도함수표

해석학·미적분학 Analysis · Calculus
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1. 개요

여러 함수의 도함수를 수록한 문서이다. 미분한 결과만을 정리한 문서이므로 유도 과정은 각 함수에 관한 문서를 참고하자.

2. 기본

2.1. 선형성(linearity)[1]

단, [math(\alpha)], [math(\beta)]는 상수이다.

[math(\left\{ \alpha f( x)+ \beta g(x) \right\}'=\alpha f'(x) +\beta g'( x ))]

2.2. 곱미분

[math(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))]
[math(\{f(x)g(x)h(x)\}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x))]

2.3. 몫미분

[math(\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; )]

2.4. 합성함수

자세한 내용은 연쇄 법칙 문서 참고하십시오.

[math(\{(f\circ g)(x)\}'=(f' \circ g)(x)\,g'(x))]

2.5. 역함수

자세한 내용은 역함수 정리 문서 참고하십시오.

[math(\{f^{-1}(x)\}'=\dfrac{1}{(f' \circ f^{-1})(x)})]

2.6. 정적분으로 정의된 함수

자세한 내용은 미적분의 기본정리 문서 참고하십시오.

[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t = f(x))]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^af(t)\,\mathrm{d}t = -f(x))]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x))]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^af(t)\,\mathrm{d}t = -(f\circ g)(x)\cdot g'(x))]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x)-(f\circ g)(x)\cdot g'(x))]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^bf(x,\,t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t = f(x,\,h(x))\cdot h'(x) - f(x,\,g(x))\cdot g'(x) + \int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t )]

3. 초등함수

3.1. 다항함수

[math((ax^n)'=anx^{n-1})] (단, [math(n \neq 0)]인 상수)
특히, [math(n=0)]이면

[math(ax^0=a \; \to \; a'=0)] (상수함수)

3.2. 거듭제곱근 함수

[math((\sqrt[n]{x})' = \dfrac{\sqrt[n]{x}}{nx})] (단, [math(n \neq 0)]인 상수)

3.3. 지수함수

[math((a^{f(x)})'=a^{f(x)}f'(x)\cdot{\rm ln}\,a)] (단, [math(a)]는 상수)

특별히, [math(a=)] [math(e)]이면

[math((e^{f(x)})'=e^{f(x)}f'(x)\cdot{\rm ln}\,e=e^{f(x)}f'(x))]

특별히, [math(f(x)=x)]이면

[math((a^x)'=a^x\cdot{\rm ln}\,a)]

특별히, [math(a=)] [math(e)]이고 [math(f(x)=x)]이면

[math((e^x)'=e^x\cdot {\rm ln}\,e=e^x)]

[math( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } )]이고
[math(d \left( x^n \right) = n x^{n-1 } )]이므로
[math(d \left( \sqrt{x} \right) = d \left( x^{\frac{1}{2} } \right) )]
[math( = \dfrac{1}{2} x^{\frac{1}{2} -1 } )]
[math( = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} } )]
또는
[math( = \frac{1}{2} \left( { \frac{1}{\sqrt{x}} } \right) )]
[math( = { \frac{1}{2\sqrt{x}} } )]

3.3.2. 허수지수함수

[math([ \operatorname{cis}(z) ]' = i \operatorname{cis}(z))]
[math([ \overline{\operatorname{cis}}(z) ]' = -i\,\overline{\operatorname{cis}}(z))]

3.4. 삼각함수

자세한 내용은 삼각함수/도함수 문서 참고하십시오.

[math(({\rm sin}\,x)'={\rm cos}\,x)]
[math(({\rm cos}\,x)'=-{\rm sin}\,x)]
[math(({\rm tan}\,x)'={\rm sec}^2\,x)]
[math(({\rm cot}\,x)'=-{\rm csc^2}\,x)]
[math(({\rm sec}\,x)'={\rm sec}\,x{\rm tan}\,x)]
[math(({\rm csc}\,x)'=-{\rm csc}\,x{\rm cot}\,x)]

3.4.1. 싱크 함수

[math(({\rm sinc}\,x)'= \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2})]

3.5. 역삼각함수

[math((\arcsin x)' = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
[math((\arccos x)' = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
[math((\arctan x)' = \dfrac1{1+x^2})]
[math((\mathrm{arcsec}\,x)' = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
[math((\mathrm{arccsc}\,x)' = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
[math((\mathrm{arccot}\,x)' = -\dfrac1{1+x^2})]

3.6. 쌍곡선 함수

[math(({\rm sinh}\,x)'={\rm cosh}\,x)]
[math(({\rm cosh}\,x)'={\rm sinh}\,x)]
[math(({\rm tanh}\,x)'={\rm sech}^2\,x)]
[math(({\rm coth}\,x)'=-{\rm csch}^2\,x)]
[math(({\rm sech}\,x)'=-{\rm sech}\,x{\rm tanh}\,x)]
[math(({\rm csch}\,x)'=-{\rm csch}\,x{\rm coth}\,x)]

3.7. 역쌍곡선 함수

[math((\mathrm{arsinh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}})]
[math((\mathrm{arcosh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}} \quad (x>1))]
[math((\mathrm{artanh}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|<1))]
[math((\mathrm{arcoth}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|>1))]
[math((\mathrm{arsech}\,x)' = -\dfrac1{x\sqrt{1-x^2}} \quad (0<x<1))]
[math((\mathrm{arcsch}\,x)' = -\dfrac1{|x|\sqrt{1+x^2}} \quad (x\ne0))]

3.8. 로그함수

[math((\ln x)' = \dfrac{1}{x} \; (x > 0))]

[math(({\rm Log}\,z)' = \dfrac{1}{z} \; (z \neq 0))]

[math((\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a} \; (x > 0))]

4. 특수함수

4.1. 오차함수

[math([{\rm erf}(x) ]' = \dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}})]
[math([{\rm erfc}(x) ]' = -\dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}})]
[math([{\rm erfi}(x) ]' = \dfrac{2e^{x^2}}{\sqrt{\pi}})]

4.2. 지수 적분 함수

[math([{\rm Ei}(x) ]' = \dfrac{e^x}{x})]

4.3. 로그 적분 함수

[math([{\rm li}(x) ]' = \dfrac{1}{\ln x})]

4.4. 삼각 적분 함수

[math([{\rm Si}(x) ]' = \dfrac{\sin x}{x})]
[math([{\rm Ci}(x) ]' = \dfrac{\cos x}{x})]

4.5. 쌍곡선 적분 함수

[math([{\rm Shi}(x) ]' = \dfrac{\sinh x}{x})]
[math([{\rm Chi}(x) ]' = \dfrac{\cosh x}{x})]

4.6. 프레넬 적분 함수

[math([S(x) ]' = \sin{ \!\left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \, {\sf or} \; \sin x^2})]
[math([C(x) ]' = \cos{ \!\left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \, {\sf or} \; \cos x^2})]

4.7. 구데르만 함수

[math([{\rm gd}(x) ]' = {\rm sech}\,x)]
[math([{\rm igd}(x) ]' = \sec x)]

4.8. 타원 적분 함수

[math(\displaystyle [K(x,\,k) ]' = \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}\sqrt{1-k^{2}x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1))]
[math(\displaystyle [E(x,\,k) ]' = \frac{\sqrt{1-k^{2}x^{2} }}{\sqrt{1-x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1) )]

4.9. 브링 근호

[math([\mathrm{BR}(x) ]' = -\dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1})]

4.10. 폴리로그함수

[math([\mathrm{Li}_s(x) ]' = \dfrac{\mathrm{Li}_{s-1}(x)}{x})]

4.11. 제타 함수

닫힌 형식으로 표현할 수 없고 급수의 꼴로만 나타낼 수 있다.

[math(\zeta'(s) = \displaystyle - \sum^{\infty}_{k=2} k^{-s} \ln k)]

4.12. 감마 함수

특이하게도 아래와 같이 도함수가 재귀적으로 정의된다. 여기서 [math(\psi(z))]는 디감마 함수다.

[math(\Gamma'(z) = \Gamma(z) \psi(z) = \Gamma(z) [ {\rm Log}\,\Gamma(z) ]' )]

4.12.1. 로그 감마 함수

[math(\psi(z))]는 디감마 함수다.

[math([{\rm Log}\,\Gamma(z) ]' =\psi(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} )]

4.13. 람베르트 W 함수

[math(W'(x) = \dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)} \qquad {\sf if} \;x\neq0)]
[math(W'(x) = \dfrac1{e^{W(x)}(W(x)+1)})]

4.14. 부호 함수 ・ 헤비사이드 계단 함수

아래 식에서 [math(\delta(x))]는 디랙 델타 함수이다.

[math([{\rm sgn}(x) ]' = 2 \delta(x))]
[math(u'(x)= \delta(x))]

5. 음함수

5.1. 원

[math((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\;\rightarrow\;\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\dfrac{x-a}{y-b})] ([math(a)], [math(b)], [math(r)]은 상수)

5.2. 타원곡선

[math(y^2 = x^3 + ax + b\;\rightarrow\;\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{3x^2 + a}{2y})] ([math(a)], [math(b)]는 상수)

6. 기타

[math(\left(\displaystyle\int_0^xf(t)(x-t)\;{\rm d}t\right)'=\displaystyle\int_0^xf(t)\;{\rm d}t)]
[math(|f(x)|' = ({\rm sgn} \circ f)(x)\,f'(x))]
[math((x^x)'=x^x(1+{\rm ln}\,x))]
[math(y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} })][math(\!\!\rightarrow\; \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{y^2}{(x-xy\ln{x})}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] })]
([math(W(x))]는 람베르트 W 함수)

7. 관련 문서

삼각함수/도함수

[1] 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.