1. 개요
geometric series · 幾何級數등비급수라고도 한다.
서로 이웃하는 항의 비가 일정한 급수.
2. 선수 개념
3. 기하급수의 합
등비수열 [math(\{a_{k}\})]을 고려헤보자.[math( a_{k}=ar^{k-1})]
이다. 첫째항은 [math(a)]이고, [math(r)]은 공비이다.
이때, 부분합을 고려해보자. 부분합은
[math(\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} )]
이상에서 부분합의 극한 값이 급수의 합이 된다.
[math(\displaystyle S=\lim_{n \to \infty}\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} )]
이제, 급수가 수렴할 조건을 생각해보자. 급수가 수렴하려면,
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=0 )]
이어야 한다. 따라서 이 조건에 의하면, 급수가 수렴할 조건은 [math(|r|<1)]이다. 따라서 공비를 이 범위로 제한한다면,
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n}=0 )]
이 되므로 급수의 합은
[math(\displaystyle S=\frac{a}{1-r} \quad (|r|<1) )]
4. 수능에서의 활용
고교 수학을 바탕으로 하는 대수능에서 3-4점짜리 문제로, 미적분을 선택한 학생에 한하여 출제된다.[1] 일명 무등비[2] 문제 또는 프랙탈 문제. 도형을 던져주고 그와 똑같은 모양의 더 작은 도형을 그린 뒤, 이 도형들의 넓이의 합을 구하는 문제가 대부분인데, 문제의 길이와 비주얼에 겁먹지 않고 침착하게 첫째항과 공비를 구하면 된다.[3]원래 나형에서 출제되는 유형이었으나, 수열의 극한과 급수가 가형 범위인 미적분으로 옮겨 가면서 출제 유형이 가형으로 변경되었다.[4][5] 그래서인지 첫째 항이나 공비 중 하나가 구하기 어렵도록 치사하게 나오는 경우가 많아졌다.[6] 출제되는 번호 또한 평균적으로 올라갔다.[7]
5. 기타
5.1. 표현
exponential scale인간이 감당할 수 없을 정도로 폭발적으로 증가하는 것을 설명할 때 관용적으로 쓰는 표현. 실제 수학적 의미는 잘 몰라도 기하급수적(등비수열)이라는 말이 나오면 뭔가 엄청나게 증가하는 것으로 보이게 된다.[8] 이와 대조되는 말로는 산술급수[9], 등비급수[10]가 있는데, 산술급수는 단조로운 증가세를 설명하는 데 쓰인다. 토머스 맬서스의 인구론에서 기하급수(인구)와 산술급수(식량)가 쓰인다.
보통은 기하급수라고 하면 [math(a^{b})]꼴의 지수형태지만 더 빠르게 증가하는 기하급수라면 지수를 높게 쌓은 것이 있다. 예를 들어 입자 배열 경우의 수 관련 수들은 [math(10^{n})] 꼴에서 [math(n)]의 값을 다시 지수로 표현해야 한다. 그런데 이러한 지수 탑을 조금만 쌓아도 곱셈식으로는 도저히 감당해낼 수 없을 정도로 커진다. 예를 들어 구골만 해도 [math(10^{99})]보다 10배 큰 수인데 당장 구골플렉스만 해도 [math(10^{10^{99}})]보다 몇 배 큰지 감이 안 온다.[11]
6. 관련 문서
- 수열
- 등비수열
- 라마누잔합: 등비급수를 복소해석학을 이용해 해석적 확장하는 수단 가운데 하나이다.
- 초기하함수: 멱급수를 이용해 기하급수를 일반화한 특수함수이다.
- 노이만 급수: 작용소의 거듭제곱 급수로, 스펙트럼 정리 등 작용소의 가역성을 다루는 데에 유용하다.
[1] 2017~2020학년도 수능에선 나형 선택지 한정, 2021학년도 수능에선 가형 선택자 한정[2] 도형의 무한등비급수[3] 도형 문제 특성상 그림을 글로 풀어 설명하는 과정에서 그림만 봐도 알 수 있는 서술이 다량 등장한다.[4] 2021 수능에서는 가형에서 출제되며, 2022 수능부터는 미적분 영역에서 출제된다.[5] 다만, 등비수열 자체는 수1이기 때문에 같은 유형에 무한급수가 아닌 일반항, 부분합을 구하는 문제는 공통과목에서 출제될수 있다.[6] 개념 자체가 단순한 편이다 보니 첫째 항과 공비를 구하기 위해 이전에 배운 개념들(사인, 코사인 법칙, 중등기하 등등)을 적극적으로 사용하게 하는 것이다.[7] 2021 6평 때는 20번으로 출제되었는데, 21번보다도 정답률이 더 낮다.[8] 쉽게 말하자면 비슷한 주기에 자릿수가 주기적으로 오른다고 생각해보자. 즉 1로 시작해서 1년 만에 10이 된다고 해도 2년 만에 100, 3년 만에 1000이 되는 셈인데 이게 설령 2배씩 오른다고 해도 처음에는 2, 4, 8, 16, 32... 식으로 오르겠지만 조금만 진행해도 상승률이 매우 높아서 진짜 천문학적으로 오른다. 단순히 특정 수를 반복적으로 더하는 식으로는 1에 100씩이나 더한다고 해도 1에 2씩 곱하는 것과 비교했을 때 10번만에 따라잡을 수 있다. 당연히 이후의 성장률은 곱하는 쪽이 압도적으로 빨라진다. 초인플레이션 문서도 참고.[9] [math(n+n+n+\cdots)][10] [math(n+(n*2)+(n*3)+(n*4)+\cdots)][11] 알다시피 [math(a^{b})] 꼴의 지수 형태에서 [math(b)]를 1 더할 때마다 값은 [math(a)]배씩 오른다. 즉 구골플렉스를 곱셈 형태로 나타내려면
[math( \qquad \qquad \displaystyle 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}} )]
에 해당한다.
[math( \qquad \qquad \displaystyle 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}}\times 10^{10^{99}} )]
에 해당한다.