1. 개요
近似, approximate value근사(approximation)를 통해 구한 값으로, 참값이나 엄밀해/실제해랑 엄밀하게 같지는 않지만, 이에 근접하게 구해진 '거의 같은' 값이다.
2. 계산
보통 어떤 문제를 풀거나 자료를 해석할 때 의도대로 해당 자료나 문제에서 나온 방정식이나 함수의 해를 정확하고 엄밀하게 대수적/해석적인 방법으로 풀어서 구해야 하지만, 복잡한 미분방정식 문제 같이 풀이법이 알려진 게 없거나 자료의 일반 식을 대수적/해석적으로 표현할 수 없는 경우처럼 이것이 불가능한 상황도 많기 때문에 필연적으로 근사법을 사용해야 하는 경우가 생긴다.[1]구체적인 계산법은 어림과 극한에 기초한다. 미분의 경우도 기하학적인 관점에서 곡선의 정의역 구간을 점같이 보이게 아주 잘게 나누고, 그 구간에서의 평균변화율(두 점 사이 기울기)를 구해 극한을 취해 순간변화율(접선 기울기)에 근사시키는 과정이며, 더 나아가 곡선을 한 점의 매우 가까운 근방에서 직선(의 일부)으로 취급하는 선형근사라고 할 수 있다. 적분도 고대부터 곡선으로 둘러쌓인 영역의 넓이를 구할때 가로나 세로 변을 균등하게 나눈 작은 직사각형 성분들로 쪼개어 그 성분들을 합한 값을 찾아 넓이로 어림하는 구분구적법에서 시작했고, 극한의 개념을 도입하여 구간을 0에 근접하게 잘게 나누어 직사각형 성분을 더 정밀하게 만들어 정확한 면적을 구할 수 있게 되었다. 테일러 급수/매클로린 급수도 미분을 이용하여 정의역의 중심값 근방에서 초월함수를 다항함수(엄밀히는 멱급수로 나타나는 다항식의 극한)로 표현하는 근사법 중 하나다.
근사를 할 수 있는 범위에도 결국 제한이 있기 때문에 답이 알려진 이론을 따라 그냥 0이나 무한대로 극한을 취하는게 아니라 현실적인 근사법으로 구한 해는 (엄밀한 해가 있다면) 실제 해와 약간 달라지는 오차가 어쩔 수 없이 생기게 된다. 하지만 근사를 잘하면 실제값과의 차이(오차율)도 작아지기 때문에 근사해를 그대로 사용해도 문제가 없어진다. 이를 다루어, 오차를 최소화하면서[2] 근사적인 방법으로 방정식을 가능한 정확하게 푸는 학문이 수치해석학이며, 여러 컴퓨터에서 쓰이는 전산 소프트웨어도 이러한 방법에 기초한다.
3. 기호
[math(\fallingdotseq)] , [math(\approx)] / Falling Dot Semiequate / 거의 같다(근사 기호)[math(\fallingdotseq)]
'근접하다', '거의 같다'를 나타내는 수학 기호로 현재는 한국, 일본, 대만 정도에서만 쓰인다. 대한민국 수학 및 과학 참고서에서도 근삿값을 나타낼 때 쓰였으나 이렇다할 명칭이 없는 것이 특징이다. 영어로는 approximately equal이라 하며 줄여서 approx, aprx 등으로 표기한다. 또는 점 위치만 반대로 바뀐 ≓ 기호를 사용하기도 한다.수학사전뿐만 아니라 국어사전에서도 유의어나 뜻풀이를 나타낼 때 쓰이고 있으나, 온라인가나다 답변에 따르면 정작 국립국어원에서도 이를 특칭할 만한 용어를 제시하지 못한 듯 하다.
'ㄷ, 한자, Tab, →, →, 4'를 순서대로 눌러서 입력할 수 있으며, TeX 문법으로는
\fallingdotseq로 입력할 수 있다.[math(\approx)]
수학계에서는 2010년대에 접어들면서 점차 서양에서 쓰이는 기호인 ≈로 통일되어가는 추세이다. 단, ≒는 근사함 또는 같음을 의미하는 ≃의 이형태이고, ≈는 근사함만을 의미하는 것으로 보기도 한다.≈는 TeX에서
\approx로 입력하여 나타낼 수 있다. [math(\lesssim, \lessapprox, \gtrsim, \gtrapprox)]
대소 관계가 명확한 근삿값이라는 의미로 쓰인다.각각 TeX에서
\lesssim, \lessapprox, \gtrsim, \gtrapprox로 입력하여 나타낼 수 있다. 4. 사례
- 원주율의 근삿값으로 보통 3.14를 사용한다. [math(\pi\approx3.14)]
- 그 외에도 각종 무한소수의 경우 (예:[math(\displaystyle \frac{1}{3}\approx0.33)].) 근삿값을 사용하나, 순환마디가 너무 길거나 비순환소수[3]인 경우에만 쓰이는 편.
- 반올림
- 사사오입
- 보간법
- 선형근사는 미분을 이용해 함수를 직선(접선)으로 근사하여 근삿값을 구하는 방법이다.
- 바빌로니아법
- 뉴턴-랩슨 방법
- 테일러 급수, 매클로린 급수
- 스털링 근사
- WKB 근사법
- 단열 근사
- 수치해석학
[1] 대수적, 해석적 풀이 이론에 대해 엄밀하게 가르치는 고등학교 미적분 과정에서는 이러한 문제가 절대 나오지 않는데다, 대학교 과정의 학부 1~2학년때 접할 수 있는 공통 미적분학 과정이나 공대 전공 도입부의 공학수학 과정에서도 통상적인 방법으로 풀이가 안 나오는 경우는 찾기 힘들다.(공학수학에서 조금 다루는 수치해석과 편미분방정식 관련 단원에서 관련 예시로 대수/해석적 풀이가 난해하거나 불가능한 케이스 몇개가 맛보기 수준으로 나오는 정도다) 그러나 이공계나 경제학과 등 수학의 비중이 높은 전공의 심화 과정부터는 기존의 대수적이거나 해석적인 방법으로는 풀기 매우 어려운 미분방정식에 대해서도 배우게 되며, 이러한 사례도 본격적으로 접하게 된다. 그나마 독립변수가 하나인 1변수 함수들로 이루어진 상미분방정식(ODE)은 2계 이상의 비선형 유형 같은 게 아닌 이상 알려진 풀이 이론들을 동원하면 어찌저찌 특수해를 찾아 일반해까지 구해서 풀 수 있는 것이 많지만, 독립 변수가 여러 개인 다변수 함수들로 구성된 편미분방정식(PDE)으로 가면, 특히 비선형이라면 대수적이고 해석적인 방법으로 푸는게 지옥이거나 아예 풀이 방법 자체가 발견되지 않은 경우도 많아서(해석적으로 일반해까지 다 구해진 것이 오히려 소수일 정도) 근사적인 수치해석에 의존하여 조건별 특수해들을 찾는게 최선인 것들도 여럿이다. 당장 밀레니엄 문제 가운데 하나인 나비에-스토크스 방정식도 일반해의 존재 여부조차 오랫동안 증명되지 않은 편미분방정식인 난제다.[2] 다만 수치적인 해법에서 오차를 줄이려면 계산 스텝이 많아져서 총 연산이 느려지기 때문에 고성능 컴퓨터가 요구되며, 이래도 오차를 완전 없애는건 어려워서 대체로 계산속도와 정확도에서 적당히 타협을 본다.[3] 특히 초월수나 환원 불능이 나오는 경우