1. 개요
행렬을 사용한 광선 추적 방법.광선 추적에는 기본적으로 스넬의 법칙을 사용하여 굴절각을 계산하는 행위가 반복적으로 이루어진다. 이것을 행렬 연산으로 간단히 처리하여 복잡한 계산을 빠르게 가능하게 한다. 이는 복합 렌즈계에서 그 빛을 발하게 된다.
이 문서에서는 광학적 부호 규약이 사용되었다.
2. 상세
2.1. 자유 공간 전파
그림과 같이 빛이 진공상에서 전파된다고 생각하자. 이때, 광선은 두 변수 [math((x,\,\theta))]로 기술가능하며, 위 그림에서는
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{2}&=y_{1}+d\sin{\theta_{1}} \\ \theta_{2} &=\theta_{1} \end{aligned} )]
이때, 근축광선을 고려한다면, [math(\theta \ll 1)]이므로 [math(\sin{\theta} \approx \theta)]로 근사할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{2}&=y_{1}+d\theta_{1} \\ \theta_{2} &=\theta_{1} \end{aligned} )]
임을 알 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 나타내면,
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}y_2 \\ \theta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & d \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} )]
으로 나타낼 수 있다.
여기서 나온 행렬
[math(\displaystyle \pmb{\mathsf{T}} \equiv \begin{bmatrix}
1 & d \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} )]
를 전달 행렬(ray-transfer matrix)이라 한다.
2.2. 굴절률이 변화하는 경우
그림과 같이 굴절률이 [math(n_{1})]인 매질 I에서 굴절률이 [math(n_{2})]인 매질 II로 투과하는 경우를 보자.
이때, 스넬의 법칙에 따라
[math(\displaystyle n_{1}\theta_{1}=n_{2}\theta_{2} )]
이다. 이때, 작은 각에 대한 사인 함수의 근사가 사용되었다. 이상에서
[math(\displaystyle \theta_{2}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1} )]
이다. 또한 [math(y_{1}=y_{2})]라 볼 수 있으므로 이때, 전달 행렬은
[math(\displaystyle \pmb{\mathsf{T}} \equiv \begin{bmatrix}
1 & 0 \\ \\
0 & \dfrac{n_{1}}{n_{2}} \\
\end{bmatrix} )]
이다.
2.3. 구면 전파
입사 광선은
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{1}&=h \\ \psi_{1}&=\alpha \end{aligned} )]
이라 둘 수 있고, 근축광선에 대하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha \approx\frac{h}{a} \end{aligned} )]
이다. 이번엔 투과광에 대하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{2}&=h \\ \psi_{2}&=-\beta \approx \frac{h}{b} \end{aligned} )]
그런데, 이미 결과적으로 구면에서의 굴절은 다음과 같은 결론을 가진다는 것을 보았다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n_{1}}{a}+\frac{n_{2}}{b}=\frac{n_{2}-n_{1}}{R} \end{aligned} )]
이 세 식을 사용하면, 다음의 관계를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi_{2}=\frac{n_1-n_2}{n_{2}R}y_{1}+\frac{n_{1}}{n_{2}}\psi_{1} \end{aligned} )]
따라서 이 경우엔 전달 행렬은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
\dfrac{n_1-n_2}{n_2R} & \dfrac{n_1}{n_2} \\\end{bmatrix} \end{aligned} )]
이다.
2.4. 렌즈
첫 번째 곡면 반지름이 [math(R_{1})], 두 번째 곡면 반지름이 [math(R_{2})]이고, 두께가 [math(t)]인 렌즈를 생각해보자. 이때, 전달 행렬의 곱으로 렌즈의 전달 행렬을 구할 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}&= \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
\dfrac{n-1}{R_{2}} & n \\\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & t \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
\dfrac{1-n}{nR_{1}} & \dfrac{1}{n} \\\end{bmatrix} \\&=\begin{bmatrix}
1-\dfrac{n-1}{nR_{1}}t & \dfrac{t}{n} \\
& \\
-(n-1)\biggl[ \dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}}+\dfrac{(n-1)}{nR_1 R_2}t \biggr] & 1+\dfrac{n-1}{nR_{2}}t \\\end{bmatrix} \end{aligned} )]
2.4.1. 얇은 렌즈
얇은 렌즈의 경우 [math(t \to 0)]이므로[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}&=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
-(n-1)\biggl[ \dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}} \biggr] & 1 \\\end{bmatrix} \end{aligned} )]
인데, 익숙한 항이 보일 것이다. 얇은 렌즈 방정식에서 논의했듯, 렌즈의 초점거리 [math(f)]를 사용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}&=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
-\dfrac{1}{f} & 1 \\\end{bmatrix} \end{aligned} )]
임을 알 수 있다.
2.5. 평면 반사
반사의 경우 [math(y)]는 같고, [math(\theta)]가 같다는 것을 이용하면,[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \end{aligned} )]
2.6. 구면 반사
이 경우도 구면 굴절과 같은 방식으로 구할 수 있으며, 그 결과는[math(\displaystyle \begin{aligned} \pmb{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix}
1 & 0 \\\\
-\dfrac{2}{R} & 1 \\
\end{bmatrix} \end{aligned} )]
이다.
3. 활용
3.1. 복합 얇은 렌즈
위 그림과 같이 초점 거리가 [math(f_1)], [math(f_{2})]인 두 얇은 렌즈가 [math(d)]만큼 떨어져있다고 생각하자.
이제 [math(x)]축과 평행한 한 광선이 들어온다. 이 광선의 광선 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}
h \\
0
\end{bmatrix} \end{aligned})]
이제 이 빛이 첫 번째 렌즈를 통과하고, [math(d)]만큼 이동한 뒤 다시 두 번째 렌즈를 통과하므로 출사광의 광선 벡터는 다음과 같이 구해질 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\\\
-\dfrac{1}{f_{2}} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & d \\
0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\\\
-\dfrac{1}{f_{1}} & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
h \\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\biggl[1-\dfrac{d}{f_1} \biggr]h \\\\
-\biggl[ \dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{d}{f_{1}f_{2}} \biggr]h
\end{bmatrix} \end{aligned})]
따라서 출사광의 방정식은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle y=-\biggl[ \dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{d}{f_{1}f_{2}} \biggr]h(x-d)+\biggl[1-\dfrac{d}{f_1} \biggr]h )]
결과값을 간단히 얻기 위해 다음과 같이 쓴다.
[math(\displaystyle y=-\frac{h}{f}(x-d)+\biggl[1-\dfrac{d}{f_1} \biggr]h )]
이것과 입사광의 방정식 [math(y=h)]의 교점 [math(\rm P)]의 [math(x)]좌표를 구해보자. 이것은 수학적 계산을 함으로써 쉽게 구할 수 있다.
[math(\displaystyle x_{\rm{P}}=d-\frac{f}{f_{1}}d )]
이제 출사광과 [math(x)]축이 만나는 점 [math(\rm F)]의 [math(x)]좌표는
[math(\displaystyle x_{\rm{F}}=d-\frac{f}{f_{1}}d+f )]
이 둘의 차가 두 렌즈의 등가 초점 거리 [math(f)]가 된다.
[math(\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1 f_2} )]
3.2. 두꺼운 렌즈
그림과 같이 곡률 반지름이 [math(R_{1})]인 곡면과 곡률 반지름이 [math(R_{2})]인 곡면이 있는 두꺼운 렌즈가 있다. 이들의 정점[1]은 각각 [math(x=0)]과 [math(x=t)]이다.
이제 윗 문단과 같은 방식으로 접근하면, 출사광의 광선 벡터는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
\dfrac{n-1}{R_{2}} & n \\\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & t \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
& \\
\dfrac{1-n}{nR_{1}} & \dfrac{1}{n} \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
h \\
0
\end{bmatrix}\end{aligned}=\begin{bmatrix}
\biggl[1+\dfrac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]h \\\\
-\biggl[(n-1) \biggl[\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{(n-1)t}{nR_{1}R_{2}} \biggr] \biggr]h
\end{bmatrix} )]
이상에서 출사광의 방정식은
[math(\displaystyle y=-\biggl[(n-1) \biggl[\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{(n-1)t}{nR_{1}R_{2}} \biggr] \biggr]hx+\biggl[1+\dfrac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]h )]
이때, 계산의 편의성을 위해 다음과 같이 쓰자.
[math(\displaystyle y=\biggl[-\frac{h}{f}\biggr](x-t)+\biggl[1+\dfrac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]h )]
점 [math(\rm F)]의 [math(x)]좌표는
[math(\displaystyle x_{\rm F}=f+t+\biggl[\frac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]f )]
마찬가지로 점 [math(\rm P)]의 [math(x)]좌표는
[math(\displaystyle x_{\rm P}=t+\biggl[\frac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]f )]
이 둘의 차가 초점 거리가 된다. 그것은 [math(f)]로
[math(\displaystyle \frac{1}{f}= (n-1) \biggl[\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{(n-1)t}{nR_{1}R_{2}} \biggr] )]
이것이 두꺼운 렌즈의 초점 거리이다.
이상에서 제2주요면의 위치는
[math(\displaystyle t-x_{\rm P}=s=-\biggl[\frac{n-1}{nR_{1}}t \biggr]f )]
이와 유사하게 제1주요면은 [math(R_{1})]과 [math(R_{2})]를 반전시키고, 전체 결과값에 음수를 붙이면 된다. 이상에서 물체 초점거리는 [math(f)]이고, 제1주요면의 위치는
[math(\displaystyle s=-\biggl[\frac{n-1}{nR_{2}}t \biggr]f )]
이다. 이때, 각 정점의 오른쪽에 있으면 양수이다.
[1] 광축과 표면이 만나는 점