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1. 개요 및 용어 정리
지수법칙(index law for powers) 등에서[1] 거듭제곱(exponentiation) 또는 멱(冪)은 같은 수나 식을 거듭 곱하는 일, 또는 그렇게 하여 얻어진 수를 말한다. 예를 들어 3을 거듭제곱하면 [math(3 \times 3 = 9)], [math(3 \times 3 \times 3 = 27)], [math(3 \times 3 \times 3 \times 3= 81)], ...와 같이 된다.어떤 수 [math(x)]를 [math(n)]번 곱했을 때 [math(x^n)]으로 쓰고, [math(x)]의 [math(n)]제곱 또는 [math(x)]의 [math(n)]승(乘)이라고 읽는다. 영어로는 'the power of x to the n', 'x to the power of n', 또는 더 간략히 'x to the n'이라고 한다. 이때 곱해지는 수나 식(즉 [math(x)])을 밑(base)이라고 하고, 곱하는 횟수(즉 [math(n)])를 지수(指數, power 또는 exponent)라고 한다. 또한 밑과 지수를 싸잡아 이를 때는 따로 멱수(冪數)라고 하기도 한다.
컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 위첨자를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 ^[2] 기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다.[3] 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다.
대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다.[5] 처음에 지수는 주로 자연수를 범위로 해서 배우나, 고급과정으로 갈수록 지수의 범위가 점점 확장된다.
포켓몬스터 게임의 경험치는 세제곱에 기반되어있다.
2. 거듭제곱의 성질(지수법칙)
[math(a)], [math(r)]가 음이 아닌 실수, [math(b)], [math(c)], [math(n)]이 실수일 때- [math(a^b \times a^c = a^{b+c} )] (지수의 덧셈)[6]
- [math(\left(a^b\right)^c = a^{bc} )] (지수의 곱셈)[7]
- (지수의 분배1)
- (지수의 분배2)
3. 정의
| 요약 exponentation(거듭제곱) exponent: 지수 (index) base: 밑 (base to the power of n) a의 -n승: 1/a의 n승 a의 -2승: 1/a의 2승 (분모 a의 제곱) a의 -1승: 1/a (a의 역수인 셈) a의 0승: 상수 1 (곱셈의 항등원) a의 1/n승: a의 1/n승은 √a(루트 a), 1/2승에서 분자는 루트 안 숫자 a에 지수로서 붙으며, 분모는 루트 왼쪽에 붙음. a의 1승: a (1승은 거의 표기하지 않는다) a의 2승: a × a (the square of a) a의 3승: a × a × a (the cube of a) a의 4승: a × a × a × a (a to the power of 4) a의 n승: (a to the n-th power) 치수의 1승: 길이 (meter) 치수의 2승: 정사각형의 넓이 (square meter) 치수의 3승: 정육면체의 부피, 크기 (cubic meter) |
3.1. 중학교 교과 과정에서
중학교 수준에서는- [math( a^1 = a )]
- 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math( a^{n+1} = a^n \cdot a )]
3.2. 고등학교 교과 과정에서
3.2.1. 정수로의 확장
첫번째 지수 법칙에 [math(a\neq0)], [math(n\in\mathbb{N})]일 때 [math(b=n)], [math(c=0)]을 대입하면 [math(a^{n} \cdot a^{0} = a^{n+0} = a^{n})]이다. 따라서 [math(a^0 = 1)]로 정의를 내리는 것이 자연스럽다. 또한, 첫번째 지수 법칙에서 [math(a\neq0)]일 때 [math(b=n)], [math(c=-n)]을 대입하면 [math(a^{n} \cdot a^{-n} = a^{0} = 1)]이므로 [math(\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n})]으로 정의를 내리는 것이 자연스러움을 알 수 있다.예를 들어 [math(a^{2}\cdot a^{-2}=a^{2-2}=a^{0}=1)]이므로 [math(a^{-2})]를 어떤 수라고 한다면 어떤 수에 [math(a^2)]를 곱했을 때 [math(1)]이 나오는 수는 [math(\dfrac1{a^2})]이므로 [math(a^{-2}=\dfrac1{a^2})]이다.
지수법칙 외에도 2를 계속 곱해주어서 만든 수열은 2, 4, 6, 8, 10, ... 과 같이 된다. 그런데, 뒤로 갈수록 2를 곱해주는 것이고 앞으로 갈수록 2를 나눠 준 것이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 [math(2^{0} = 1)]로 정의하고 [math(2^{-n} = \frac{1}{2^{n}})]으로 정의하는 것이 자연스럽다.
이 정의를 활용하여 정수 지수에 대해 지수법칙 1,2가 임의의 집합에서 성립하고, 지수법칙 3,4가 곱셈의 교환법칙이 성립되는 임의의 집합에서 성립함을 알 수 있다.
3.2.1.1. 0^0
하지만 [math(a=0)]이면 [math(0^{0} = 0^{0+0} = 0^{n} \cdot 0^{0} = 0 \cdot 0^{0} = 0)]을 얻는데, 이걸로 [math(0^{0})]을 정의할 수는 없다. 그래서 [math(0^{0})]은 정의하지 않지만, 수학적 편의를 위해 다른 수와 마찬가지로 [math(0^{0}=1)]로 놓고 사용하는 경우가 많다.[math( \displaystyle \lim_{h\to 0^{+}} h^h =1)]이라는 사실도 1로 정의하는 것에 힘을 실어준다.[8][math(0^{0})]은 indeterminate(부정)이다. 극한에서 역시 부정형으로 본다. 그 이유는
[math(n)]이 자연수일 때
[math(0^0=0^n÷0^n=0÷0)]이고
[math(0=0^0×0)]인데 그러면 [math(0^0)]이 어떤 값이라도 성립하기 때문이다.
[math(\frac{0}{0})] 역시 부정형이다.
3.2.2. 유리수로의 확장
[math( a^{n\cdot\frac1n} = a )]그리고 모든 유리수 [math(n)]에 대해 지수의 곱셈법칙이 성립한다면
[math( a^{n\cdot\frac1n} = (a^{\frac1n})^n )]
따라서,
[math( a = (a^{\frac1n})^n )]
로 정의를 내리는 것이 자연스럽다.
[math( a^{\frac1n} )]의 값을 하나로 결정해야 하므로[9], 주 거듭제곱근(principal n-th root)을 사용하여 [math( a^{\frac1n} = \sqrt[n]a )][10]와 같이 정의한다.
추가로
[math( a^{\frac mn}=a^{m\cdot\frac1n} )] 이고
[math( (a^{m\cdot\frac1n})^n )]지수에 [math(n)]을 곱해주면
[math(a^m)]이 된다
따라서 [math(a^{\frac mn})]은 지수에 [math(n)]을 곱해주면 [math(a^m)]이 되는 수이며,
[math(a^m)]을 다르게 표현하면 [math(a^m=(\sqrt[n]{a^m})^n)]
따라서 [math(a^{m})]의 [math(n)]제곱근이 [math(a^{{m \over n}})]의 값이 되는 것이다.
[math(a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m})]
위와 같이 정의하면 지수법칙을 잘 만족함이 알려져 있다.
지수법칙을 만족해서 저렇게 정의했다는 것 이외에도 다음과 같이 단위분수 지수를 먼저 정의하고
[math(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a})]
일반적인 분수 [math(\frac{m}{n})]에 대해
[math(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^{m})]
으로 정의하면 거듭제곱의 본 뜻인 거듭해서 몇 번 곱했다 라는 사실을 잘 반영하도록 정의했음을 알 수 있다.
고등학교에서는 정의 상 허수가 나올 수 없지만, 대학교에서는 정의에 따라 얼마든지 나올 수 있다. Wolfram Alpha를 예를 들어 설명한다. Wolfram Alpha에서는 [math( (-2)^{\frac13} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.62996 + 1.0911 i )]로 출력된다. #계산 결과 이는 Wolfram Alpha에서 [math(n)]제곱근을 구할 때 복소수 [math(n)]개 중 그 편각이 구간 [math([ 0, 2\pi))]에서 가장 작은 것을 출력하기 때문이다. 그래서 양수를 넣으면 편각이 0인 실수가 출력되지만, 편각이 [math(\pi)]인 음수를 넣으면 이보다 편각이 작은 복소수가 출력된다.
3.2.3. 실수로의 확장
실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 [math(\pi)]에 대해 [math(3,\,3.1,\,3.14,\,3.141,\,3.1415,\,\cdots)]이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 [math(a^r)]은 [math(p=\lim r_n)]인 유리수열 [math(\{r_n\})]을 이용하여 극한 [math(a^p:=\lim a^{r_n})]으로 정의한다.[11] 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 [math(2^{\pi})]는 [math(2^{3},\,2^{3.1},\,2^{3.14},\,\cdots)]인 수열의 극한으로 정의된다.고등학교 과정에서는 그냥 실수는 유리수로 근사할 수 있으므로 유리수 지수를 자연스럽게 확장했다고 생각하면 된다.
오메가 상수라는 특수한 실수가 있는데, 자연로그의 밑에 곱하고 지수를 취하면 1이 되는 수이다.
3.2.4. 복소수로의 확장
복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다.먼저 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로부터 [math( x^z = x^{a+bi} = e^{(a+bi) \ln x } )] 가 튀어나온다. 그리고, 오일러 공식 [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]를 조합하면 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 하나로 통합되어 버린다.
복소수까지 확장되면 지수함수, 로그함수는 함수값을 여러 개 가지는 '다가함수'로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(=주치를 선택)하거나, 리만 곡면으로 확장하여 고려해야 한다.
이와 같은 방법을 통해 [math(i^i)]와 같은 수도 정의할 수 있다. [math(i^i = e^{i \ln i} = e^{i\cdot i\pi \left(2n+\frac12\right)} = e^{-\pi \left(2n+\frac12\right)} )]가 되고, 주치를 택하게 되면 [math(i^i = e^{-\frac{\pi}2} )]가 된다. 즉, 허수에 허수 제곱을 하면 특이하게도 실수가 나오는 경우이다.[12] 참고로 여기서는 하나의 값(주치)만 언급했지만, [math(i^i)]는 다가함수이기에 여러 개의 값을 가진다.
다만 지수를 복소수로 확장했을 경우 와 가 성립하지 않는 경우가 있다. 복소수 지수 자체는 정의가 되나 이 두 등식을 항상 만족하게 정의할 방법이 없다.
3.3. 그 외
사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 [math(e)]에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의한 다음 자연로그를 통해 [math( a^x = e^{x \ln a} )]를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 로그 때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 로그함수라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다. (역사적으로도 로그함수가 먼저 출현했다.)3.3.1. 정적분을 이용한 정의
먼저 자연로그함수 [math(\ln x)]를 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac 1t \,\mathrm{d}t)]
그 다음 [math(\ln x)]의 역함수를 정의한다.
[math(\ln^{-1}x = \exp x)]
이렇게 정의하면 [math(\exp x)]가 바로 우리가 알고 있는 자연지수함수 [math(e^x)]이고, 나머지 일반지수함수를 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로 정의할 수 있게 되어 매끄럽게 설명이 가능하다.
3.3.2. 멱급수를 이용한 정의
[math(\displaystyle \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!})][math(\displaystyle \operatorname{cis}(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})]
테일러 급수를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다. [math(\exp(x))]는 exponential x의 준말로, 자연지수함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다. [math(\operatorname{cis}(x))]는 오일러 공식을 구성하는 요소의 이름자[13]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수지수함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다.
얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 [math(x)]는 실수 및 복소수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수만을 가지고 이로부터 바로, 즉 위에서 소개한 여러 단계의 확장 없이 바로 실수, 복소수 지수로 확장하는 것이다.
이것만 놓고 보면 별로 지수의 확장으로 보이지 않을 것이다. 하지만 저 정의로부터 바로 다음을 보일 수 있다.[14]
[math(\displaystyle \exp(x+y) = \sum_{n=0}^{\infty} {(x+y)^n \over n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r})]
[math(\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^n \frac{x^r}{r!} \frac{y^{n-r}}{(n-r)!} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \frac{y^m}{m!} = \left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \right) \left( \sum_{m=0}^{\infty} \frac{y^m}{m!} \right))]
[math(\displaystyle = \exp(x) \exp(y).)]
여기서 [math(x, y)]는 임의의 복소수이다. 그리고 물론 [math(\exp(0) = 1)]이다. 그런데 이 성질들에 해당하는 지수의 성질들, 즉 [math(a^{m+n} = a^m a^n)], [math(a^0 = 1)]로부터 위에서 소개한 정수, 유리수로의 확장이 자연스럽게 이루어졌다는 걸 감안하면 이렇게 정의한 [math(\exp)]가 거듭제곱을 충분히 잘 묘사해 준다는 걸 알 수 있다. 사실 여기서 [math(e = \exp(1))]이라고 정의하면, 저 성질로부터 모든 자연수 [math(n)]에 대해 [math(\exp(n) = (\exp(1))^n = e^n)]이고, [math(n)]이 음의 정수인 경우에 대해 [math(\exp(n) = \frac{1}{\exp(-n)} = \frac{1}{e^{-n}})]이며[15], 임의의 정수 [math(m)]과 양의 정수 [math(n)]에 대하여 [math(\left( \exp\left( \frac{m}{n} \right) \right)^n = \exp\left( \frac{m}{n} \cdot n \right) = \exp(m) = e^m)]임을 바로 알 수 있다. 그 다음 단계인 실수로의 확장과 비교하려면 [math(\exp)]가 연속이어야 한다는 걸 보여야 하지만[16] 그리 어렵지 않고 이 연속성 덕분에 유리수 지수에서 같은 것만으로도 실수 지수에서 같아야 한다는 걸 바로 보일 수 있다.[17] 복소수로의 확장은 더 간단한 게, 위에서 소개한 복소수로의 확장은 아예 이 문단에서의 정의로부터 바로 얻을 수 있는 그 방법과 똑같다.[18] 최종적으로 모든 복소수 [math(z)]에 대해 [math(\exp(z))]이 위에서 확장하고 확장한 끝에 얻은 [math(e^z)]과 같다는 걸 볼 수 있었다.
임의의 [math(a)]에 대해 [math(a^z)]는 어떻게 할 거냐 할 수 있지만, 이건 그냥 [math(\exp(z \log{a}))]와 비교하면 된다. 여기서 [math(\log)]는 [\math(\exp)]의 역함수로 정의된다.[19] 실수 정의역 한정으로 [\math(\exp)]가 순증가함수인 걸 쉽게 보일 수 있으니 이는 별 문제가 없다. [math(a)]가 양의 실수가 아니면 어떡할 건가 싶긴 할텐데, 그런 경우엔 [math(z)]가 정수이거나 하지 않은 이상 어차피 위에서도 그리 잘 정의되는 경우가 아녔으니 넘어가도 좋을 것이다.
무슨 지적 유희인가 싶겠지만, 이러한 방식의 확장은 수학 전반의 분야에서 유용하게 쓰인다. 사실 위에서 소개한 지수의 확장보다 훨씬 더 좋은데, 거의 순전히 대수적으로 구성된 정의라 대수적 구조가 있는 곳에선 많은 경우 활용이 가능한 식이기 때문이다. 예를 들어 행렬 지수 같은 것에서도 얼마든지 활용할 수 있다. 예를 들면 실수 혹은 복소수 성분의 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(\exp(A))]를 위와 같이 정의할 수 있고, [math(A)]가 뭐든 이 식은 잘 정의된다. 심지어 [math(AB = BA)]인 경우에 한해서 [math(\exp(A + B) = \exp(A) \exp(B))]도 성립한다.[20] 여기서 '거의 순전히 대수적으로'라고 한 이유는 아무래도 "무한합"이 들어가 있어서 그렇다. 물론 그 어느 분야에서도 0이 아닌 무한히 많은 항들의 "합"은 잘 정의되지 않으며, 그렇기 때문에 해석학의 경우에서처럼 극한을 활용한다든가 (formal) power series 같은 걸 활용한다든가 해야 한다.[21] 그도 아니면 [math(A)]가 nilpotent한[22] 경우만 생각한다든가 할 수 있다. 이런 경우 0이 아닌 항의 개수가 유한해지기 때문에 굳이 무한합 같이 써놔도 전혀 상관 없기 때문에 괜찮다. 이런 특수한 경우는 리 군과 리 대수 같은 걸 다룰 때 자주 등장한다.[23] 그 외에도 행렬 혹은 선형 사상을 지수로 하는 경우가 순수수학은 물론이고 양자역학 등 수많은 과학, 공학 분야에서 자주 쓰이기 때문에 이와 같은 방식의 정의는 몹시 유용하다.
심지어 위에서 소개한 [math(\operatorname{cis}(x))]로부터 [math(\sin)], [math(\cos)], 그리고 [math(\pi)], 즉 원주율을 정의할 수 있다. 무슨 뜬금없는 소린가 싶겠지만 저 셋을 엄밀하게 정의하는 것은 생각보다 쉽지 않다. 여기서 [math(\operatorname{cis}(x))]의 성질들을 잘 들여다 보면 이 녀석의 상(image)이 복소평면 상에서 단위원과 똑같다는 것을[24], 그리고 이 함수가 주기를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이제 이 함수의 실수부와 허수부를 각각 [math(\cos)], [math(\sin)]로 표기하고 그 주기를 [math(2\pi)]라고 표기하면, 결국 우리가 기존에 알던 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\pi)]를 얻을 수 있다.[25]
4. 지수
4.1. 함수의 지수
함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 [math( f^2(x) = (f \circ f)(x) )]의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 미분방정식의 도함수([math(\mathrm{d})]), 편도함수([math(\partial)])에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 제곱근을 구할 수도 있다.단, 함수에 붙은 지수가 함숫값의 거듭제곱을 나타내는 경우도 많이 있는데, 삼각함수, 로그함수 및 대다수의 특수함수들[26]이 여기에 속한다. 즉, [math( f^2(x) = (f(x))^2 )]이다.
역함수는 보통 [math(f^{-1}(x))]이라고 쓰며, 역삼각함수도 삼각함수 앞에 arc-나 a-를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 역사인함수의 경우 [math(\arcsin x, \mathrm{asin}\, x, \sin^{-1} x)]의 표기가 혼용된다.
한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 급수를 멱급수라고 한다. 다항함수의 경우, 미지수의 지수가 가장 큰 항의 지수를 차수(degree)라고 한다.
4.2. 집합의 지수
집합에 거듭제곱이 있으면 집합을 그 거듭제곱의 수효만큼 순서쌍으로 묶어놓은 것을 집합의 원소로 삼는 집합[27]으로 정의한다.예) [math(\{1,2,3\}^2 \Rightarrow \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\})]
보통 중적분에서 [math(mathbb{R}^n)] 등으로 지겹게 접하게 된다.
더 나아가, 집합 그 자체를 지수로 삼을 수도 있는데, 이를 멱집합이라고 한다.
4.3. 행렬의 지수
행렬에서도 거듭제곱을 지수를 이용해서 표현할 수 있다. 당연하지만, N×N 정사각 행렬에서만 가능하다.고등학교 수학에서도 2차 정사각 행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리로 등장하곤 한다.
5. 관련 문서
[1] (University of Adelaide)Index Laws https://www.adelaide.edu.au/mathslearning/ua/media/24/index-laws-revision.pdf[2] 캐럿으로 읽는다. 사실 하도 캐럿이 이모티콘으로 쓰이는 빈도가 압도적으로 많고 지수 표시를 위해서 쓰일 때는 '[math(A)]의 [math(B)]제곱' 같은 식으로 읽기에 캐럿을 읽는 경우는 거의 없다보니 캐럿이 무슨 기호이고 어떻게 읽는지 모르는 사람들이 대다수다. 자세한 것은 해당 문서 참조.[3] 만약 plain text에서 ^ 기호를 사용해 지수를 표기하는데 지수 안에 + 등 다른 부호가 들어갈 경우, 2^(x+3)과 같이 지수 전체를 괄호로 씌워 주어야 한다. 괄호를 씌우지 않으면 지수의 범위가 명확히 어디까지인지 알 수 없기 때문이다. 그냥 2^x+3이라고만 쓰면 x만 지수인 것으로 받아들이는 경우가 많다.[4] 실제로 푸리에 변환에서 거듭제곱 자리에 6글자나 들어간다([math(e^{−2 \pi itx})]).[5] 6차 교육과정까지는 초등학교 6학년부터 배웠다.[6] 이 등식은 와 가 실수가 아닌 허수일 때에도 성립한다.증명[7] 다만 c가 정수일 경우에는 b가 실수가 아닌 허수여도 성립한다.[8] 실제로 몇몇 핸드폰 계산기는 00을 계산하면 '1' 또는 '없음'이라고 계산한다. 공학용 계산기는 에러코드를 띄운다.[9] 복소수의 범위에서, [math(n)]이 양의 정수일 때 [math(n)]개 있다.[10] [math({x}^{n}={a}^{1})]을 만족하고 0보다 큰 [math(x)].[11] [math(p=\lim r'_n)]이면, [math(\lim a^{r_n}=\lim a^{r'_n})]이다.[12] 사실, 무리수의 무리수지수가 정수가 나오는 경우도 있다. 잘 알려진 건 [math(e^{\ln{a}}=a)]. [math(a)]가 [math(1)]이 아닌 양의 유리수라면, [math(\ln a)]는 항상 무리수가 되는 건 증명되어 있다.[13] cosine, imaginary unit, sine[14] 물론 엄밀한 증명은 아니다. 다만 두번째 줄 각 변의 두 극한들이 정말 같은가 정도만 확인해 주면 충분하다. (사실 맨 왼쪽 변과 맨 오른쪽 변을 바로 비교할 수 있으며, 그것만으로도 충분하다.) 더군다나 이 증명(의 스케치)은 곧 소개될 다른 확장들에서도 유효하다.[15] [math(\exp(n) \exp(-n) = \exp(n + (-n)) = \exp(0) = 1)].[16] 임의의 유계 폐구간을 잡아 그 안에서만 [math(\exp)]를 생각했을 때 이게 사실 균등수렴하는 함수열의 극한임을 보이는 것으로 보일 수 있다.[17] 두 위상공간 [math(X, Y)]와 두 연속 사상 [math(f: X \to Y)], [math(g: X \to Y)]에 대하여 [math(Y)]가 Hausdorff하고 어떤 조밀한 (dense) 부분집합 [math(D \subset X)]가 존재해 모든 [math(x \in D)]에 대하여 [math(f(x) = g(x))]이면 [math(f = g)]임을 쉽게 보일 수 있다. 보통 위상의 실수 집합은 Hausdorff하고 유리수 집합은 조밀하다는 것 또한 상기하자.[18] 단, 이 섹션의 맨 마지막 문단에서 소개한 내용이 신경 쓰이거든 잠깐 [math(\exp(ix) = \cos{x} + i\sin{x})]를 잊어버리는 게 좋을 수도 있다.[19] 물론 [math(\log)] 역시 [math(\exp)]와 같은 급수 형태로 정의되기도 한다. 즉, [math(\displaystyle \log{(1+x)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} x^n)]과 같이 정의하자는 것이다. 단, 이 급수가 모든 [math(x)]에 대해 수렴하지는 않으므로 어느 정도 제약이 있다. 그래도 적당한 범위 안에서 잘 작동하며, 특히 아래에서 언급할 행렬 지수를 다룰 때에 이 식을 종종 쓰곤 한다. 더군다나 아래에서 잠깐 언급할 (formal) power series에서는 수렴 여부 같은 걸 걱정할 필요가 사실 없다. 이는 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 순수 대수학적으로 구하는 과정에서 활용된다. 자세한 내용은 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보라.[20] [math(AB \ne BA)]인 경우에 대해선 상황이 복잡한데, 이에 대해선 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 찾아 보라.[21] 앞에서 말한 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보든가 아니면 S. Lang의 Algebra, 3rd Ed. (Springer, 2002) 중 Section IV.9를 보자.[22] 적당한 양의 정수 [math(r)]이 존재해 [math(A^r = 0)].[23] 사실 리 군과 리 대수는 이 exponential map과 뗄레야 뗄 수 없는 관계를 많이 가진다. 주석 중 하나에서 소개한 Campbell-Baker-Haudorff formula 역시 이 분야에서 나온 것.[24] 의외로 쉽지 않은데, 단위원에 (즉 [math(|z| = 1)]을 만족하는 모든 복소수 [math(z)]로만 구성된 집합에) 포함된다는 걸 보이는 건 위에서 언급한 성질에 의하여 단 몇 단어로 끝나지만 그 상이 단위원 전체와 같다는 것을 보이는 건 다른 문제이고, 이건 좀 어렵다.[25] W. Rudin, Real and Complex Analysis, Springer (1970, International Ed.), Prologue chapter 참고.[26] 감마 함수, 지수 적분 함수, 폴리로그함수 등[27] 집합족(Family of sets)이라고 한다.