1. 개요
平均値定理 / mean value theorem, MVT[1]미분가능한 함수에 관한 정리로, 라이프니츠가 최초로 고안했고 이후의 학자들에 의해 여러 바리에이션과 마개조를 거친 이론들이 꽃을 피우게 된다. 한국에선 고등학교 수학 II를 배울 때 기본적인 평균변화율의 개념을 처음 접하게 된다.
2. 상세
고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.함수 [math( f\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) )]인 [math(c)]가 적어도 하나 존재한다.
기하학적으로 해석하면 두 점 [math(A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right))]를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간 [math(\left(a, b\right))] 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 [math(f\left(a\right) = f\left(b\right))]이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는 게 정당화된다. 즉, [math( F'\left(x\right) = f\left(x\right) )]일 때 미분하여 [math( f\left(x\right) )]가 되는 함수는 [math( F\left(x\right)+C)] 꼴뿐이다.
미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
| 증명 |
| 점 [math(\left(a,f(a)\right) )]와 점 [math(\left(b,f(b)\right) )]를 지나는 직선의 방정식을 [math(y=l(x))]라고 하자. [math(F(x)=f(x)-l(x) )]라 두면, 이 함수는 [math( \left[a,b\right])]에서 연속이고 [math(\left(a,b\right) )]에서 미분가능하며, [math(F(a)=0, F(b)=0 )]이므로 롤의 정리에 의하여 [math(F'(c)=f'(c)-l'(c)=0 )]인 [math(c \in \left(a,b\right) )]가 존재한다. [math(l'(c)=m= \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a})]이므로 [math( f'(c)=\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a})]이다. |
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 [math(y = f(x))] 위의 두 점 [math( (a, f(a)))]와 [math((b, f(b)))]를 지나는 선분에 대하여, 구간 [math([a,\,b])]에서 곡선 [math(y = f(x))] 위의 어떤 점의 접선이 이 선분에 평행하다는 것을 뜻한다.
앞의 평균값 정리에서 [math(b-a = h)]라 하면 [math(c-a < b-a)]이므로 [math(0<\displaystyle {c-a \over h}<1)]이 된다. 여기서 [math( \theta =\displaystyle {c-a \over h})]로 놓으면 평균값 정리는
[math(f(a+h) = f(a) + hf'(a + \theta h))], [math(0< \theta < 1)]
와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함숫값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.3. 코시의 평균값 정리
고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.함수 [math( f\left(x\right) )]와 [math( g\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] )]인 [math(c)]가 [math( \left(a, b\right) )]내에 적어도 하나 존재한다.
여기서 [math(g\left(x\right) = x )]라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.
| 증명 |
| F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} </math>라 정의하자. 그럼 [math(F)]는 닫힌구간 [math(\left[a, b\right])]에서 연속이고 열린구간 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하다. 또한, [math( F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right))]이므로 롤의 정리에 의해 [math(F'\left(c\right) = 0 )]를 만족하는 [math(c\in \left(a, b\right))]가 존재한다. 그러면 [math(F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\})]이므로, [math( f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\})] |
코시의 평균값 정리는 직관적으로 다음과 같이 해석될 수 있다. 좌표평면상에서 시간에 따라 움직이는 어떤 점 입자의 시점 [math(t)]에서의 위치 벡터를 [math(\vec{r}\left(t\right) = \left<f\left(t\right), g\left(t\right)\right>)]라 하자. 그러면 해당 점 입자의 시점 t에서의 순간 속도는 [math(d\vec{r}/dt = \left<f'\left(t\right), g'\left(t\right)\right>)]이다. 여기서 서로 다른 두 시점 [math(a)], [math(b\left(>a\right))] 사이에서 해당 점 입자의 변위는 [math(\vec{r}\left(b\right) - \vec{r}\left(a\right) = \left<f\left(b\right) - f\left(a\right), g\left(b\right) - g\left(a\right)\right>)]이다.
이때 두 시점 [math(a)], [math(b)] 사이에서 해당 점 입자가 부드러운 곡선을 따라 움직일 때 해당 점 입자의 순간적인 운동 방향이 두 시점 [math(a)], [math(b)] 사이에서의 변위의 방향과 평행하는 시점이 존재함을 직관적으로 알 수 있다. 즉 [math(\left<f\left(b\right) - f\left(a\right), g\left(b\right) - g\left(a\right)\right>\parallel\left<f'\left(c\right), g'\left(c\right)\right>)]를 만족하는 [math(c\in\left(a,b\right))]가 존재한다. 그 결과 [math(f\left(b\right)-f\left(a\right):g\left(b\right)-g\left(a\right)=f'\left(c\right):g'\left(c\right))]라는 비례식이 성립하고 이로부터 코시의 평균값 정리가 성립함을 알 수 있다.
4. 활용
4.1. 함수의 증감
여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고 모든 [math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) > 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 증가한다.
| 증명 |
| 열린 구간 [math(\left(a,b\right))] 안에서 임의의 실수 [math(x_1, x_2)]를 [math(x_1<x_2)]가 되게 잡는다. 그럼 [math(f)]는 [math(\left[x_1, x_2\right])]에서 연속이고 [math(\left(x_1, x_2\right))]에서 미분가능하다. 따라서 평균값의 정리에 의해 [math(\displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1})]를 만족하는 [math(x_0)]가 [math(\left(x_1, x_2\right))]내에 적어도 하나 존재한다. 또한 [math(x_2-x_1 > 0, f'\left(x_0\right) > 0)]이므로 [math(f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) > 0 )]이다. 즉, [math(f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right))]가 성립한다. [math(x_1, x_2)]는 구간 안의 임의의 값이므로 [math(f)]는 구간 내에서 증가한다. |
비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.
함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고모든[math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) < 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 감소한다.
4.2. 로피탈의 정리
해당 문서 참고4.3. 미분가능성
어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.실수 [math(a)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]에서 정의된 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이고 [math(I-\left\{a\right\})]에서 미분가능하며, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L)]이면([math(L)]은 실수) [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'\left(a\right)=L)]이다.
| 증명 |
| \displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L</math>이므로 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 양수 [math(\delta \left(\varepsilon\right))]가 존재하여 [math(0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right))]인 임의의 [math(x \in I)]에 대해 [math(\left|f'\left(x\right)-L\right|<\varepsilon)]이다. 한편 평균값 정리에 의하여 임의의 [math(x\in I-\left\{a\right\})]에 대해 [math(\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right))]인 [math(c)]가 [math(a)]와 [math(x)]사이에 존재한다. 즉, [math(0<\left|c-a\right|<\left|x-a\right|)]이다. 그러면 [math(x \in I)]이고 [math(0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right))]일 때 [math(\displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon)]이 성립하므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L)]이다. 따라서 [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'\left(a\right)=L)]이다. |
참고로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=\pm\infty)]이면 [math(f)]가 [math(a)]에서 미분가능하지 않고, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right))]가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.[2]
4.4. 적분의 평균값 정리
대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다. 그 외에도 다각형의 무게중심 역시 이 평균값 정리를 응용해서 구할 수 있다.함수 [math(f)]가 실수상에 속하는 폐구간[math([a, b])]에서 연속함수이면, [math(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c))]를 만족시키는 [math(c\in(a, b))]가 존재한다.
| 증명 |
| [math(f)]가 [math([a, b])]에서 연속이므로 최대, 최소값의 정리에 의하여 [math(M = \sup\{f(x)|x\in[a, b]\})], [math(m = \inf \{f(x)|x\in[a, b]\})]가 존재한다. 따라서 모든 [math(x\in[a, b])]에 대하여 [math(m\le f(x)\le M)]이므로 적분의 대소 비교 성질에 의하여 [math(m(b - a)\le \displaystyle \int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x\le M(b - a))]이다. 그러므로 다음이 성립한다. [math( m\le \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x \le M)] [math(f)]는 [math([a, b])]에서 연속이므로, 중간값의 정리에 의하여 [math(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c))]를 만족시키는 [math(c\in(a, b))]가 존재한다. |
4.5. 가우스의 평균값 정리
Gauss's mean value theorem복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
함수 [math(f)]가 닫힌 원 [math(\left|z-z_{0}\right|\leq r)]에서 해석적(analytic)이면, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta)]이다.
| 증명 |
| 코시 적분 공식 [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\mathcal{C}}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z})]에서, [math(\mathcal{C}:z_{0}+re^{i\theta})]라고 하자. 즉, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\left|z-z_{0}\right|=r}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z})]인데, [math(z-z_{0}=z_{0}+re^{i\theta}-z_{0}=re^{i\theta})]이므로, [math(\mathrm{d}z=ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta)]가 되고, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{0}^{2\pi}\displaystyle{\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta})]가 된다. 정리하면 [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta)]가 성립한다. |
5. 활용
- 이차함수는 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 특수한 성질을 갖는다. 다항함수/공식 참고.
- 삼차함수는 평균값 정리의 역의 반례가 존재하는 최소 차수의 다항함수이다. 삼차함수 참고.
- 경제성장론의 솔로우-스완 모형에서, 생산함수의 그래프에 대하여 닫힌 구간 [math([0,\,k_{\rm max}])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점에서 균제상태의 소비가 최대가 되며 이때의 자본-노동 비율을 '황금률 자본-노동 비율'이라 하고 [math(k_{\rm G})]로 표기한다.
- 테일러 급수의 오차항은 여러가지 형태가 있는데, 그 중에서 라그랑주의 오차항을 이용할 경우 [math(n=0)]인 경우에는 그 오차항이 평균값 정리와 동일해진다. 그렇기에 확장 평균값 정리(Extended mean value theorem)를 라그랑주의 오차항을 채용한 테일러 급수와 동일시하기도 한다.
- 이것을 직접 배우는 학생 때는 눈치채기 어렵지만, 고속도로 운전을 하게 되면 만나는 구간단속의 기본적인 원리가 된다. 시간-위치 그래프에서 구간단속 시작지점 통과 시간(a)과 해당 위치(P(a)), 구간단속 종료지점 통과시간(b)와 해당 위치(P(b))사이의 연속적인 그래프를 떠올려 보자. 구간단속 거리(P(b)-P(a))를 특정 시간(b-a)보다 빠르게 통과한다면, 그 구간안에서 적어도 한 번은 평균 속도((a,P(a))와 (b,P(b)의 직선 기울기)를 초과했다는 뜻이 되기 때문이다. 실제로 네비게이션을 켜고 운전을 해 보면 구간단속 중일 때는 보통 본인의 평균 속도도 표기가 되지만, 남은 시간과 남은 거리도 표기된다.
6. 고등학교 교육과정
- 6차 교육과정 : 수학Ⅱ
- 7차 교육과정 : 미분과 적분
- 2007 개정 교육과정 : 수학Ⅱ
- 2009 개정 교육과정 : 미적분Ⅰ[3]
- 2015 개정 교육과정 : 수학Ⅱ
- 2022 개정 교육과정 : 미적분Ⅰ
7. 관련 문서
[1] 영미권에서 MVT라고 하면 보통은 알아듣는다.[2] 사실 이 명제는 로피탈의 정리의 특수한 경우로도 볼 수 있다.[3] 과거 이과만 배우던 평균값 정리가 교과과정이 개편되면서 내려와 1998년생부터 문과 학생들도 배우게 되었다.