한자: 數理物理學 / 物理數學
영어: Mathematical Physics
1. 개요
크게 두 의미가 있다. 첫번째는 현대 물리학을 배우기 위한 기초적인 수학을 정리해놓은 과목으로서의 의미다. 두번째는 물리학에 접근하는 방법론으로서의 의미다.2. 학부 과목
2.1. 필요성
물리학과/물리교육과에 진학했을시 전자기학[1]이나 양자역학[2], 통계역학[3]과 같은 여러 물리 분야들을 다루는데 필요한 수학적 감각 및 방법론 등을 배우는 과목이다.고등학교 과정에서 배우는 수학만으로도 뉴턴역학에 관한 간단한 문제를 푸는건 가능하지만, 라그랑주 역학와 해밀턴 역학등의 해석역학이나 전자기학, 통계역학, 양자역학, 상대성 이론 등은 수리물리에 대한 기본기가 어느정도 쌓여야 이해하기 수월해진다. 학부 레벨에서 예를 들어보면같은 식이다. 대학원에서도 전자기나 양자등의 과목에서 여러가지 수학적 기법을 이용하여 자연을 기술하는 방법을 배운다.
따라서 수리물리학 없는 이론물리학은 상상할 수 없을 정도. 물리학의 언어는 수학 그 이상도 이하도 아니다.[5] 어떻게 보면 이론물리학도로서의 첫발을 떼는 과정이라고도 볼 수 있다. 당연히 높은 산을 등정하는 것과 같은 어려운 과정에 속하나, 이 산을 넘으면 그 다음 산들은 약간 낮게 보일 것이다.
2.2. 공업수학과의 비교
공업수학을 공과대학에서 가르치는 것 처럼 수리물리학도 수학과가 아니라 물리학과에서 가르친다. 그런데 물리학에 필요한 수학이 과연 한두개인가. 뒤에 배우는 내용에서도 나오지만 참 많다... 학부 공업수학에서 안 다루는 것[6]도 수리물리에 포함된 경우가 많다.직관적으로 난이도를 표현하면,
대학미적분학(하) —> 공업수학(중) —> 수리물리학(상)
과 같이 표현할 수 있다.
- 수리물리학, 공업수학에서 모두 배우는 내용 [7]
- 벡터미적분
- 선형대수학
- 상미분방정식
- 편미분방정식
- 푸리에 해석
- 복소해석학
- 확률과 통계
- 수리물리학에서만 배우는 내용
- 텐서 해석, 미분형식
- 특수함수: 그린 함수, 라게르 함수, 감마 함수 등
- 군론
- 변분법
- 미분기하학
- 공업수학에서만 배우는 내용
- 수치해석
- 최적화
- 그래프
근데 사실 이 둘을 같은 선상에서 비교하기 곤란한게, 엄연히 물리학과 공학이 지향하는 바가 다르고, 거기에 필요한 것도 다를 수밖에 없다. 일례로 미분방정식을 들으면 공대에서는 여러 가지 미분방정식의 종류와 여러 풀이 방법 및 MATLAB을 이용한 수치해석적인(=실용적인) 해에 초점을 맞춘다면, 물리학과에서는 어떤 미분방정식의 해에 해당하는 함수들을 중점적으로 공부하게 된다.[8]
예를 들어 공업수학, 수리물리학, 미분방정식 책을 같이 두고 미분방정식 파트를 비교해 보면 차이를 알 수 있다. 공업수학 책에서는 1계미방, 2계미방, 연립미방 및 라플라스 변환과 함께 Series Solution(=특수함수)이 한 개의 챕터씩 차지하고 있지만, 수리물리 책에는 1,2계랑 라플라스는 그냥 뭉뚱그려 한단원에 소개되어 있거나 짤막하게 소개되어 있는 반면 특수함수는 함수 한개가 한 챕터씩 차지하는 경우도 있다. 그리고 그런 함수들은 대개 물리학 역사에서 중요한 물리 모델들을 미분방정식을 동원해서 풀 때 꼭 등장해서 안 하고 넘어갈 수도 없는 노릇이다. 또한 텐서도 일반적인 공업수학 책에서는 찾아보기 힘든 반면 웬만한 수리물리 책에는 반드시 있다.
이렇게 배우는 양도 굉장하지만 그렇다고 수리물리를 소홀히 공부해두면 각종 전공필수수업에서 수학적인 내공이 부족해 아예 바보가 되는 경우도 생긴다. 물리학은 자연철학의 수학적 해석이라는 것을 잊지 말자.
2.3. 대학별 차이점
보통 물리학과&물리교육과 2학년생들이 2~3학기 동안 공부하며 대학미적분학을 선수과목으로 둔다.대륙식 학제를 따르는 영국의 잉글랜드는 대학예비학제인 식스폼에서 further mathematics라는 과목으로 선형대수, 미분 방정식, 복소해석, 테일러 급수, 극좌표계등 학부 1학년때 배우는 수학을 선행하고 대학에 입학한다. 보통 잉글랜드에 위치한 공립대학 물리학부의 수리물리학 과목은 적어도 학부 2학년까지 필수과목으로 지정돼있고, 특히 옥스퍼드 대학교는 마지막 학년인 3학년까지 복소 변수 함수라는 커리큘럼으로 수리물리학 심화를 듣는다.
일반적으로 2학년에 개설되는 수리물리학은 Boas, 3학년에 개설되는 수리물리학은 Arfken을 교재로 한다.
연세대학교의 경우 다른 학교에서 2학년 수리물리학에 배울만한 기초내용은 이과대 공통과목으로(실제로는 그중 물리/천문우주/대기과학과 학생을 위함) 수학과에서 개설하는 고등미적분학(Kreyszig 공업수학 책으로 배운다)으로 해결하기 때문에 4학년 과목으로 지정되어있다. 4학년의 수리물리학은 대학원과 공유하는 심화 수준으로 나간다.(학부와 대학원에 같은 시간, 같은 장소로 동시에 개설되어 있기 때문에, 교수가 출석부 2개를 들고 들어온다.) 그래서 연세대 수리물리학은 전공필수가 아니며 교수에 따라 다르지만 보통 Arfken을 빠짐없이 나간다.
서울대학교는 선행 과정으로 수학과에서 개설하는 선형대수, 미분방정식, 복소해석 등의 강의를 듣고 수리물리학을 듣기 때문에, 수리물리 강좌에서는 기본적인 내용보다는 좀 더 세부적인 부분에 집중하게 된다. 예로 들면, 2학년 때 선형대수, 미분방정식을 듣는 것을 권장하고[11] 2학년 2학기에 기본물리수학, 그리고 3학년 1학기에 물리수학이란 이름으로 본격 수리물리학 강좌가 개설되는 식.
그런데, 수학과의 과목을 통해 기초 및 선행개념을 쌓는 경우라면 복소파트를 들을 때 좀 골룸해질 수 있다. 복소함수론은 수학과 커리큘럼에선 대부분 3학년 과목이기 때문. 물론 당겨듣지 않아도 보아스나 아프켄 책이 워낙 잘 만들어져서 따라갈 수는 있으나 상당히 벅차긴 하다. 본인의 상황에 따라 잘 선택할 것.
2.4. 교재
국내외에서 흔히 밑의 두 권이 제일 많이 쓰인다. Boas(보아스)와 Arfken(아프켄)의 저서이며, 보통 Boas는 학부 과정에, Arfken은 대학원 과정에 적합하다는 평이 많다.2.4.1. Boas저 MMP
M. L. Boas[12] - Mathematical methods in the physical sciences상당히 쉽게쉽게 설명이 돼 있으며, 중간중간에 나오는 예제나 연습문제도 차근차근 따라가면 누구나 이해할 수 있을 정도로 친절한 책이다. 웬만한 내용은 다 들어있기 때문에 급할 때 찾아보면 속성으로 공부할 수 있는 책이며, 깊이 또한 학부 물리학 정도는 커버하므로 독학용으로도 적당하다. 번역본이 존재하는데 본문에 비문이나 번역 오류가 꽤 많으므로 유의하자. 참고로 제목도 physical sciences이므로 물리학과뿐만 아니라 화학과, 공과대학 등의 학생들이 봐도 좋다. 공학수학의 바이블인 Kreyszig과 비교했을 때 핵심 단원의 전반적인 난이도는 비슷하다.
Boas가 초짜들만 보는 책이라 무시하는 사람도 있는데, 매우 자세하게 알려줘서 그렇지 그 정도로 수준이 낮은 건 전혀 아니다. 오히려 Boas의 수준을 까는 사람이 책을 제대로 보지 않은 것이다. 책 두께를 보면 알겠지만 한국 기준으로 대학교 1학년[13]~4학년 과정을 두루 다룬다. 폭넓은 설명때문에, 옥스퍼드 대학교에서도 1-3학년 수리물리학(복소함수) 커리큘럼 권장 전공서에 등록되어있다.
엄밀한 대수적 접근이 필요한 증명은 생략하거나 예를 들어 설명하는 반면 배운 내용을 통해 절차적으로 증명 가능한 수식들은 연습문제로 빼놓는 경우가 많다. 많지 않은 분량(그래도 800페이지 이상 된다)에도 물리적인 예시가 다양하고 접근성이 좋는 것은 이 때문이다. 연습 문제의 수식 증명도 비교적 힌트가 너그러운 편이니 풀어보면 실력 향상에 큰 도움이 된다. 본문만 보면 빈약한 듯 보여도 연습 문제까지 포함하여 책 전체를 소화하면 학부 수준의 수리물리 방법론을 굉장히 잘 장착할 수 있을 것이다.
KOCW 강의로도 유명한 최준곤 교수가 번역한 번역서가 존재한다. 오타가 좀 있는 점을 제외하면 번역 퀄리티가 나쁘지 않다. 원서에 있는 영어 표현(특히 용어들)을 참고로 한다면 번역서로 공부해도 좋다.
2.4.2. Arfken저 MMP
G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris - Mathematical Methods for Physicists물리학에서 보편적으로 널리 쓰이는 수학을 커버[14][15]하는 수리물리 매운맛의 고전. 흔히들 Boas에 비해 좀 어렵다고 하는데 진짜 이유는 다음의 두 가지이다. 먼저 본문에서 수학과 전공과목에서 다루는 상위 개념들[16]을 직관적인 차원에서라도 거침없이 소개하는 경우가 많다. 또한 연습문제가 단순계산에 치중된 것 이외에도 다양한 물리적 상황 속에서의 문제해결능력을 요하는 것들을 포함한다.
전자의 이유로 인해 이 책을 읽는 특유의 방법이 생긴다. 저자가 각 단원 끝에 further reading 리스트를 넣어놨는데, 역설적으로 Arfken 하나만 읽어서는 책 내용을 완전 소화하긴 좀 힘들다는 의미이다.[17] 이 목록에 있는 도서나, 아예 수학과 전공서적을 같이 펼쳐두고 읽거나[18] 위키피디아 혹은 대학별 스크립트를 참조하면 개념에 대한 적절한 직관이 생기는 경우가 많다. 의외로 수리물리를 하는 데에는 엄밀한 수학적 formulation이 필요하지 않으므로, 상위 개념의 개략적 이해를 통한 강력한 직관를 바탕으로 연습문제를 많이 풀어보면 실력이 늘게 된다.
수리물리를 처음 배우는데 Arfken을 보고 싶으면 Boas처럼 핵심내용이 체계적으로 요약정리된 책을 같이 보거나, 이공계 학생들을 위해 개별 분야[19]에 대해 자세히 다룬 개론서 등을 같이 보는 편이 훨씬 빠르고 정확하게 이해할 수 있는 방법이다. Arfken은 대학원용 입문 교재로도 많이 쓰이는데, 한편으로 심도 있는 토픽들의 경우 그 자체가 너무 복잡해서 오히려 formal하게 서술된 책들[20]이 나은 경우가 있다. 처음 보면 대체 뭔 책인가 싶지만, 다른 자료 뒤져가며 다 공부하고 나서 보면 참 잘 썼다고 생각되는 특이한 책인 것이다.[21][22] 연습문제도 마찬가지로, 처음에는 아무 어려운 문제나 던져놓은 것 같지만 나중에 다시 보면 개념 이해에 꼭 필요한 알짜배기 문제만 넣어놨다는 느낌이 든다.
하지만, Arfken이 엄밀하고도 축약된 설명을 위해 심도 있는 토픽들을 사용한 것에 불과한것이지, 쉬운 이해 자체에 핵심을 전혀 두지 않는 어려운 개념으로 쓰여진 거라고는 말할수 없다. 대표적인 사례로 Boas보다 자세한 이해에 핵심을 두고 써놓은 부분도 존재한다. 복소 해석학에서 극점의 차수가 n인 유수의 계산적 정의를 Arfken은 아래와 같이 설명한다.
만약 [math(z-z_0)]에서 극점의 차수가 [math(n > 1)]이라면, [math((z-z_0)^nf(z))]은 다음 전개를 가진다.
[math((z-z_0)^nf(z) = a_{-n} + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{n-1} + a_0(z-z_0)^n)]
[math(a_{-1})]이 [math((z-z_0)^nf(z))]의 테일러 전개의 [math((z-z_0)^{n-1})]의 계수임을 볼수 있으므로, 위 계수는 다음을 만족함을 확인 할수 있다.
[math(\displaystyle a_{-1} = \frac{1}{(n-1)!}\lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^{n-1})]
- G.B. Arfken et al. MMP : A comprehensive guide. AP. Chapt. 11, 510
[math((z-z_0)^nf(z) = a_{-n} + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{n-1} + a_0(z-z_0)^n)]
[math(a_{-1})]이 [math((z-z_0)^nf(z))]의 테일러 전개의 [math((z-z_0)^{n-1})]의 계수임을 볼수 있으므로, 위 계수는 다음을 만족함을 확인 할수 있다.
[math(\displaystyle a_{-1} = \frac{1}{(n-1)!}\lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-z_0)^{n-1})]
- G.B. Arfken et al. MMP : A comprehensive guide. AP. Chapt. 11, 510
다만, Boas에서는 아래와 같이 짤막하게 설명되어있다.
[math(m)]이 극점의 차수 [math(n)]보다 크거나 같은 정수인 [math((z-z_0)^m)]을 [math(f(z))]에 곱하고, 곱한 값을 [math(m-1)]번 미분한 다음, [math(z=z_0)]에서의 값을 구하라.
- M.L. Boas, MMP, Wiley. Chapt. 14, 685
- M.L. Boas, MMP, Wiley. Chapt. 14, 685
또한 Arfken이 물리학에서 쓰이는 모든 수학을 함축하여 집필된것은 아니다. Chapter 4.5에 언급되는 Grassmann Algebra와 미분다양체를 제외하고, 물리 현상을 추상적으로 표현하는데 쓰이는 위상수학과 대수기하학의 토픽들을 다루지 않았다. Arfken은 철저히 물리학의 관점에서 수학으로 접근한 수리물리학 서적이라는 본분은 변하지 않아, 물리학에서 보편적으로 널리 쓰이는 해석학, 선형대수학의 토픽 위주로 저술되었다.
Essential Mathematical Methods for Physicists라는 축약판이 출판되기도 하였다. 중요한 내용만 골라서 수록하되 학부용 교재로도 사용이 가능하도록 한 것이다. 그러나 난해한 난도는 그대로이면서 빠진 부분이 상당히 많기 때문에 원본 책의 장점이 많이 퇴색되었으므로 Essential판에 대한 평가는 그리 좋지 않다.
번역본은 먼저 Essential판이 홍릉과학출판사에서 기초 수리물리학이라는 제목으로 나왔다. 물론 Essential판이 아닌 원본의 경우에도 번역본이 존재한다. 이 번역본은 한 때 절판된 적도 있으나 2020년 3월 청문각에서 7판이 출간되었다. 그런데 목차를 보면 알 수 있듯이 원서 전체를 번역한 것이 아니다.[23] 심지어는 Essential판 보다도 챕터 수가 짧게 번역되었다. 최소한 Essential판은 완역이 된 반면 원본은 양이 워낙 방대하다 보니 완역이 아직도 이루어지지 않고 있다.
위의 Boas와 함께 옥스퍼드 대학교 2-3학년 권장 전공서 목록에 올라와있다. 단 2-3학년 수리물리학 커리큘럼에서 Arfken에 저술된 과정이 매우 집중적으로 다뤄진다.
2.4.3. Hassani저
S. HassaniHassani의 책은 2개의 버전이 있다. 하나는 mathematical methods for students and related fields이고 하나는 mathematical physics이다.
전자는 학부생용으로써 독학으로도 이상적인 교재다. 꽤나 자세히 설명해 놨기에 정독하고 연마한다면 진도를 쉬이 나아갈 수 있다.
Boas책과 비슷한 레벨이며 비슷한 챕터를 다루고 있다. 하지만 도출되는 식이나 이론은 좀 더 자세하며, 논리적 비약 없이 읽을 수 있는 장점이 있다. 저자의 성향이 수학적 기반을 중시하는 터라 [24] Boas에 비해 개념의 정의가 조금 더 원론적이고 수학 교재에 가깝게 기술되어 있는데, 기초부터 개념을 탄탄히 다지는데 좋다고 할 수도 있지만 거꾸로 rigo가 단단한 책일수록 초심자에게는 직관적으로 읽히지 않을 수도 있으니 이 부분은 감안할 필요가 있다.
하지만 수식 전개에 있어서는 비슷한 레벨의 다른 책들보다 확실히 더 친절하고, 증명 없이 선언하는 개념도 훨씬 적다. 한 마디로 Boas보다 설명이 길고 상세하고 증명도 더 많이 보여주지만 더 안 읽힌다. 텐서(tensor)는 동레벨의 다른 책들보다 자세히 다루고 있으나 군론(group theory)은 다루지 않는다. 특히 벡터해석(vector analysis)에 많은 분량을 치중하고 있는데 사원벡터(four-vector)에 대해서도 다루고 있다. 텐서와 백터해석 부분 모두 상대론에 대한 응용 관점에서 주로 예시를 들며 동레벨 다른 책보다 상세한 편이다.
Physics Today에 본서 1판에 대한 리뷰가 다루어져 있다. 동등 수준의 다른 교재에서 빠진 챕터들(변분법, 확률, 텐서, 적분변환, 컴퓨터 활용)이 있어 아쉽다는 코멘트가 있는데, 흥미롭게도 2판에는 저기에 언급된 내용들이 컴퓨터 활용을 제외하고 모두 추가되어 있으며(...), 컴퓨터를 활용하는 수리물리는 조금 더 기초적인 레벨에서 Mathematical mehtods using Mathematica 라는 책에서 다루고 있다.
후자는 대학원 교재. 국내에선 최근에 소개 된 신성이다. 수학교재처럼 전개 되어 있으며 수학교재를 읽어보지 않은 학생이라면 많이 당황할수도 있는 텍스트이겠지만, 오히려 이 부분은 수학교재처럼 전개하는 게 훨씬 올바르게 알 수 있겠다는 생각이 든다. 최신판인 2판 기준으로 Clifford algebra와 표현론이 추가되었고, 텐서해석부터 시작하여 미분다양체, fibre bundle, gauge theory의 수학적 토대에 관한 설명이 특기할만하다.
앞부분은 추상대수학의 입문으로써의 선형대수를 다루고있다. 수학적인 이론도 엄밀하게 소개하는것은 물론, 물리학에서의 실질적인 계산법도 놓치지 않고있다. 3장의 Algebra에 대한 기초이론을 알아두면 이후의 Lie algebra를 공부할때 도움이 된다.
이후에는 함수해석의 기초를 짧게 다룬후, 물리에 나오는 미분방정식의 분류와 해급수의 분류, 푸리에변환, 복소해석등을 심도있게 다룬다. 적분변환과 적분방정식을 각각 한 챕터씩 다루며, 3챕터에 걸친 그린함수는 수리물리 전반부의 꽃이라 할만하다.
유한군론(group theory)의 경우 Arfken보다 몇 배는 자세하고 엄밀하게 다루고 있어서, 이해만 한다면 수학적인 정의 및 해석을 확실히 알 수 있다. 또한 표현론에 관해서도 몇개의 챕터를 할애해서 설명하고 있는데 대단히 상세하고 응용도 염두에 둔 예시가 있어서, 학부생 이상의 양자역학의 확고한 이해를 위한 토대가 된다. 리군(Lie group)과 리 대수의 표현을 자세히 다루고 있다. 리군과 리대수의 응용으로 미분방정식계에 대한 대칭성을 2챕터에 걸쳐서 설명하고 있는데, 마지막에 나오는 뇌터정리의 완전한 설명이 압권. 양자역학을 완전히 수학 위에 올려 놓으려면 Hassani 대학원 교재를 한번쯤이라도 읽어보는 걸 추천한다.
마지막은 번들이론을 바탕으로 미분기하학과 리만기하를 완전히 올려놓는것으로, 집합에 공리를 추가해나가는 선형대수부터 기하학에 이르기까지 장대한 내용이 끝난다.
하지만 이책의 단점이자 치명적인 한계는 발췌독을 할 수없다는 점과 기술방식에서 평상시 우리가 접하는 수학기호가 아니라는 점이다
발췌독은 수학적으로 엄밀함과 논리를 추구해놓기 때문에 내가 해당 파트가 관심이 있어서 그부분을 읽으려면 앞 챕터 또 그 앞챕터로 가다보면 1장으로 가는게 빈번해진다
이렇게 앞으로 가는 것도 문제인데 기호나 유도방식 나아가 풀이도 진부해보이는 것들[25]이나 통상쓰는 기호로 서술되지 않은탓에 새로운 약속을 받아들이는 과정도 매우 지겨워진다
2.4.4. Mathews저 MMP
J. Mathews and R. L. Walker - Mathematical Methods of Physics리처드 파인만이 코넬 대학교에서 조교수로 재직했을 때의 강의에 기반하여 저술된 책이다. 수학적 엄밀함과 논리성에 집중된 서술보다는 물리학에서 사용되는 테크니컬한 부분 위주로 서술되어 있으며, 일부 Arfken이나 Boas에서 다루지 않는 내용도 포함되어 있다. 500쪽으로 매우 얇은 편. 매우 오래된 책으로 실물을 구하기가 하늘의 별 따기이나, 카이스트등 이를 교재로 사용하는 학교들이 아직 국내외로 존재한다. Arfken과 마찬가지로 입문서적으로는 무리가 있다.
2.4.5. M. Nakahara저 Geometry, Topology and Physics
理論物理学のための幾何学とトポロジー군론 및 해석학 중심의 여타 수리물리학 교재와는 다르게 양자장론 및 끈이론 등 입자이론 물리 학습을 위한 미분기하학/대수위상 교재. 책 제목에서 보다시피, 물리 현상을 설명하기 위해서 미분/복소 기하부터 대수/미분 위상, 대수기하까지의 대학원 석사수준 수학을 한책에 우겨놓으니 뇌가 부서질 것 같은 체험을 할 수 있다. 물리 챕터의 경우는 꽤나 애드혹(ad hoc)적으로 쓰여진 편으로, 학자들이 제시한 이론을 이해하기보다는 주어진 결론에 도달하기 위해 이를 설명한다는 뉘앙스가 강하다. 이 책을 참고서 혹은 부록으로 보려는 독자거나 어느 정도의 대학원 수학[26]을 접해본 경험이 있는 독자라면 좀 더 수월하게 읽을 수 있을 것이다.
이 책의 주요 주제중 하나인 위상수학은 응집물질물리학의 위상부도체 연구에 쓰이며, 핵입자물리학에선 솔리톤이나 자발 대칭 깨짐, 쿼크-글루온 플라즈마의 하드론화, 끈이론 연구에 위상수학적 개념이 사용된다.
3판이 출간 될 예정이며, 3판에서는 입자이론에 집중했던 구판과는 달리 위에 나온 이론물리의 다른 분야들과 응용물리, 그리고 수학 분야인 푸앵카레 정리까지 좀 더 다양한 주제를 다룰 것이라고 한다.
2.4.6. Riley 저 Mathmatical methods for physics and engineering
많은 분야를 다루면서도 논리적 비약도 크지 않은 매우 훌륭한 책이다 특히 이해할놈만 이해라고 휘리릭 지나가는 Arfken 군론과 비교해도 독학으로 공부하기에도 매우 이상적인 교과서이다[27] 선형대수 군론 표현론은 수리물리학 교재 중 자세하면서도 가독성까지 살린책이다 미분방정식 파트도 자세하게 기술되어있다 하지만 한 줄 한 줄을 꼼꼼히 읽으면서 진행해야 간간히 뛰어넘은 비약을 알아차리고 채워나가며 읽을 수 있다
다른 교재에서 소개로만 다루거나 다루지 않는 normal mode도 하나의 챕터로 떼어내서 다루고 있고 양자역학 공리계를 이해하는데 있어서도 빠뜨림이 없다 텐서 해석학도 비교적 자세하고 차근차근 따라갈 수 있도록 설계되어있다[28]
Hassani의 괴상망측한 언어와 Arfken의 양자도약하듯한 서술에 질린다면 그 두가지를 모두 보완할 수 있는 매우 훌륭한 책이라 평하고 싶다
2.4.7. 그외
Shankar, Chow, Wong 등의 교과서가 있으며, Hilbert[29], Morse와 같은 수리물리학의 고전이 있으나 어째 국내에서는 다 존재감이 없다. 몇몇 교수의 경우 직접 책을 써서 하기도 한다. 대표적인 예가 강주상 교수의 ≪수리물리학≫. 이외에도 국내에서 발매되는 저서들이 있으나 대부분 절판되었거나 학부 교재로서의 가치가 부족한 경우가 대부분. 그 중 가장 많이 보이는 저서는 켄 카즈시의 ≪아하! 물리수학≫으로 보이는데, 너무 간략한 설명과 적은 토픽 등이 흠일 수 있으나 입문자가 아닌 수리물리학을 한 번 정독한 사람이라면 읽어볼만한 저서. 또한 정원상 ≪수리물리학≫, 와다치 미키 ≪물리를 위한 대학수학≫, Schutz ≪수리물리학의 기하학적 방법≫[30] 등이 있다.한양대에서 Arfken 수리물리학 강의를 제공하고 있다. 유튜브에서도 제공 중. 참고로 수리물리학 뿐만 아니라 (같은 강의자가) 일반물리학, 양자역학 등도 강의하고 있다. 강의자는 한양대학교 신상진 교수[31]. 그리고 고려대학교 최준곤 교수(Boas 3판 번역자)가 강의한 영상이 올라와 있으니 그것도 참고해도 된다.
2.5. 배우는 내용
대체적으로 공업수학이랑 배우는 범위가 비슷하거나 좀 더 넓고, 배우는 방향과 세부적인 내용이 다르다.- 벡터해석
- 벡터의 연산: 내적, 외적, 삼중곱, 나블라
- 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등
- Curvilinear coordinate (극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계)
- 텐서 해석
- 텐서의 연산
- 공변, 반변
- Pseudotensor, dual tensor
- 계랑 텐서, 크리스토펠 기호, 공변 미분
- 미분 형식
- 선형대수학
- 벡터 공간, 선형 변환
- 행렬, 행렬식
- Orthogonal, Hermitian matrix 등
- 행렬의 대각화: 고유값, 고유벡터
- 군론[32]
- 유한군, 대칭군
- 리 군, 유니터리 군, 리 대수
- 로런츠 군
- 각운동량
- 무한급수
- 급수 수렴 판정법
- 멱급수, 테일러 급수
- 함수열
- Infinite product
- 복소해석학
- 복소수
- 코시의 적분 정리
- 로랑 급수
- 등각 사상
- 유수 정리
- 특수함수(감마함수, 베타함수, 오차함수)
- 상미분방정식
- 1계 미분방정식, 2계 선형 미분방정식
- 라플라스 변환, 합성곱
- 그린 함수
- 편미분방정식
- 오일러 방정식
- 라플라스 방정식, 푸아송 방정식
- 열 방정식, 파동 방정식
- 슈뢰딩거 방정식
- 비선형 방정식
- 푸리에 해석 [33]
- 스튀름-리우빌 정리
- 푸리에 급수
- 푸리에 변환
- 미분방정식의 급수해
- 확률과 통계
- 각운동량: Boas에는 없고 Mathews 이상에서 다룸.
- 미분기하학: Boas에는 텐서해석만 소개되어 있음. 그 이상은 Mathews 이상에서 다룸
교수의 재량에 따라 다르겠지만 학부 과정에 맞춰서 위 내용을 일부만 배울 수도 있지만 욕심 많은 교수가 걸리면 저기서 더 심화된 내용을 팔 수도 있으며. 심한 경우에는 수학과 학부 과정조차 뛰어넘기도 한다. 보통 수학과 4년치 커리큘럼에서 집합론, 정수론, 조합론을 뺀 전부를 배우는 것이 표준적이며, 이럼에도 수학과처럼 세세한 증명과 여러 정리들을 모두 다루지는 않는다. 하지만 대학원을 가면 이것도 공부 목표. 이론물리학자 과정을 밟는다면 전공에 따라 각기 다른 메이저 레벨 수학 분야 2~3개 이상[34]을 배우고 이를 베이스로 연구한다.
3. 방법론
물리학의 전반적인 분야에서 도출되어 나온 수학적인 표현의 근원을 탐구하는 방법으로 주로, 정리 및 그에 관련된 증명 위주이다. 이론물리학, 전산물리학, 실험물리학등과 함께 물리학의 각 분야로 적용되는 주 방법론이며, 그중에서도 이론물리학과 상호작용이 매우 강한 방법론으로 분류된다.3.1. 이론물리학과의 차이점
이론물리학과 수리물리학이 별차이 없다는 인식이 세간에 박혀있지만, 세부적으로 들어가면 이론물리학과 수리물리학은 분류가 나뉘어지기도 한다. 이론물리학은 물리 현상의 이론을 주로 나타내려는 목적이 강하다. 이론물리학의 주된 목적은 다음과 같이 크게 3가지로 정리할수 있다.- 조사하고자 하는 물리적 대상의 형식을 어떻게 표현 할것인가?[35]
- 조사하고자 하는 물리적 대상의 형식은 수학적으로 어떻게 작용[36]될 것인가?
- 위 2가지 방법을 형식에 적용했는데, 보완점과 새로운 적용점은 무엇이고, 어떤 현상을 새롭게 예측해볼수 있는가?
다만, 수리물리학은 현상을 관찰하는 특징이 정말 희미하고, 형식의 수학적인 근원을 주로 다룬다. 이를 따르는 수리물리학의 의의는 다음과 같다.
- 물리적 대상을 표현하는 형식의 수학적인 근원은 어떤 것이고, 증명이 가능한가?[38]
- 형식으로부터 해를 계산하는 것이 난해할때 난해한 근원은 무엇이며, 근원에 대한 증명이 가능한가?
- 형식 자체는 수리논리적으로 의의가 있는가?
또한 수리물리학은 형식의 수학적 규칙을 엄밀하게 설명하려는 측면이 강하다. 주로 수학적 규칙은 추상적인 범위를 다루기 때문에 증명 과정이 난해한 편이다.
의의의 차이는 두 분야간 논문 형식도 다르게 발전시켰다. 그중 확연하게 차이나는 부분이 디스커션이다. 이론물리학의 논문 형식은 자연과학분야 논문들과 유사하게 수식을 소개하고, 특징점을 비교적 자유로운 문단 구조로 부각하는 측면이 있다. 수리물리학의 논문 형식은 수학 논문들과 유사하게 철저히 정리, 보조정리, 귀결과 그의 증명으로 구분되어 있는 형식을 갖추고 있다.
3.2. 분야
수리물리학을 이용한 분야는 아래와 같다.- 공리적 양자장론
- 대수적 양자장론
4. 관련 문서
[1] 당장 맥스웰 방정식 자체가 편미분방정식이다. 그 외에도 벡터 해석학 등 내용을 제대로 이해하지 않으면 식 자체가 무슨 내용인지 전혀 이해하지 못하는 경우가 다반사.[2] 선형대수학은 기본 베이스이고, 복소해석학, 편미분방정식, 특수함수, 표현론(!)조차 필요하다. 양자장론이나 좀 더 현대적인 내용으로 가게 되면, 위상수학이나 추상대수학 등등 순수 수학에 가까운 내용들이 계속 튀어나온다.[3] 다른 분야에 비해선 수학적 압박이 덜하지만 르장드르 변환이라던지 각종 수학적 기초가 없으면 곤란해지는 경우가 생긴다. 물론 좀 심화내용으로 양자역학과 섞이는 순간부턴 헬게이트 시작이다.[4] 라그랑주 역학, 해밀턴 역학[5] 물론 그렇다고 수학이 물리학과 동등한 자연과학이라고 볼 수는 없으며, 이론을 설계하는 과정에는 수학 실력 자체보다는 과학자의 상상력, 직관력, 추리력 등이 더 큰 역할을 한다. 즉 설계한 이론을 객관적으로 설명하는 방식이 수학인 것. 자세한 건 수학-물리학 관계 참조.[6] 대표적으론 Green 함수, 변분법, 군론 등[7] 물론 중요도나 다루는 심도, 방향은 다를 수 있다.[8] 간단하게 설명을 하자면 물리학(수리물리학)은 주로 이론(=원리) 위주로 맞춰져 있다면 공학(공업수학)에선 주로 응용(=실용) 위주로 맞춰져 있다고 보면 된다.[9] 공대 학부 수준에선 3by3 행렬로 그려질 수 있는 수직응력, 전단응력 수준 에서 생각할 수 있게끔 되어있다.[10] 예를 들면 유체역학에서 나비에-스토크스 방정식을 다루게 되면 텐서 개념이 있어야만 기울기 벡터(gradient) 등의 개념을 이해할 수 있다. 또 대학원 수준쯤 되면 공대생들도 텐서에 익숙해져야 하는 경우가 많다.[11] 해석개론도 있지만 굳이 이것까지 들을 필요는 없다.[12] 풀네임이 Mary Layne Boas인 할머니다. 보통 이공계 전공서적들은 여성이 저술한 경우는 잘해야 제1저자의 동업자인 부인/딸이 제2저자 또는 솔루션 저자로 참여하는 정도인데 Boas 수리물리 책은 여성이 저술한 전공서적이 해당 분야의 고전으로까지 인정받는 보기 드문 사례라 할 수 있다. 하지만 2010년경 작고했다. 참고로 1992년에 사별한 남편 역시 수학자였으며 아들도 수학 교수가 되었다. 남편인 Ralph Boas는 다른 이유로도 유명한데, 바로 니콜라 부르바키의 정체를 최초로 폭로한 사람이다. 이로 인해 부르바키는 American Mathematics Society의 '개인' 정회원으로 가입을 신청했다가 더 우대받는 '기관 멤버십'으로 신청하라고 점잖게 반려당했고, 이에 부르바키는 앙심을 품고 'Boas야말로 역 두문자어'라는 가짜 뉴스를 퍼뜨려서 랄프 보아스가 한동안 기괴한 루머에 시달렸다.[13] 로피탈의 정리 이후[14] 단 Jackson 저 대학원 전자기학과 대학원 수준의 양자역학 교재는 완전히 커버되지 않는다. 양자역학의 수학적 기반같은 경우에는 차라리 아래 문단의 하사니를 보거나, Sakurai혹은 GTM의 실해석학 전공서와 병행하는것이 좋다.[15] 물리학 중에서도 양자장론이나 초끈 이론을 배우는 입자물리학이나, 자기유체역학이나 양자유체 등등 전반적인 물리학 및 응용 심화과정을 배우는 천체물리학은 수리물리 뿐 아니라 사실상 거의 모든 수리적 지식을 필요로 한다.[16] 예를 들어, 디랙 델타함수의 실체인 변분법, 벡터미적분의 상위호환격 개념인 미분다양체와 외미분, 텐서해석, 군론 및 표현론 등이 있다.[17] 저자도 서문에서 책을 제대로 읽으려면 상당한 수학적 성숙도가 요구된다고 못박은 바가 있다.[18] 책들이 너무 비싸니까 학교 도서관을 애용하도록 하자.[19] 선형대수, 벡터미적분, 미분방정식 등[20] 아래에 나오는 Hassani의 Mathematical Physics나 각종 수학과 전공서적 등[21] 수학이라는 엄청나게 방대한 분야를 한 권에 다루다 보니 어쩔 수 없이 생기는 현상이다.[22] 사실 모든 "어렵게 쓴" 책이 비슷한 양상을 가진다. 굳이 비유하자면 실력정석을 처음 봤을 때의 벙찌는 느낌이랑 비슷하다고 할 수 있다.[23] 역자 서문에서 원서의 장을 기준으로 12장 해석학에서의 심화 주제, 16장 각운동량, 17장 군론, 21장 적분방정식, 23장 확률과 통계 부분은 생략되었고, 13~15장은 한 장으로 축약되었다고 나와 있다.[24] 저자인 Hassani의 웹페이지를 보면 저자는 교양으로 대중화된 과학으로 인해 사람들의 과학에 대한 이해가 점차 떨어지고 있다고 여기고 있으며, 이를 막고자 하는 활동에 많은 관심을 기울이고 있다. 저술에서도 이러한 성향이 반영된듯 수리물리학 교재 중에서도 수학적인 개념을 명료하게 서술하는 것에 많은 텍스트를 할애한다.[25] 다른 교과서 설명에 비해 인수분해로 풀리는 방정식을 굳이 근의공식을 쓰는 느낌 특히 미분 방정식 챕터에서 이런 생각이 많이 듬[26] 대수위상, 미분다양체론, 복소해석[27] 물론 그렇다고 쉽다는 얘기는 아니다[28] 다만 Lie군과 Lie 대수를 다루지 않는점이 아쉽다[29] 그 힐베르트 맞다. 부연설명은 생략한다. Richard Courant와 함께 Methods of Mathematical Physics의 공동저자이기도 하다.[30] Bernard Schutz. 상대론 계열 학자로, 일반상대론의 표준적인 입문 서적으로 유명한 ≪A First Course in General Relativity≫의 저자.[31] 스티븐 와인버그의 최초의 3분을 번역한 경력이 있다.[32] Mathews 이상, 특히 Hassani의 대학원 판에서 상세히 다룸, Boas에서는 간략한 소개(e.g. 군의 성립되기 위한 기초적 공리)만 하고 표현론은 생략.[33] Arfken의 경우 심화적으로 Sturm-Liouville theorem으로 푸리에 급수가 왜 필요한지 유도부터 시작해서 푸리에 급수에 관한 선형성 정의같은 심화적이고 본론적인 내용으로 접근하는 반면 Boas는 쉽고 다양한 예시(음파의 진동수)부터 시작해서 평균에 대한 적분정리, 디리클레 조건을 이용한 푸리에 급수의 수렴과 발산, 파르세발의 정리를 이용한 푸리에 급수 판별까지 자세하게 나온다. 푸리에 변환의 경우 이산 푸리에 변환(DFT)은 언급만 된다.[34] 예를 들어 입자물리의 경우 미분/복소기하학, 함수해석학, 리대수.[35] 입자장이론에서는 양자화, 재규격화, 고스트가 주요 토픽이다.[36] 입자장이론에서는 대칭, 변환, 변칙등이 주요 토픽이다.[37] 길이가 수줄이 넘고, 각종 초월함수, 특수함수로 점철된 형태인 경우가 종종 있어, 식을 분석하려면 심볼링 컴퓨팅 노가다가 필요하다.[38] 예를들면, 측도론 및 르베그 적분등을 동원하여 양자화의 수렴과 발산을 증명하는 것이다.