 이때 (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)이므로 물리량에는 수치뿐만 아니라 단위까지 같이 넣어서 계산한다.
  

  <tableclass=tpc> [math(T_{\rm\degree\!C} = \dfrac59{\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} - 32\right)}~\pu{\degree\!C})]

  
  섭씨온도를 절대 온도로 환산하는 경우에도 마찬가지이다.
  

  <tableclass=tpc> [math(T_{\rm K} = {\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C} + 273.15\right)}~\pu K)]

  
  단, 열씨온도와 섭씨온도, 절대 온도와 랭킨온도 등, 정의에 따라서는 비례관계가 성립해서 약식 변환식을 이용할 수 있는 경우도 있기는 하다.
  

5. 기타

• 자연 단위계는 순수하게 차원 분석에 기반하여 각종 물리 상수들의 연산을 통해 단위 물리량이 각각 기본 차원 하나만을 갖도록 재조정된 단위계이다. 주요 쓰임새는 단위 물리량으로 각 물리량을 무차원화하는 규격화를 통해 표적으로 삼은 물리 상수들을 [math(1)]로 만들어서 수식을 간단하게 하는 것이다. 대표적으로 플랑크 단위계가 있다.
• 초등학교 수학 3학년 과정에서 처음 등장한다. 당연히 저걸 다 가르치면 아이들이 이해하지 못하기에, 직접 대입법 정도만 가르쳐서 중고등학생 때까지 계속 써먹는 편이다.
• 환율도 단위 변환의 한 예이다.