1. 개요
프랙털 이론하에서 정의한 차원 개념. 이를 사용하면 정수가 아닌 차원을 고려할 수 있으며, 프랙털(Fractal) 이론이란 명칭도 이 개념 하에서 도출된 차원 수에서 소수점 이하 자리가 존재한다는 것에서 온 용어이다.2. 상세
프랙털 이론에서는 차원이라는 단어를 유클리드 공간에서의 의미와는 약간 다른 의미로 쓴다. 프랙털 이론에서 말하는 차원은 하우스도르프-클라인 차원(Hausdorff-Klein dimension)으로 정의될 수 있다. 이 정의를 처음 생각해낸 독일의 수학자 펠릭스 클라인과 펠릭스 하우스도르프의 이름을 딴 것이다.본디 차원(次元)이라는 개념은, 혹은 '한 점의 위치를 정하기 위해 필요한 최소한의 수치의 개수'로 말할 수 있다. 이 경우, 일반적으로는 0차원, 1차원, 2차원, 3차원만을[1] 생각할 수 있다. 그러나, 차원을 정의하기에 따라서는 정수가 아닌 차원을 생각할 수 있다. 먼저, 선분을 2배 크게(길게) 하면 길이는 2배(21배)가 된다. 정사각형의 한 변의 길이를 2배 길게 하면 정사각형의 넓이는 4배(22배)가 된다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 2배 길게 하면 정육면체의 부피는 8배(23배)가 된다. 이에 착안하여, 어느 도형의 길이를 [math(n)]배 확대할 때 그 도형의 길이나 넓이나 부피가 [math(x)]배 증가하면, [math(\boldsymbol{\log_nx})]을 하우스도르프-클라인 차원으로 정의한 것이다.
이 정의로는 정수가 아닌 차원이 가능한데, 프랙털 도형(맹거 스펀지 등)이 그렇다. 위 그림이 그 예이다. 이 도형은 정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복한 도형으로 '시에르핀스키의 개스킷(시어핀스키 삼각형)'이라 한다. 이와 비슷하게 시에르핀스키 양탄자도 있다.
이 도형의 길이를 2배로 만들면 위와 같이 3개의 기존 도형으로 이루어진다.(빨간색, 노란색, 파란색의 3개.) 따라서 이 도형의 하우스도르프-클라인 차원은 [math(\log_nx)]≒1.585차원이 된다. 절대로 착각하지 마라! 위상적인 의미의 차원[2]은 여전히 2차원이긴 하다.
이 영상에서도 프랙탈을 자기 유사성을 가진 도형이라기보다는 실수 차원을 갖는 도형으로 설명한다. 실제로 많은 프랙탈 도형에서는 정확한 형태의 자기유사성이 성립하지 않기 때문에, 프랙탈 이론에서는 하우스도르프 차원을 통해 프랙탈을 정의하고 분류하는 경우가 많다. 다만, 프랙탈 도형 중에 정수 차원을 갖는 경우도 있고[3], 위상적인 차원보다 프랙탈 차원이 커지지 않는 경우도 있다 보니 이 정의를 항상 사용할 수는 없음에 주의하자.
3. 측도론에서의 정확한 정의
거리공간 [math(X)] 위에서의 하우스도르프 측도(Hausdorff measure)의 정의는 다음과 같다. [math(X)]의 진부분집합 [math(S)]에 대해, [math(S)]를 반지름 [math(\delta)] 이하의 원으로 덮는 덮개를 생각하고, 이 중 반지름의 [math(d)]제곱의 총합의 상한으로 내측도 [math(H_\delta^d \left( S \right))]를 정의하자. ([math(d)]: 고정된 양수)[math(\displaystyle H_\delta^d \left( S \right) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} r_i^d : S \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B \left( x_i,\ r_i \right),\ r_i < \delta \right\})]
하우스도르프 측도는 이 [math(H_\delta^d \left( S \right))]의 극한으로 정의되고, 거리 공간에서의 측도론은 이 하우스도르프 측도가 열린 집합 및 바나흐 대수 위에서 (외측도가 아닌 일반 측도로서) 잘 정의됨을 보장한다.[math(\displaystyle H^d \left( S \right) = \lim_{\delta \rightarrow 0} H_\delta^d \left( S \right) )]
이때, 하우스도르프 차원은 이 측도가 0이 되는 [math(d)]의 상한이 된다.[math(\displaystyle \mathrm{dim}_{H} \left( S \right) = \sup \left\{ d : H^d \left( S \right) = 0 \right\})]
일반적으로 집합 [math(S)]의 하우스도르프-클라인 차원을 [math(d_0)]라 할 때, [math(d<d_0)]이면 [math(H^d \left( S \right)=\infty)]이고, [math(d>d_0)]이면 [math(H^d \left( S \right)=0)]이 된다. 프랙탈 도형에 대해서는 위에서 설명한 하우스도르프-클라인 차원과 이 정의가 동일함을 보일 수 있고, 자기닮음을 찾아보기 힘든 일반적인 도형의 경우에도 이 정의는 적용이 가능하기 때문에, 정확한 논의에서는 이 측도론적 방식이 하우스도르프-클라인 차원의 정의가 된다. [4][1] 4차원 이상의 차원의 경우 시간축 같은, 공간축 이외의 별개의 축을 상정하는 것을 기본으로 한다. 즉, 순전히 공간만을 고려했을 때 나올 수 있는 차원의 최대 개수는 3차원까지라는 것. 물론 수학적으로는 4차원 이상의 공간적인 차원을 상정할 수는 있으나, 인간의 지각능력상 3차원까지만을 인지할 수 있기 때문에, 4차원 이상의 공간구조를 구상하는건 거의 불가능하다.[2] 엄밀히 말하면 르베그 덮개 차원[3] 대표적으로 드래곤 커브가 하우스도르프-클라인 차원이 2차원인 곡선이다. 또한, 망델브로 집합의 경계선도 하우스도르프 차원이 2차원이다.(증명: arXiv, 논문) 그 외에도 여러 공간 채움 곡선 등이 있다.[4] 엄밀하게 본다면 2절에서 정의한 프랙탈 차원과 하우스도르프-클라인 차원이 달라지는 경우도 있지만, 대부분의 경우 동일한 값을 주기 때문에 보통 깊게 따지진 않는다.