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1. 개요
exponentiation · 冪같은 수나 식을 거듭 곱하는 일, 또는 그렇게 하여 얻어진 수나 식.
2. 요약
| 요약 ([math(a)], [math(r)], [math(s)]는 실수, [math(n)]은 자연수, [math(p)], [math(q)]은 정수이며 [math(q\neq0)]이다.) | ||
| 기호 | 정의 | 조건·읽기·비고 |
| 자연수 지수 | ||
| [math(a^1)] | [math(a)] | 모든 수의 1제곱은 자기 자신. 즉, 1은 거듭제곱의 우항등원이다. |
| [math(a^2)] | [math(a\times a)] | [math(a)]의 제곱(= [math(a)]의 자승(自乘))[1] |
| [math(a^3)] | [math(a\times a\times a)] | [math(a)]의 세제곱(= [math(a)]의 3승)[2] |
| [math(a^n)] | [math(\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}})] | [math(a)]의 [math(n)]제곱(= [math(a)]의 [math(n)]승) |
| 정수 지수 | ||
| [math(a^0)] | [math(1)] | [math(0^0)]은 부정. |
| [math(a^{-n})] | [math(\dfrac1{a^n})] | [math(0^{-n}=\tilde\infty)][3] |
| 유리수 지수 | ||
| [math(a^{\textstyle\frac1q})] | [math(\sqrt[q]a)] | [math(a)]가 음수이고 [math(q)]가 짝수인 경우, 허수 |
| [math(a^{\textstyle\frac pq})] | [math(\sqrt[q]{a^p})] | [math(p, q)]는 서로소[4] |
| 유리수 지수의 극한으로서의 실수 지수 | ||
| [math(a^r)] | [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^{r_n})] | [math(a\geq0)] ([math(r=0)]인 경우 [math(a>0)]), [math(\{r_n\})]은 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty} r_n=r)]인 유리수열 |
| 복소수 지수 | ||
| [math(e^{ir})] | [math(cos r+isin r)] | [math(i=\sqrt{-1})] |
| [math(a^{r+is})] | [math(e^{r\ln a}(\cos (s\ln a)+i\sin (s\ln a)))] | |
| 자연로그의 밑과 로그함수를 이용한 실수 지수의 정의 | ||
| [math(e^r)] | [math(\ln x=\displaystyle\int_1^x\frac1t\,\mathrm dt)]로 정의된 함수 [math(\ln)]의 역함수 [math(\exp)]의 함숫값 | [math(\ln)]의 정의역 및 [math(\exp)]의 치역은 [math((0,\,\infty))] |
| 멱급수를 이용한 실수 지수의 정의 | ||
| [math(e^r)] | [math(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{r^n}{n!})] | 수렴 범위는 [math(r)]이 모든 실수 |
3. 도입
| 연산 | |
| <bgcolor=#dcdcdc,#434343> [math(x^n)] | |
| <colbgcolor=#F5F5F5,#2E3033> 결과 | [math(\\underbrace{x \\times x \\times \\cdots \\times x}_{\n\\text{번}})] |
| 연산자 이름 | 제곱\ |
| <rowif=한국어> 한국어 | x의 n제곱\ |
| <rowif=영어> 영어 | x to the nth power |
곱셈의 경우 거듭하여 덧셈하는 일을 간단하게 나타냈다. 예를 들어 2를 3번 더하는 것을 다음과 같이 나타냈다.
| [math(\displaystyle \underbrace{2+2+2}_{3\,\sf{times}}=2 \times 3 )] |
| [math(\displaystyle \underbrace{2\times 2 \times 2}_{3\,\sf{times}}=2^3 )] |
지수가 1일 때는 밑 자기 자신으로 정의한다.
| [math(\displaystyle 2^1=2 )] |
따라서 우리는 자연수 지수일 때를 정의했다. 이를 정리하면 아래와 같다.
- [math(a^1=a)]
- [math(a^{n+1}=a^{n} \times a )]
4. 성질
아래는 지수법칙으로 알려져 있다.[math(a)], [math(r)]가 음이 아닌 실수, [math(b)], [math(c)], [math(n)]이 실수일 때[5][6] 다음이 성립한다.
- [math(a^b a^{c} = a^{b+c} )][7]
- [math((a^b)^{c}=a^{bc} )][8]
- [math((ar)^{n}=a^n r^n )]
- [math(\biggl(\dfrac{a}{r} \biggr)^{n}=\dfrac{a^n}{r^n}\quad (r \neq 0) )]
지수가 자연수일 때는 여러 번 곱하는 것이 정의고 위의 지수법칙들이 정리가 되지만, 지수가 자연수가 아닐 때는 여러 번 곱한다는 정의가 통하지 않으므로 지수법칙을 정의로 활용하여 확장하게 된다. 확장을 하다 보면 모두 성립할 수 없을 때가 있는데 이때에는 밑의 성질부터 차례로 포기한다.
5. 지수의 확장
5.1. 정수로의 확장
지수 법칙이 잘 성립한다고 가정했을 때, [math(a\neq 0)]에 대하여| [math(\displaystyle a^{n}a^{0}=a^{n+0}=a^{n} )] |
| [math(\displaystyle a^0=1 )] |
또, 자연수 [math(n)]에 대하여
| [math(\displaystyle a^{n}a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}=1 )] |
| [math(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} )] |
이렇게 정의를 내리면, 첫 번째와 두 번째 지수법칙이 각각 임의의 집합에서 성립하고, 세 번째와 네 번째의 지수법칙이 각각 곱셈의 교환법칙이 성립되는 임의의 집합에서 성립함을 알 수 있다.
다만, 주의해야 할 것은 지수의 뺄셈은 밑이 0인 경우 어떠한 경우에도 적용되지 않는다는 것이다. 따라서 0의 0제곱을 지수법칙 정도를 활용해서 간접적으로 정의하고자 하면 반드시 수학적 오류를 마주치게 된다.
따라서 보통은 이변수함수 [math(x^y)]의 극한으로 직접 구하는 방식으로 값을 정의하는데, 해석학에서 증명된 바와 같이, 실수 체계에서 [math(0^0)]은 부정형이다.
다른 지수 형식의 부정형은 [math(1^\infty)], [math(\infty^0)] 등이 있으며, 모두 비슷한 방식으로 치환이 가능하다.
아래의 멱급수를 이용한 정의에서 대입하는 값이 실수나 순허수인 경우 [math(0^0)]가 반드시 나오게 되는데, 이 경우 [math(0^0 \triangleq 1)]일 때 잘 정의된다.
5.2. 유리수로의 확장
자연수 [math(n)]에 대하여 지수 법칙이 성립한다면,| [math(\displaystyle a^{n \times (1/n)}=(a^{1/n})^{n} )] |
| [math(\displaystyle (a^{1/n})^{n}=a )] |
기약분수 [math(m/n)]에 대하여
| [math(\displaystyle a^{m/n}=a^{m \times (1/n)} )] |
| [math(\displaystyle (a^{m \times (1/n)})^{n}=a^{m} )] |
| [math(\displaystyle a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} )] |
5.3. 실수로의 확장
실수를 정의할 때에 실수를 유리수의 빈공간을 메운 완비 공간으로 정의하면, 정의에 의해 무한 유리수열의 극한값으로 무리수 역시 정의할 수 있다.예를 들자면 원주율 [math(\pi)]에 대해 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, [math(\cdots)]가 된다.[10]
이것을 이용해 정의하면 일반적으로 [math(a^r)]은 [math(\displaystyle p=\lim r_n)]인 유리 수열 [math(\{r_n\})]을 이용하여 극한
| [math(\displaystyle a^p\coloneqq\lim a^{r_n} )] |
이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다.
이렇게 하면 [math(2^\pi)]는 [math(2^3)], [math(2^{3.1})], [math(2^{3.14})], [math(\cdots)]인 수열의 극한으로 정의된다.
5.4. 복소수로의 확장
복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다.먼저 [math(a^x=e^{x\ln a})]로부터 [math(x^z=x^{a+bi}=e^{(a+bi)\ln x})] 가 튀어나온다. 그리고, 오일러 공식 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]를 조합하면 지수함수가 허수 범위에서는 삼각함수와 같이 주기함수가 되어버린다. 따라서 주기함수의 역함수인 복소로그함수는 다가함수로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(주치를 선택)하거나, 리만 곡면으로 확장하여 고려해야 한다.
다만 지수를 복소수로 확장했을 경우 지수법칙 중 [math((a^b)^c=a^{bc})]와 [math((ab)^n=a^n\times b^n)]가 성립하지 않는 경우가 있다. 복소수 지수 자체는 정의가 되나 이 두 등식을 항상 만족하게 정의할 방법이 없다. 주기함수를 어떻게 분지절단 하더라도, 상수배 해버리면 범위가 바뀌어 버리기 때문이다.
5.5. 그 외
사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 [math(e)]에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의한 다음 자연로그를 통해 [math( a^x = e^{x \ln a} )]를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 로그 때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 로그함수라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다.5.5.1. 정적분을 이용한 정의
먼저 자연로그함수 [math(\ln x)]를 다음과 같이 정의한다.| [math(\displaystyle\ln x=\int_1^x\frac1t\,{\rm d}t)] |
| [math(\ln^{-1}x=\exp x)] |
5.5.2. 멱급수를 이용한 정의
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \exp(x) &\coloneqq\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \\ \operatorname{cis}(x) &\coloneqq\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{aligned})] |
exponential x의 준말로, 자연 지수 함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다. [math(\operatorname{cis}(x))]는 오일러 공식을 구성하는 요소의 이름자[12]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수 지수 함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다. 사실 위의 복소수로의 확장은 이 테일러 전개식을 가지고 지수함수를 삼각함수로 변환하는 방식으로 발견되었다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} \exp(x+y)&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!} \\&=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{r=0}^n\binom nrx^ry^{n-r}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{r=0}^n\frac{x^r}{r!}\frac{y^{n-r}}{(n-r)!}\\&=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\frac{x^l}{l!}\frac{y^m}{m!}\\&=\Biggl(\sum_{l=0}^\infty\frac{x^l}{l!}\Biggr)\Biggl(\sum_{m=0}^\infty\frac{y^m}{m!}\Biggr)\\&=\exp{x}\exp{y} \end{aligned} )] |
사실 여기서 [math(e=\exp(1))]이라고 정의하면, 저 성질로부터 모든 자연수 [math(n)]에 대해
| [math(\exp(n)=(\exp(1))^n=e^n)] |
| [math(\exp(n)=\dfrac1{\exp(-n)}=\dfrac1{e^{-n}})][13] |
| [math(\Bigl(\exp{\Bigl(\dfrac mn\Bigr)\Bigr)^n}=\exp{\Bigl(\dfrac mn\cdot n\Bigr)}=\exp{m})] |
임의의 [math(a)]에 대해 [math(a^z)]는 어떻게 할 거냐 할 수 있지만, 이건 그냥 [math(\exp{(z\log a)})]와 비교하면 된다. 여기서 [math(\log)]는 [math(\exp)]의 역함수로 정의된다.[17] 실수 정의역 한정으로 [math(\exp)]가 순증가함수인 걸 쉽게 보일 수 있으니 이는 별 문제가 없다. [math(a)]가 양의 실수가 아니면 어떡할 건가 싶긴 할 텐데, 그런 경우엔 [math(z)]가 정수이거나 하지 않은 이상 어차피 위에서도 그리 잘 정의되는 경우가 아녔으니 넘어가도 좋을 것이다.
무슨 지적 유희인가 싶겠지만, 이러한 방식의 확장은 수학 전반의 분야에서 유용하게 쓰인다. 사실 위에서 소개한 지수의 확장보다 훨씬 더 좋은데, 거의 순전히 대수적으로 구성된 정의라 대수적 구조가 있는 곳에선 많은 경우 활용이 가능한 식이기 때문이다. 예를 들어 행렬 지수 같은 것에서도 얼마든지 활용할 수 있다. 예를 들면 실수 혹은 복소수 성분의 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(\exp(A))]를 위와 같이 정의할 수 있고, [math(A)]가 뭐든 이 식은 잘 정의된다. 심지어 [math(AB=BA)]인 경우에 한해서 [math(\exp{(A+B)}=\exp{A}\exp{B})]도 성립한다.[18] 여기서 '거의 순전히 대수적으로'라고 한 이유는 아무래도 "무한합"이 들어가 있어서 그렇다. 물론 그 어느 분야에서도 0이 아닌 무한히 많은 항들의 "합"은 잘 정의되지 않으며, 그렇기 때문에 해석학의 경우에서처럼 극한을 활용한다든가 (formal) power series 같은 걸 활용한다든가 해야 한다.[19] 그도 아니면 [math(A)]가 nilpotent한[20] 경우만 생각한다든가 할 수 있다. 이런 경우 0이 아닌 항의 개수가 유한해지기 때문에 굳이 무한합 같이 써놔도 전혀 상관 없기 때문에 괜찮다. 이런 특수한 경우는 리 군과 리 대수 같은 걸 다룰 때 자주 등장한다.[21] 그 외에도 행렬 혹은 선형 사상을 지수로 하는 경우가 순수수학은 물론이고 양자역학 등 수많은 과학, 공학 분야에서 자주 쓰이기 때문에 이와 같은 방식의 정의는 몹시 유용하다.
심지어 위에서 소개한 [math(\operatorname{cis}(x))]로부터 [math(\sin)], [math(\cos)], 그리고 [math(\bm\pi)], 즉 원주율을 정의할 수 있다. 무슨 뜬금없는 소린가 싶겠지만 저 셋을 엄밀하게 정의하는 것은 생각보다 쉽지 않다. 여기서 [math(\operatorname{cis}(x))]의 성질들을 잘 들여다 보면 이 녀석의 상(image)이 복소평면 상에서 단위원과 똑같다는 것을[22], 그리고 이 함수가 주기를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이제 이 함수의 실수부와 허수부를 각각 [math(\cos)], [math(\sin)]로 표기하고 그 주기를 [math(2\pi)]라고 표기하면, 결국 우리가 기존에 알던 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\pi)]를 얻을 수 있다.[23]
6. 수 이외에서의 지수 표현
보통 숫자나 미지수를 포함한 식에서만 지수 표현을 하는 경우가 많지만, 다른 곳에서도 지수 표현을 사용하기도 한다.도량형과 차원에서도 지수가 쓰인다. 이를테면 미터의 1제곱은 선에 불과하지만, 제곱미터인 2제곱은 정사각형(square)으로서 면을 형성한다. 3제곱은 z축(높이)이 붙어 정육면체(cube)를 형성한다. 이를 차원으로 표기하면 각각 [math(\sf L)], [math(\sf L^2)], [math(\sf L^3)]이다. 다른 단위도 차원분석을 이용해 같은 방식으로 표기할 수 있다.
6.1. 함수의 합성
함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인| [math(f^2(x)=(f\circ f)(x))] |
단, 함수에 붙은 지수가 함숫값의 거듭제곱을 나타내는 경우도 많이 있는데, 삼각함수, 로그함수 및 대다수의 특수함수들[24]이 여기에 속한다. 즉, [math(f^2(x)=\{f(x)\}^2)]이다.
역함수는 보통 [math(f^{-1}(x))]이라고 쓰며, 역삼각함수도 삼각함수 앞에 arc-나 a-를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 역사인함수의 경우 [math(\arcsin x)], [math(\operatorname{asin}x)], [math(\sin^{-1}x)]의 표기가 혼용된다.
한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 급수를 멱급수라고 한다. 다항함수의 경우, 미지수의 지수가 가장 큰 항의 지수를 차수(degree)라고 한다.
6.2. 집합의 카테시안 곱
집합에 거듭제곱이 있으면 집합을 그 거듭제곱의 수효만큼 순서쌍으로 묶어놓은 것을 집합의 원소로 삼는 집합[25]으로 정의한다. 즉 자기 자신과의 카테시안 곱을 그 수효만큼 하면 된다.| [math(\{1,\,2,\,3\}^2\Rarr\{(1,\,1),\,(1,\,2),\,(1,\,3),\,(2,\,1),\,(2,\,2),\,(2,\,3),\,(3,\,1),\,(3,\,2),\,(3,\,3)\})] |
보통 중적분에서 [math(R^n)] 등으로 지겹게 접하게 된다.
더 나아가, 집합 그 자체를 지수로 삼을 수도 있는데, 이를 멱집합이라고 한다.
6.3. 행렬의 지수
행렬에서도 거듭제곱을 지수를 이용해서 표현할 수 있다. 당연하지만 정사각 행렬에서만 가능하다.7. 과학
7.1. 데시벨
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[데시벨#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[데시벨#|]] 부분을}}}7.2. 수소이온농도지수
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[수소 이온 농도 지수#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[수소 이온 농도 지수#|]] 부분을}}}8. 기타
- 헌터×헌터(헌터2)처럼 작품 이름에 거듭제곱이 쓰이기도 한다.
9. 관련 문서
[1] 영어로는 [math(a)] squared. 유명한 식으로 [math(E=mc^2)]은 'E equals mc squared'로 읽는다.[2] 영어로는 [math(a)] cubed.[3] 해당 수는 확장된 복소수에서 0의 역수로 정의되는 수이다.[4] [math(p/q)]가 기약분수여야 제곱근이 제대로 적용된다.[5] 단, 분모는 0이 아니어야 하며, 밑이 0일 때는 지수가 양수여야 한다.[6] 다만 지수가 모두 정수인 경우는 밑이 0이 아닌 실수이면 성립한다.[7] 이 등식은 [math(b)]와 [math(c)]가 실수가 아닌 허수일 때에도 성립한다. 또한 같은 방법으로 밑이 0이 아닌 경우 지수의 뺄셈도 나눗셈으로 정의할 수 있다.[8] 다만 [math(c)]가 정수일 경우에는 [math(b)]가 실수가 아닌 허수여도 성립한다.[9] 복소수의 범위에서, [math(n)]이 양의 정수일 때 [math(n)]개 있다.[10] 데데킨드 절단, 코시수열 등을 참고하면 좋다.[11] [math(p=\lim r'_n)]이면, [math(\lim a^{r_n}=\lim a^{r'_n})]이다.[12] cosine, imaginary unit, sine[13] [math(\exp(n)\exp(-n)=\exp(n+(-n))=\exp(0)=1)].[14] 임의의 유계 폐구간을 잡아 그 안에서만 [math(\exp)]를 생각했을 때 이게 사실 균등수렴하는 함수열의 극한임을 보이는 것으로 보일 수 있다.[15] 두 위상공간 [math(X)], [math(Y)]와 두 연속 사상 [math(f:X\to Y)], [math(g:X\to Y)]에 대하여 [math(Y)]가 Hausdorff하고 어떤 조밀한 (dense) 부분집합 [math(D \subset X)]가 존재해 모든 [math(x \in D)]에 대하여 [math(f(x)=g(x))]이면 [math(f=g)]임을 쉽게 보일 수 있다. 보통 위상의 실수 집합은 Hausdorff하고 유리수 집합은 조밀하다는 것 또한 상기하자.[16] 단, 이 섹션의 맨 마지막 문단에서 소개한 내용이 신경 쓰이거든 잠깐 [math(\exp(ix)=\cos x+i\sin x)]를 잊어버리는 게 좋을 수도 있다.[17] 물론 [math(\log)] 역시 [math(\exp)]와 같은 급수 형태로 정의되기도 한다. 즉, [math(\displaystyle\log(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}nx^n)]과 같이 정의하자는 것이다. 단, 이 급수가 모든 [math(x)]에 대해 수렴하지는 않으므로 어느 정도 제약이 있다. 그래도 적당한 범위 안에서 잘 작동하며, 특히 아래에서 언급할 행렬 지수를 다룰 때에 이 식을 종종 쓰곤 한다. 더군다나 아래에서 잠깐 언급할 (formal) power series에서는 수렴 여부 같은 걸 걱정할 필요가 사실 없다. 이는 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 순수 대수학적으로 구하는 과정에서 활용된다. 자세한 내용은 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보라.[18] [math(AB\ne BA)]인 경우에 대해선 상황이 복잡한데, 이에 대해선 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 찾아 보라.[19] 앞에서 말한 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보든가 아니면 S. Lang의 Algebra, 3rd Ed. (Springer, 2002) 중 Section IV.9를 보자.[20] 적당한 양의 정수 [math(r)]이 존재해 [math(A^r=0)].[21] 사실 리 군과 리 대수는 이 exponential map과 뗄레야 뗄 수 없는 관계를 많이 가진다. 주석 중 하나에서 소개한 Campbell-Baker-Haudorff formula 역시 이 분야에서 나온 것.[22] 의외로 쉽지 않은데, 단위원에 (즉 [math(|z|=1)]을 만족하는 모든 복소수 [math(z)]로만 구성된 집합에) 포함된다는 걸 보이는 건 위에서 언급한 성질에 의하여 단 몇 단어로 끝나지만 그 상이 단위원 전체와 같다는 것을 보이는 건 다른 문제이고, 이건 좀 어렵다.[23] W. Rudin, Real and Complex Analysis, Springer (1970, International Ed.), Prologue chapter 참고.[24] 감마 함수, 지수 적분 함수, 폴리로그함수 등[25] 집합족이라고 한다.
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