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멱등성

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수와 연산
Numbers and Operations
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1. 개요2. 명칭 및 용어3. 단항 멱등연산
3.1. 예시
4. 이항 연산의 멱등성
4.1. 멱등원
4.1.1. 일반화4.1.2. 항등원과의 관계4.1.3. 예시
4.2. 멱등법칙
4.2.1. 멱등법칙이 성립하는 연산
5. 컴퓨터 공학에서

1. 개요

冪等性 / idempotence

첫 번째 연산을 한 뒤 여러 차례 연산해도 결과를 변경시키지 않는 성질. 즉, 멱등한 연산의 결과는 한 번 수행하든 여러 번 수행하든 같아야 한다.

2. 명칭 및 용어

영어 표현 Idempotent는 라틴어 idem- (영어: same)와 potents(영어: power)를 결합한 합성어로, 여러 번 거듭해도 같은 결과가 나온다는 뜻이다. "멱등(冪等)"이라는 단어는 이 라틴어 표현을 한자로 직역한 것이다. 여기서 생소한 글자 멱(冪)은 "덮을 멱"으로, "덮는다"라는 원래 뜻이 "덮는 넓이" → "가로×세로" → "같은 수끼리 곱한 수"로 의미가 확장되어 수학 분야에서는 거듭제곱을 의미하는 한자로도 쓰인다.

수학에서는 멱등법칙이라고 한다. 멱등함수, 멱등행렬 등이 대표적인 예시이다.

3. 단항 멱등연산

[math(*)]라는 단항(unary) 연산이 주어졌을 때, 임의의 [math(x)]에 대해 [math(x^* = (x^*)^* = ((x^*)^*)^* = \dots)]가 성립하는 연산, 즉 몇 번을 반복해도 한번 한 것과 결과가 같은 연산을 말한다.

여기서는 단항연산을 말하며, 함수로 생각해도 무방하다. 즉, 함수의 합성에 대해 [math(f \circ f = f)]가 성립하는 자기함수(endofunction) [math(f : X \to X)]를 말한다. 이항 연산에서의 멱등원 정의를 염두에 두면 단항 멱등연산은 자기함수의 합성이라는 이항 연산에 대해 이항 멱등원이 되는 자기함수임을 알 수 있다.

3.1. 예시

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4. 이항 연산의 멱등성

4.1. 멱등원

冪等元 / idempotent

이항연산 [math(*)]가 주어진 구조에서 어떤 원소를 자기 자신과 연산했을 때 그 결과가 자신과 같다면, 즉 [math(x * x = x)]가 되는 원소 [math(x)]를 멱등원이라 한다.

덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬 등이 있다. 이를 통해 알 수 있는 사실은, 멱등원은 제곱해도 그 값이 변하지 않는다는 것이다.

결합법칙이 성립할 때 멱등원을 곱하는 좌곱, 또는 우곱은 단항 멱등연산이다. 즉 [math(x)]가 이항 멱등원이라면, 함수 [math(f(a) = x a)] 또는 [math(f'(a) = a x)]는 모두 단항 멱등연산이다. [math(f^2(a) = x x a = x a)], [math(f'^2(a) = a x x = a x)]이기 때문. 따라서 결합법칙이 성립할 때 모든 멱등원은 자신에 유일하게 대응하는 멱등연산이 있고, 그렇게 얻어진 멱등연산은 합성의 멱등원이라는 관계가 있다. 처음부터 모든 원소를 함수로 생각하면 둘이 본질적으로 같은 개념임을 알 수 있다.

4.1.1. 일반화

이항 연산에서 이항 멱등성만 보이면, 유한한 임의의 [math(n)]에 대해 [math(n)]번 제곱해도 [math(x^n = x)]와 같이 멱등성이 유지됨을 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다. 우선 [math(x)]의 거듭제곱을 양의 정수 [math(n)]에 대해

[math(x^n = \begin{cases}
x & (n = 1) \\
x^{n - 1} * x & (n > 1) \\
\end{cases})]

로 정의하자. [math(x^1 = x)]임은 자명하고, [math(x^n = x)]일 때 [math(x)]가 멱등원이므로 양변에 하나씩 곱해주면 [math(x^{n + 1} = x^n * x = x * x = x)]이다.

4.1.2. 항등원과의 관계

일반적으로 항등원은 멱등원이지만 그 역은 성립하지 않는다.

예를 들어, [math(0)]은 [math(0 \cdot 0 = 0)]에서 곱셈에 대한 멱등원이지만, 곱셈에 대한 항등원은 아니다.

다른 예시로 실수체 위의 2x2 행렬들의 집합에서 [math(\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix})] 등이 있다. 이 행렬은 행렬곱에서 멱등이지만 항등원은 아니다. 참고로 항등원은 단위행렬이다.

다만 주어진 대수 구조가 군이라면 멱등원은 항등원과 같아지며 항등원이 해당 연산의 유일한 멱등원이 된다. 소거법칙을 이용하면 쉽게 보일 수 있는데, 어떤 [math(x)]가 [math(x * x = x)]일 때 양변에서 [math(x)]를 소거하면 [math(x = e)] (단, [math(e)]는 항등원)가 보여진다.

4.1.3. 예시

4.2. 멱등법칙

idempotence law

모든 원소가 멱등원인 이항 연산, 또는 그러한 이항 연산의 성질을 말한다.

즉, 이항 연산 [math(f : X \times X \to X)]가 멱등법칙을 만족한다는 말은 모든 [math(x \in X)]에 대하여 [math(f(x, x) = x)]를 만족한다는 의미이다.

결합법칙 등 여타 이항 연산의 성질과 마찬가지로 -law라고 불리기도 하고 연산 자체를 기술할 때는 단순히 형용사로 idempotent (binary) operation이라고 한다. 보통 맥락에서 구분이 가능하지만 후자의 경우 단항 연산의 idempotent와 구분할 필요가 있다.

4.2.1. 멱등법칙이 성립하는 연산

5. 컴퓨터 공학에서

임의의 연산을 여러 차례 수행해도 한 번 수행한 것과 결과가 같은 연산을 말한다.

순수성, 무상태성과는 차이가 있다. 보통 순수하다면 멱등하지만, 상태를 변경하면서도 멱등한 연산은 존재할 수 있기 때문.

가령 HTTP의 경우 POST method는 멱등성이 보장되지 않지만, PUT은 멱등적인 semantic을 가지도록 표준상 정의되어 있다. 가령 게시판에 글을 쓸 때 POST 시맨틱에서는 똑같은 내용의 글을 복붙하여 여러 번 쓰는 것, PUT의 경우 같은 글을 전부 지웠다가 똑같은 내용을 복붙하여 저장하는 것의 차이라 생각할 수 있다.


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