1. 개요
導函數 / derivative도함수는 미분계수를 일반화한 개념으로, 함수의 접선의 기울기를 보여주는 함수이다. 미분계수를 구하는 과정(특정한 [math(x)] 값에서의 평균변화율의 극한값)을 하나의 연산으로 보았을 때, 다음과 같이 도함수를 정의할 수 있다. 영어에서는 미분계수와 도함수의 구별 없이 전부 derivative라고 부른다.
도함수를 구하는 과정을 미분한다(differentiate)고 한다. 어떤 함수의 도함수가 미분 가능할 때 이 도함수를 한 번 더 미분한 함수를 '이계도함수'라고 부르고, 어떤 함수가 [math(n)]번 미분이 가능할 때 [math(n)]번 미분하면 '[math(n)]계도함수'라고 부른다. (단, [math(n)]은 자연수) '이계도함수' 이상부터 통틀어서 '고계도함수'라고 부른다.
도함수의 존재성은 실수인지 복소수인지에 따라 다른데, 복소수 위에서의 미분이 훨씬 까다롭기 때문에[1] 실수 위에서 미분 가능한 함수가 복소수 위에서는 미분 불가능할 수 있다. 이 중 복소수 위에서 도함수를 갖는 함수는 복소해석적(complex analytic)이라고 불리며 자세한 내용은 복소해석학 문서를 참고.
2. 미분법
2.1. 단변수 함수의 도함수
함수 f의 정의역에 속하는 어떤 한 점 [math(x)]에 다음 극한값 [math(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x})]가 존재할때 이 극한값을 [math(f)]의 도함수라 하며 기호 [math(y')], [math(f'(x))][2], [math(\displaystyle \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x})][3], [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x))], [math(f^{(1)}(x))], [math(\dot{y})][4] 등으로 나타낸다.
- 기본 공식
여기서는 도함수를 미분연산자 [math(D)]를 이용하여 표현할 것이다. 즉, 함수 [math(\displaystyle y=f(x))]의 도함수 [math(\displaystyle y'=f'(x)=\frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}=\frac{\rm d}{{\rm d}x}y=Dy=Df(x))]이다. 연산자에 대한 개념이 제대로 잡혀 있지 않은 독자의 경우, 간단하게 [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}=D)]라고 치환했다고 비유적으로 이해해도 괜찮다.
각 함수의 도함수가 존재함(각 함수가 미분가능함)을 전제로 한다.
(1) [math(y=c)]이면 [math(Dy=0)] ([math(c)]는 상수)
{{{#!folding [증명]
{{{#!folding [증명]
[math(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x})]= [math(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} = 0)]
}}}
(2) [math(y=x^n)]이면 [math(Dy=nx^{n-1})] ([math(n)]은 실수)
{{{#!folding [증명]
[math(x^n)]의 도함수 [math(nx^{n-1})]은 [math(n)]의 범위에 따라 다른 증명법을 취한다.{{{#!folding [증명]
① [math(n)]이 임의의 양의 정수일 경우
[math(f(x)=x^n)] ([math(n)]은 양의 정수)이라 하면
[math(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}h)]
[math((x+h)^n)]을 이항정리로 전개하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(\cancel{x^n}+{}_n\mathrm C_1x^{n-1}h+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-1}+{}_n\mathrm C_nh^n)-\cancel{x^n}}h)]
[math(x^n)]을 소거하고 [math(h)]로 약분하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}({}_n\mathrm C_1x^{n-1}+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-2}+{}_n\mathrm C_nh^{n-1})={}_n\mathrm C_1x^{n-1}=nx^{n-1})]
[math(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}h)]
[math((x+h)^n)]을 이항정리로 전개하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(\cancel{x^n}+{}_n\mathrm C_1x^{n-1}h+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-1}+{}_n\mathrm C_nh^n)-\cancel{x^n}}h)]
[math(x^n)]을 소거하고 [math(h)]로 약분하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}({}_n\mathrm C_1x^{n-1}+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-2}+{}_n\mathrm C_nh^{n-1})={}_n\mathrm C_1x^{n-1}=nx^{n-1})]
② [math(n)]이 임의의 실수일 경우
[math(y=x^n)] ([math(n)]은 실수)의 양변에 자연로그 [math(\ln)]을 취하면
[math(\ln y=\ln x^n=n\ln x)]
음함수 미분법과 [math(\ln x)]의 도함수가 [math(1/x)]임을 이용해 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle\frac1y\cdot\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx)]
[math({\rm d}y/{\rm d}x)]에 대해 정리하고 [math(y=x^n)]을 대입하면
[math(\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx\cdot x^n=nx^{n-1})]
}}}[math(\ln y=\ln x^n=n\ln x)]
음함수 미분법과 [math(\ln x)]의 도함수가 [math(1/x)]임을 이용해 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle\frac1y\cdot\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx)]
[math({\rm d}y/{\rm d}x)]에 대해 정리하고 [math(y=x^n)]을 대입하면
[math(\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx\cdot x^n=nx^{n-1})]
(3) 상수 [math(k)]에 대해 [math(D[ kf(x) ]=kDf(x))]
{{{#!folding [증명]
{{{#!folding [증명]
[math(D[ kf(x) ])]=[math(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{kf(x+Δx) - kf(x)}{\Delta x})]
[math(= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{k \left( f(x + \Delta x) - f(x) \right)}{\Delta x})]
[math(= \displaystyle k \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left( f(x + \Delta x) - f(x) \right)}{\Delta x}= kDf(x))]
}}}[math(= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{k \left( f(x + \Delta x) - f(x) \right)}{\Delta x})]
[math(= \displaystyle k \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left( f(x + \Delta x) - f(x) \right)}{\Delta x}= kDf(x))]
(4) [math(D[ f(x) \pm g(x) ]=Df(x) \pm Dg(x))]
{{{#!folding [증명]
{{{#!folding [증명]
[math(D[f(x) \pm g(x)] )] = [math(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left\{ f(x + \Delta x) \pm g(x + \Delta x) - \left( f(x) \pm g(x) \right) \right\}}{\Delta x})]
[math(\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left\{ f(x + \Delta x) - f(x) \right\} \pm \left\{ g(x + \Delta x) - g(x) \right\}}{\Delta x})]
[math(\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right])]
[math(= Df(x) \pm Dg(x))]
}}}
(5) [math(y=f(x)\cdot g(x))]이면 [math(Dy=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))] (곱미분)
(6) [math(\displaystyle y={f(x) \over g(x)})](단, [math(g(x)\ne 0)])이면 [math(Dy)]=[math(\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} )] (몫미분)
(7) [math(\displaystyle D(f(g(x))) = (Df)(g(x)) \cdot D(g(x)))] (연쇄법칙)
(6) [math(\displaystyle y={f(x) \over g(x)})](단, [math(g(x)\ne 0)])이면 [math(Dy)]=[math(\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} )] (몫미분)
(7) [math(\displaystyle D(f(g(x))) = (Df)(g(x)) \cdot D(g(x)))] (연쇄법칙)
여기서 미분연산자 [math(D)]가 (3)과 (4)를 만족시키므로, [math(D)]는 선형연산자이다.
- 절댓값 함수의 도함수는 부호 함수가 된다. 단, [math(x=0)]일 때는 미분 불가능하다.
[math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=\mathrm{sgn}(x))] - 일반적인 함수에 대해서는 다음과 같다.
- [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x)\cdot f'(x))]
- [math(\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f'')(x) + 2(\delta \circ f)(x)\cdot [ f'(x) ]^2)][5]
2.1.1. 정적분으로 정의된 함수의 미분
[math(\displaystyle \frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_{g(x)}^{h(x)} f(x,t) \,{\rm d}t = f(x,h(x)) \cdot h'(x) - f(x,g(x)) \cdot g'(x) + \int_{g(x)}^{h(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,{\rm d}t )] |
- [math(f)]가 [math(t)]만의 함수이고 [math(g(x)=a)], [math(h(x)=x)]인 경우 (단, [math(a)]는 상수) (미적분의 제1 기본정리)
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_a^x f(t) \,{\rm d}t = f(x)
)]}}}||
- [math(f)]가 [math(t)]만의 함수이고 [math(g(x)=x)], [math(h(x)=a)]인 경우
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_x^a f(t) \,{\rm d}t = -f(x)
)]}}}||
- [math(f)]가 [math(t)]만의 함수이고 [math(g(x)=a)]인 경우
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_a^{h(x)} f(t) \,{\rm d}t = f(h(x)) \cdot h'(x)
)]}}}||
- [math(f)]가 [math(t)]만의 함수이고 [math(h(x)=a)]인 경우
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_{g(x)}^a f(t) \,{\rm d}t = -f(g(x)) \cdot g'(x)
)]}}}||
위의 네 식에서 볼 수 있듯이, [math(a)]는 정적분 함수 미분에서 그냥 장식이다. 이는 당연한 것인데, 정적분 계산법, 상수함수의 도함수와 합, 차의 미분법을 생각하면 쉽다.
* [math(f)]가 [math(t)]만의 함수인 경우
[math(\displaystyle* [math(f)]가 [math(t)]만의 함수인 경우
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \,{\rm d}t = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)
)]}}}||
여기까지의 다섯 개 식은 고교 교육과정에서 배우는 내용이므로 위 식들이 익숙할 것이다.
* [math(g(x)=a)]이고 [math(h(x)=b)]인 경우 (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)
[math(\displaystyle* [math(g(x)=a)]이고 [math(h(x)=b)]인 경우 (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_a^b f(x,t) \,{\rm d}t = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,{\rm d}t
)]}}}||
적분의 위끝과 아래끝이 상수이고 피적분함수가 [math(x)]와 [math(t)]에 대한 함수인 경우이다. 이런 꼴의 정적분을 미분하는 것을 두고 "적분 기호 안에서 미분하기(differentiation under the integral sign)"라고 부른다.
여기서 [math(\partial)]는 편미분 기호이다. 편미분 연산자 [math(\partial/\partial x)]에서 제시된 변수 [math(x)]만 변수로 취급하고 나머지는 상수로 생각하며 미분하면 된다. 더 자세한 내용은 이 문서의 편미분 문단을 참고.
여기서 [math(\partial)]는 편미분 기호이다. 편미분 연산자 [math(\partial/\partial x)]에서 제시된 변수 [math(x)]만 변수로 취급하고 나머지는 상수로 생각하며 미분하면 된다. 더 자세한 내용은 이 문서의 편미분 문단을 참고.
2.2. 편미분
偏微分, partial derivative다변수 함수 [math(f(x, y, z, \cdots))]에서 하나의 변수만 남겨놓고 나머지 변수를 상수 취급하는 미분법으로 다음과 같이 정의한다.
함수 f의 정의역에 속하는 [math(x, y, z, \cdots)]에 대하여 다음 극한값 [math(\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y, z, \cdots)-f(x, y, z, \cdots)}{h})]가 존재하 이 극한값을 [math(f)]의 변수 [math(x)]에 대한 편도함수라 하며 기호 [math(f_x')], [math(\displaystyle \frac {\partial f} {\partial x})], [math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f)] 등으로 나타낸다.
다차원 함수식에서 워낙 중요한 연산자인지라 편미분된 함수를 편도함수라고 부르며, [math(\partial)]라는 기호를 따로 쓴다.[7][8] 당연하지만 원시함수의 변수가 둘 이상이기 때문에, 제대로 풀려면 순수 해석학만으로는 부족하고 선형대수학을 동원해야 한다.
이 편미분 기호 [math(\partial)][9]는 명칭이 여러 가지로, '델', '디', '파셜', '라운드', '파셜 디', '라운드 디' 등이다. 공대에서는 '라운드'라고 많이 불린다. 그런데 이 중에서도 특히 '델'은 [math(nabla)](del)[10]과 이름이 겹치므로 헷갈리지 않도록 주의해야 한다. 대개 [math(\partial)]을 '델'로 읽는 사람은 [math(\nabla)]를 '나블라'로 읽는 경향이 있다.
다변수함수는 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하더라도 연속이 아닐 수 있다. 그러나 편도함수들이 모두 연속이라면 원 함수도 연속이며 미분가능하다.
아래의 그림과 같이 [math(x)]와 [math(y)]가 곱해진 식을 편미분할 때 헷갈릴 수 있으니 주의한다.
- 편미분 교환법칙(클레로의 정리)
f를 x에 대해서 편미분한 뒤 y에 대해서 편미 분한 결과와, f를 y에 대해서 편미분한 뒤 x에 대해 편 미분한 결과가 같은지 생각해 볼 필요가 있다. 즉, [math(f_{xy})] = [math(f_{yx})]인가?
이 질문에 대한 답으로는 다음의 편미분 교환법칙을 보면 된다. (오일러는 1734년에 이 법칙을 발견하였다. 클레로(Clairaut, A. C. ; 1713~ 1765, 프랑스)의 정리 또는 슈바르츠(Schwarz, H. ; 1843~ 1921, 독일)의 정리라고 하기도 한다.)R^2의 열린 집합에서 정의된 함수 f(x,y)가 정의역의 점 p에서 이계도함수가 연속이면, [math(f_{xy}(p))]= [math(f_{yx}(p))] 이다.{{{#!folding [증명]
함수 f(x, y)가 (a, b)의 이계도함수가 연속이라고 가정하자.
또한 0이 아닌 작은 수 h에 대하여 Δh = [math((f(a+h, b+h)-f(a, b+h)-f(a+h, b)+f(a, b))]가 만족한다고 가정하자.
만약 [math(g(x)=f(x, b+h)-f(x, b))]라 두면, [math(Δh=g(a+h)-g(h))]
그럼 평균값 정리에 의해 [math(Δh=g(a+h)-g(h))]=[math(hg'(c))]=[math(hf_x(c, b+h)-hf_x(c, b))]를 만족하는 a<c<a+h인 수 a가 존재한다.
다시 평균값 정리를 적용시키면 [math(hf_x(c, b+h)-hf_x(c, b)=h^2f_{xy}(c, d))]를 만족하는 b<d<b+h인 수 d가 존재한다.
따라서 Δh = [math(h^2f_{xy}(c, d))]을 얻을 수 있는데 양변에 h를 0으로 보내면 (c, d)는 (a, b)로 가기 때문에
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\Delta h}{h^2} = \lim_{h\to 0} f_{xy}(c, d))]=[math(\displaystyle\lim_{h\to 0} f_{xy}(a, b))]이다.
g(x)를 [math(f(x, b+h)-f(x, b))]로 잡은 채 위 과정과 똑같이 하면 [math(\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\Delta h}{h^2})]=[math(\displaystyle\lim_{h\to 0} f_{yx}(a, b))]이다.
따라서 [math(\displaystyle\lim_{h\to 0} f_{xy}(a, b))] = [math(\displaystyle\lim_{h\to 0} f_{yx}(a, b))]이다.
고등학교에서 기초적인 편미분을 배울 수 있는데 바로 '이계도함수', '음함수의 미분'[11]이다. 하지만 그것 말고도 함수가 더럽게 뒤엉켜 있는 함수방정식과 도함수까지 나오는 미분방정식 중 고등학교 시험에 나오는 것들에 요긴하게 써먹을 수 있다. 사실 이런 문제들은 고등학교 수준에서는 꽤 어렵기 때문에 모의고사나 수능에 4점짜리로 종종 나오곤 했는데 요즘에는 절대로 나오지 않는다. 학생들이 다름 아닌 편미분으로 너무 쉽게 풀어버리기 때문이다.
경제학을 비롯한 사회과학에서도 편미분이 중시되는데, 그 이유는 사회과학에서 “여러 변수들이 동일하다(ceteris paribus)”라는 조건을 쓸정도로 변수처리에 대한 고려가 많기 때문이다. 즉 여러 변수를 ceteris paribus로 두고, 한 변수를 중점적으로 미분한다. 사회과학 관련 여러 변수들은 자연과학에서 요구되는 규칙보다 심오한 편[12]으로, 자연과학의 여러 방정식보다는 적용이 힘들기 때문에 자연과학에 편미분을 적용하는 것보다는 활발한 편까지는 아니다.
2.3. 전미분
[math(\mathrm{d}f(x,y,z)=f_x(x,y,z)\mathrm{d}x+f_y(x,y,z)\mathrm{d}y+f_z(x,y,z)\mathrm{d}z)]
[13]전미분(total differential)은 편미분과는 반대로 미분꼴이 다수의 변수를 품은 형태이다. 이 개념을 일반화한 게 미분형식이다.
3. 도함수의 응용(활용)
3.1. 함수의 그래프 분석
미분법을 배우는 주된 이유 중 하나는 함수의 그래프를 그리기 위해서이다. 도함수로 원래함수의 상태를 알아내 형태를 그릴 수 있기 때문. 함수의 형태와 특징을 알기 위해서는 도함수와 함께 몇가지 다른 개념들이 필요하다. 이 개념들을 이용하면 함수의 그래프를 그릴 수 있다.3.1.1. 최댓값과 최솟값
함수 [math(f)]가 [math(S)]에서 정의되고 [math(c\in S)]라 하자.
1. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\ge f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최댓값(maximum value)이다.
2. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\le f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최솟값(minimum value)이다.
1. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\ge f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최댓값(maximum value)이다.
2. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\le f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최솟값(minimum value)이다.
3.1.1.1. 최대·최소 정리
3.1.1.2. 임계점 정리
[math(f)]가 [math(c)]를 포함하는 구간 [math(I)]에서 정의된 함수라 하자. [math(f(c))]가 최대 또는 최솟값이면 [math(c)]는 다음 중 하나이다.
1. [math(I)]의 끝점 (예를 들어, 구간 [math([a,\,b])]의 끝점은 [math(a)]와 [math(b)]이며, 구간 [math([a,\,b))]의 끝점은 [math(a)]이다)
2. [math(f)]의 정점(Apex) ([math(f'(c)=0)] 인 점)
3. [math(f)]의 특이점(Singular point) ([math(f'(c))]가 존재하지 않는 점으로 그래프가 꺾인 점, 접선의 기울기가 발산하는 점, 불연속인 점이 있다)
위의 세 종류의 점을 임계점이라 한다.[14]1. [math(I)]의 끝점 (예를 들어, 구간 [math([a,\,b])]의 끝점은 [math(a)]와 [math(b)]이며, 구간 [math([a,\,b))]의 끝점은 [math(a)]이다)
2. [math(f)]의 정점(Apex) ([math(f'(c)=0)] 인 점)
3. [math(f)]의 특이점(Singular point) ([math(f'(c))]가 존재하지 않는 점으로 그래프가 꺾인 점, 접선의 기울기가 발산하는 점, 불연속인 점이 있다)
3.1.2. 단조성과 오목·볼록
[math(f)]가 구간 [math(I)]에서 정의될 때 [math(I)] 내의 임의의 두 점 [math(x_{1})], [math(x_{2})]에 대하여
1. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})<f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 증가한다(increase)고 하고
2. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})>f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 감소한다(decrease)고 하며
3. 함수 [math(f)]가 1 또는 2를 만족하면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 단조롭다(monotone)고 한다.
1. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})<f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 증가한다(increase)고 하고
2. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})>f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 감소한다(decrease)고 하며
3. 함수 [math(f)]가 1 또는 2를 만족하면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 단조롭다(monotone)고 한다.
3.1.2.1. 단조성 정리
[math(f)]가 구간 [math(I)]에서 연속이며 [math(I)]의 모든 내점에서 미분가능할 때
1. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 증가하며,
2. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 감소한다.
이때 구간 [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 증가 또는 감소임에 유의하자. 즉, 증가 또는 감소 구간은 양 끝점을 포함한다. 단조성 정리의 증명과 이로부터 도출되는 정리는 역도함수로 정의되는 부정적분에 있어 굉장히 중요한 의미를 갖는다. 이에 대한 내용은 평균값의 정리를 참조할 것.1. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 증가하며,
2. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 감소한다.
3.1.2.2. 오목성 정리
만약 접선이 그래프를 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 반시계방향으로 회전하면 그래프는 위로 오목(concave up) 또는 아래로 볼록(convex down)이며, 시계방향으로 회전하면 아래로 오목(concave down) 또는 위로 볼록(convex up)이다.[15]정확한 정의는 다음과 같다. (반드시 미분 가능해야 할 필요는 없다.)
함수 [math(f)]가 열린구간 [math((a,\,b))]에서 연속일 때, 임의의 [math(0<e<1)]과 [math((a,\,b))]안의 모든 점 [math(x<y)]에 대해 [math(f(ex+(1-e)y)\le ef(x)+(1-e)f(y))]일 때 [math(f)]는 위로 오목(아래로 볼록)이며, [math(f(ex+(1-e)y)\ge ef(x)+(1-e)f(y))]일 때 [math(f)]는 아래로 오목(위로 볼록)이다.
함수가 미분가능하다면, 도함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. (위의 정의로부터 어떤 함수가 위로 오목/아래로 오목이면 연속이며 만약 미분가능하다면 도함수가 증가/감소함수임을 보일 수 있다.)
함수 [math(f)]가 열린구간 [math(I=(a,\,b))]에서 미분가능하다고 하자. [math(f')]이 [math(I)]에서 증가하면 [math(f)]는 위로 오목(아래로 볼록)이며 [math(f')]이 [math(I)]에서 감소하면 [math(f)]는 아래로 오목(위로 볼록)이다.
여기서 열린구간에서 미분가능한 함수임에 유의하자. 즉, 오목 또는 볼록 구간은 양 끝점을 포함하지 않는다. 또한[math(\ f)]이 양수이면 [math(f')]이 증가하고 [math(f)]이 음수이면 f'이 감소하므로 다음의 오목성 정리가 성립한다. [math(f)]를 열린구간 [math((a,\,b))]에서 두 번 미분가능한 함수라 하자. [math((a,\,b))]의 모든 점 [math(x)]에 대하여
1.[math(\ f''(x)>0)]이면 [math(f)]는 [math((a,\,b))]에서 위로 오목(아래로 볼록)이고,
2.[math(\ f''(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math((a,\,b))]에서 아래로 오목(위로 볼록)이다.
2.[math(\ f''(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math((a,\,b))]에서 아래로 오목(위로 볼록)이다.
[math(f)]를 [math(c)]에서 연속인 함수라 할 때, [math(f)]가 [math(c)]를 경계로 한쪽에서는 위로 오목(아래로 볼록)이고 다른 쪽에서는 아래로 오목(위로 볼록)이면 [math((c,\,f(c)))]를 [math(f)]의 변곡점(inflection point)이라고 한다. 여기서 [math(f(x)=0)]인 점이 항상 변곡점인 것은 아니라는 것에 유의하자. [math(\ f(x)=0)]이면서 좌우의 [math(f(x))]의 부호가 반대인 점이 변곡점이며 또한 [math(f(x)=0)]의 값이 존재하지 않는 점이 변곡점이 될 수도 있다.
3.1.3. 극댓값과 극솟값
극댓값이란 주변값보다 큰 값을, 극솟값은 주변값보다 작은 값을 의미한다. 극댓값·극솟값의 정확한 정의는 다음과 같다.
[math(S)]는 [math(f)]의 정의역이고, [math(c\in S)]라 하자.
1. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최댓값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극댓값(local maximum value)이라고 한다.
2. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극솟값(local minimum value)이라고 한다.
3. [math(f(c))]가 극댓값이거나 극솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극값(local extreme value)이라고 한다.
1. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최댓값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극댓값(local maximum value)이라고 한다.
2. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극솟값(local minimum value)이라고 한다.
3. [math(f(c))]가 극댓값이거나 극솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극값(local extreme value)이라고 한다.
여기서 임계점 정리의 최대·최솟값을 극값으로 바꾸어도 성립한다. 즉 끝점, 정점 그리고 특이점이 극값이 될 수 있다. 이때 도함수를 이용하면 극값을 판정할 수 있다.
[math(f)]는 [math((a,\,b)-\{c\})]에서 미분 가능하고, 임계점 [math(c)]는 [math((a,\,b))]의 원소일 때,
1. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극댓값이다.
2. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극솟값이다.
3. [math(c)]의 양쪽에서 [math(f'(x))]의 부호가 같으면 [math(f(c))]는 극값이 아니다.
1. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극댓값이다.
2. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극솟값이다.
3. [math(c)]의 양쪽에서 [math(f'(x))]의 부호가 같으면 [math(f(c))]는 극값이 아니다.
3.1.4. 이계도함수
도함수의 도함수로써 그래프의 볼록한 방향을 구할때 쓴다.
3.1.5. 점근선
3.2. 매개 변수의 미분법
의 매개 변수의 미분법 부분을
참고하십시오.3.3. 접평면의 방정식
다음의 정리를 이용한다.
[math(\vec h\parallel(0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y})×(1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x})=(\dfrac{\partial z}{\partial x},\,\dfrac{\partial z}{\partial y},\,-1))]
그러므로 접평면의 방정식은
[math(T:\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0)-(z-z_0)=0\\\therefore T:z=z_0+\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0))]
공간 상의 곡면 [math(S)] 위의 한 점 [math(X)]에 접하는 평면과 점 [math(X)]를 지나고 곡면 [math(S)]를 지나는 임의의 평면 [math(P)]의 교선은 [math(S)]와 [math(P)]의 교선 위의 점 [math(X)]에서의 접선이다.
위의 정리에서 3차원 좌표공간 상의 곡면 [math(S:z=f(x,\,y))] 위의 한 점 [math((x_0,\,y_0,\,z_0))]에 접하는 평면과...1. [math(P:x=x_0)]와의 교선은
x를 상수 취급하므로 접선 기울기는 [math(\dfrac{\partial z}{\partial y})]
즉, 접선의 방향벡터는 [math((0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y}))]
1. [math(P:y=y_0)]와의 교선은
y를 상수 취급하므로 접선 기울기는 [math(\dfrac{\partial z}{\partial x})]
즉, 접선의 방향벡터는 [math((1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x}))]
접평면은 이 두 직선을 포함하여야 하므로 법선벡터는 이 두 벡터에 수직인 벡터이다.x를 상수 취급하므로 접선 기울기는 [math(\dfrac{\partial z}{\partial y})]
즉, 접선의 방향벡터는 [math((0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y}))]
1. [math(P:y=y_0)]와의 교선은
y를 상수 취급하므로 접선 기울기는 [math(\dfrac{\partial z}{\partial x})]
즉, 접선의 방향벡터는 [math((1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x}))]
[math(\vec h\parallel(0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y})×(1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x})=(\dfrac{\partial z}{\partial x},\,\dfrac{\partial z}{\partial y},\,-1))]
그러므로 접평면의 방정식은
[math(T:\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0)-(z-z_0)=0\\\therefore T:z=z_0+\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0))]
3.4. 음함수의 미분
[math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}})]
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자세한 내용은 음함수 문서
의 음함수의 미분법 부분을
참고하십시오.3.5. 야코비안 계수 변환
3.6. 회전체의 입체각
3.7. 리시 방법
초등함수의 도함수를 구하는 방법을 일반화시킨 것이다.
4. 관련문서
[1] [math(\displaystyle \lim_{\Delta \Re(z)\to 0} \lim_{\Delta \Im(z)\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z})]의 꼴로 두 방향으로 미분하는데, 복소수의 특성상 실수에서 먹히던 방법이 안 먹히는 일이 많다.[2] '에프 프라임 엑스'라고 읽는다. 영미권에서는 f prime of x.[3] 디엑스 분의 디와이가 아니라 디와이디엑스라고 읽는다. [math({rm d}y)]를 [math({rm d}x)]로 나눈다는 것이 아니다.[4] 고전역학에서 자주 보이는 표기인데, 아이작 뉴턴이 물리학 이론을 전개하는 과정에서 이 표기를 썼기 때문이다. 물리학에서 변수 위에 점을 찍는 표기는 보통 시간 [math(t)]에 대한 미분일 때 많이 쓴다.[5] [math(\delta(x))]는 디랙 델타 함수이다.[6] 지수 적분 함수, 로그 적분 함수, 삼각 적분 함수 등[7] 따로 쓰는 또 하나의 이유는 [math(\mathrm{d}x)]와 [math(\partial x)]는 다르기 때문이기도 하다.[8] 편미분 기호 외에도 둘러싸는 부분을 뜻하는 경우도 있다. 예를 들어 [math(\partial V)]는 공간 [math(V)]의 표면이다.[9] 니콜라 드 콩도르세가 고안한 기호이다.[10] 그런데 이것도 편미분 연산자의 일종이다.[11] 이건 오히려 편미분을 활용한 상위 테크닉이긴 하다. 음함수의 미분 시 편미분과 헷갈릴 수 있으니 주의하자. x와 y 중 한 문자에 대해서만 미분하는 편미분과 달리 음함수의 미분은 x와 y를 둘 다 변수로 본다. 상세 내용은 아래 문단 참조[12] 자연과학의 연구 대상은 대개 의지가 없는 물질인 반면, 사회과학의 연구 대상은 의지가 있는 인간들이 모인 군집이다.[13] [math(f_u)]는 [math(f)]를 [math(u)]에 대해 편미분 하라는 의미이다.[14] 책에 따라 [math(f'(c)=0)] 인 점만 임계점이라 부르는 경우도 있다.[15] 책에 따라 위로 오목(아래로 볼록)한 함수를 볼록함수(Convex Function), 아래로 오목(위로 볼록)한 함수를 오목함수(Concave Function)이라 부르는 경우도 있다.