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1. 개요
해석학의 폭넓은 범위를 두루 다루는 교재 총 4권으로 이루어진 시리즈로, 이름과 같이 실제 프린스턴 대학교 대학원 해석학 강의에 사용되는 교재들이다.흔히 저자의 이름을 따 Stein이라고 통칭된다.
2. 평가 및 팁
해석학 교재 중에서는 알 만한 사람들은 다 아는 수준의 유명세를 타고 있다.다만 간혹 증명이 깔끔하지 못하다든지, 4권의 내용이 중구난방이라든지, 연습문제의 힌트가 너무 친절하다든지 하는 등의 이유로 호불호가 갈린다.
실제 Stein 시리즈는 학부생 및 대학원생들의 평가가 상당히 엇갈리는 편이다. 이유는 내용 자체가 실질적인 테크닉을 많이 담고 있기 때문이다. 예시로 1권 푸리에 해석학에서 슈바르츠의 클래스에 대해 그냥 받아들이고 푸리에 변환을 이용한 PDE 풀이를 진행한다거나, 3권 실해석 챕터 1은 아예 실수공간을 기본 전제로 내용을 전개하느라 컴팩트집합의 정의를 하이네-보렐 정리 등의 빌드업 없이 그냥 유계 폐집합이라고만 못박아두며, 가측집합의 정의 또한 시그마 대수에서 시작하는 전통적인 빌드업 없이 개집합을 갖고 정의한다.
이러한 내용전개는 이 책을 통해 해석학의 기초를 쌓아 올려야 하는 학부생 수준에서는 부적절하다는 평가를 받기도 하고, 해석학을 전공할 생각이 없는 사람들은 '그럼 이 책 왜 읽음?'이라는 회의에 빠지기도 한다. 특히 수학과는 논문을 써야 하는 시기가 아니라면 석사과정도 그냥 학부 5, 6학년이나 마찬가지일 정도로 '다방면으로 골고루 가르치는' 커리큘럼이 이어지는 학과이다. 꼭 PDE나 조화해석 같은 분야로 진출하지 않을 학생들도 해석학 계열 수업을 맡은 교수가 이 책을 좋아하면 이 시리즈를 전혀 안 보고 졸업하기는 힘들다는 것. 이런 점 때문에 악명이 필요 이상으로 과장되는 경향도 있다.
하지만 그럼에도 해석학 전공자들 사이에서는 명저로 평가받는데, 전개나 내용설명 안에 해석학에서 많이 사용하는 테크닉들이 자연스럽게 녹아있고, 연습문제 또한 문제를 위한 문제가 아닌 정말 해석학 전공자에게 도움이 되는 실질적인 연습문제들로 구성되어 있기 때문이다.
해석적 정수론이라는 테마가 다소 마이너한 주제일 수 있으나 그 속에 녹아있는 증명과정과 내용들은 해석학 전공자들에게 피가 되고 살이 될 내용들이며, 푸리에 해석학은 해석학의 꽃으로까지 꼽히는 중요한 분야임에도 불구하고 학부생들에게 가르치기에 적합한 다른 교과서도 드문 형편이다 보니 이 시리즈를 애용하는 교수들이 많다.
또한 각 권의 내용이 독립적이지 않고 이전 책의 내용을 알고 있다는 전제하에 진행된다는 것도 주의할 점.
예를 들어 2권 복소해석에서는 1권 푸리에 해석에서 배운 내용을 모두 알고 있다고 전제하고 1권의 내용을 증명 없이 가져다 쓴다. 하지만 교수의 적절한 지도만 받쳐준다면 1, 2권 선에서는 큰 문제가 없다는 평도 있다. 특히 복소해석은 많은 대학들이 전공필수로 지정해놓는 반면 푸리에 해석은 학부 선에서는 안 듣고 졸업할 수도 있으며 아예 대학에서 학부생 대상의 푸리에 해석 수업을 열지 않는 경우도 많기 때문에 1권보다 2권을 먼저 봤다는 수학과생들이 꽤 있다.
3. 목록
총 4권으로 구성되어 있으며 1권이 푸리에 해석, 2권이 복소해석, 3권이 실해석, 4권이 함수해석+α를 담고 있다. 상술한 대로 대부분의 책이 앞 내용을 알고 있다는 전제로 진행되기에 이전 책을 충분히 숙지한 채로 다음 책을 넘어가는 순서가 가장 권장된다.현재 1권과 2권은 번역본이 있다. 다만 3·4권은 빼도 박도 못한 대학원 내용이라 번역은 앞으로도 요원할 것이다.
3.1. Vol 1, Fourier Analysis: An Introduction
후술할 2권과 함께 학부 교재로 써도 무리가 없을 정도로 친절한 책이다. 특히 2권은 대학원 수준 내용이 꽤 많이 들어있어 복소해석을 처음 공부하는 사람이 보면 꽤나 난해할 수 있는 데 비해, 이 책은 처음 푸리에 해석을 공부하는 사람이 읽어도 크게 무리가 없다. 모든 내용 전개를 르베그 적분이 아닌 리만 적분을 이용하여 (증명 과정이 다소 난잡해지는 경우는 있지만) 접근이 훨씬 수월하며, 설명이 상당히 자세한 편이라 독학하기에도 나쁘지 않은 책이다.
서울대학교와 KAIST, 연세대학교 등 국내 대학에서도 학부 푸리에 해석 교재로 사용한다.
책은 크게 세 부분으로 구성되어 있는데, 우선 푸리에 급수를 정의하고 간단한 항등식이나 수렴성 등을 다루는 비교적 간단한 내용으로 시작하며, 이를 이용해 등주부등식, 바일 등분포정리, 바이어슈트라스 함수, 열 방정식 등 여러 분야에서의 응용을 다룬다. 그다음에는 푸리에 변환을 다루는데, 복소적분을 이용하여 접근하는 2권과 다르게 적분을 직접 계산하지 않고 플랑셰렐 공식, 푸아송 합 공식 등 중요한 정리와 편미분방정식, 불확정성 원리 등 응용 위주로 다룬다. 6장에서는 다변수 푸리에 변환도 다룬다. 책의 후반부에는 현대대수학 내용과 연결시켜 고속 푸리에 변환 등 유한 푸리에 해석을 배우며 이를 바탕으로 디리클레 정리를 증명하며 해석적 정수론 을 맛보기하는 구성으로 되어 있다.
연세대의 경우 Stein 시리즈를 좋아하는 교수와 그 교수의 제자가 다시 교수로 채용되면서 학부 푸리에 해석 수업에 1권을 사용한다.
서울대의 경우 한글판 번역서 감수를 맡은 이상혁 교수가 직접 이 책을 이용하여 강의를 한다.
2022년 1권 번역본이 출간되었다.
3.2. Vol 2, Complex Analysis
위 1권과 함께 가장 범용적으로 사용되는 책이다.
학부 복소에서 다루어지는 내용은 1~3장, 8장 초반에 모아서 컴팩트하게 다루고, 4장부터는 푸리에 해석, 전해석함수론, 해석적 정수론 등 심화 토픽들을 다루는 학부 고학년~대학원 수준 교재이다.
특히 중간중간 군 이론이나 위상동형(homeomorphism), genus 1, 곡선매개화 등 대수학, 위상수학, 미분기하학의 배경 지식이 사용되는 부분도 있어 복소해석학을 이걸로 처음 공부하기에는 난이도가 매우 높은 편이다.
희한하게도 해석적 정수론을 테마로 삼고 있다. 특히 이 교재만의 특징으로는 7장에서 19세기 수학의 최대 업적 중 하나인 소수 정리의 증명을 엄밀하게 다룬다는 것이다. 한 가지 문제라면 서술이 해석적 정수론 토픽에 상당히 치중되어 있어 이 분야에 관심이 없는 사람에게는 다소 불필요할 수 있는 주제도 꽤 많이 수록하고 있다는 것.
연습문제는 매우 어려운 편이며 특히 심화 문제 파트는 실제 과거 수학자들의 논문을 소재로 한(...)문제들도 있을 정도로 깊고 어렵다. 가령 베른하르트 리만이 본인의 논문에서 제시한 제타 함수의 부분적분을 이용한 해석적 확장을 직접 수행하는 문제라던가.
서울대학교와 한양대학교에서는 2권을 학부 복소함수론 교재로 사용하며, 포항공과대학교에서도 간혹 채용한다. 상술한 이유로 연세대 또한 복소해석학 수업에 2권을 사용한다.
2022년 2월, 위 1권 푸리에 해석학과 같이 번역서 출판 소식이 나왔다. # 2023년 11월에는 번역을 감수한 서울대 김영원 교수가 본인의 강의 내용을 토대로 이 책을 해설한 강의노트를 출판하였다. 서울대학교, KAIST, POSTECH을 비롯한 수많은 상위권 대학들이 복소해석학 교재로 채택하고 있으나, 책의 수준이 너무나 어렵기에(...) 이들 학교에서도 수강 중 GG를 치는 이들이 적지 않을 정도로 어려운 교재이다.
여담으로, 1권(푸리에 해석)의 내용을 사용하는 파트가 많지만 책의 완결성을 위해 필요한 내용은 전부 다시 서술해 주고 있으므로 이 책을 공부하기 위해 1권을 미리 읽을 필요는 없다.
3.3. Vol 3, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces
Princeton Lectures in Analysis 시리즈의 3번째 책.
챕터 7에서는 특이하게 Hausdorff measure에 대해 소개한다. 챕터 5나 챕터 7처럼 실전적이로 심화된 토픽을 좋아하는 사람들은 이 책을 명저로 뽑지만 대부분의 사람들은 Folland나 RCA를 더 체계적이고 실해석학의 본 취지에 맞는 책으로 평가한다.
3.4. Vol 4, Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis
이후 4장에서 BCT를 언급하며 함수해석학인 척을 한다. 1장부터 4장까지만 보면 함수해석학책 같아 보이지만 갑자기 5, 6장에서 확률론과 브라운 운동이 튀어나오질 않나, 8장은 조화해석에서 가장 중요한 내용 중 하나인 진동적분을 넣어놓으면서 이 책이 함수해석학 책인지, 조화해석학 책인지, 아니면 그냥 저자가 설명하고 싶은 주제 다 갖다박아넣은 잡탕책인지 알 수 없게 된다.
어차피 Stein 시리즈는 입맛에 맞는 사람들만 극찬하는 호불호가 강한 책이기에 1권부터 3권은 읽지도 않은 채 이 책으로 함수해석학을 입문하려는 사람은 없을 것이다. 그러니 4권은 체계적으로 함수해석을 공부한다기 보다 여러 토픽들을 엮어놓은 책으로 생각하고 읽는 것이 좋다.
4. 저자
저자 중 벨기에 출신 수학자인 스타인 교수는 필즈 메달리스트 찰스 페퍼먼, 테렌스 타오 등의 석학을 가르친 교수로, 2018년 사망했다.라미 샤카르지는 페퍼먼의 지도를 받던 대학원생이었는데, 2000년 1권이 나오고 2002년에 졸업했지만 마지막권까지 저술에 참여했다. 이 사람은 중동의 거대 금가공 및 거래소인 Emirates Gold DMCC 창업주 무함마드 알 샤카르지의 차남으로, 박사 졸업 후에는 아버지의 회사에서 일하고 있다.
5. 기타
6. 관련 문서
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