| <colbgcolor=#005cab><colcolor=#fff> Putnam Competition 퍼트넘 경시대회 | ||
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| 공식 명칭 | <colbgcolor=#005cab><colcolor=#fff> 영어 | <colbgcolor=#fff,#191919>William Lowell Putnam Mathematical Competition |
| 한국어 | 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회 | |
| 개최년도 | 1938년 | |
| 링크 | ||
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1. 개요
윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회, 줄여서 퍼트넘 경시대회(Putnam Competition)은 앵글로아메리카(미국과 캐나다) 학부생들을 대상으로 매년 개최되는 수학 경시대회이다.2. 역사
미국의 법률가이자 은행가였던 윌리엄 로웰 퍼트넘(William Lowell Putnam)이 1923년에 사망하면서 딸인 엘리자베스 퍼트넘에게 남긴 유산이 1937년 윌리엄 로웰 퍼트넘 대학 기념 기금(William. L. Putnam Intercollegiate Memorial Fund)으로 설립되면서 1938년 퍼트넘 수학경시대회가 발족되었다. 중고등학생 대상인 국제수학올림피아드(IMO)보다 오래됐다.3. 진행
매년 12월 첫째 주 토요일에 진행하며, 총 12문제에 제한시간 6시간을 두고 진행한다. 12문제는 Section A와 B로 각각 6문제씩 나뉘는데, 각각 제한 시간이 3시간이고 중간 휴식 시간은 30분을 준다.정수론, 기하학, 조합론, 대수학으로 문제가 구성되며, 미적분이 추가된다. Section A에는 보통 정수, 기하 위주의 문제, Section B에는 조합과 미적분 문제가 분포되어 있으나, 매년마다 구성이 다르다.
3.1. 수상
IMO가 나라별로 순위를 가르듯이, Putnam에서도 대학별로 순위를 가른다.개인 수상 훈격은 Putnam Fellow가 존재한다. 응시자 중 상위 5명은 Putnam Fellow로 선정되어 300만원을 상금[1]으로 받는다. 나머지 참가자중 Putnam Fellow의 하위 10명은 120만원, 그 하위 10명에서의 하위 12명은 30만원을 상금으로 받는다.
뛰어난 여성 참가자들에게 주는 엘리자베스 퍼트넘 상이 있다. 엘리자베스 퍼트넘 상은 120만원을 상금으로 준다.
4. 난이도
세계에서 가장 어려운 수학경시대회 중 하나라고 봐도 무방하다.중등교육과정의 학생들을 대상으로 하는 수학 테스트 중에서는 최고난도인 국제수학올림피아드(IMO)의 상위 격 대회이다. 퍼트넘 역시 MO계열 대회의 구성인 정수, 기하, 조합, 대수의 구성을 따라가나 이 구성들이 서로 섞이는 경우도 있고, 가장 중요한 것은 올림피아드에는 없던 미적분이 새롭게 추가된다는 것이다. 언뜻보면 평범한 경시 문제처럼 보이나 풀이를 보면 일반적인 정수 문제에 행렬을 적용해 전개하여 구하는 방식으로 푸는 경우도 있다. 학부 수준인만큼 학부에서 배우는 대수학 공식&이론과 해석학•미적분학 공식이 나온다.
또한 채점에 대해서도 자비가 없기로 유명하다. 대부분의 문제에서 배점은 0~2, 8~10점에서 채점되는데, 문제를 어느 정도 제대로 풀이하지 못했다고 판단되면 부분점수 따위는 없다. 설령 제대로 풀이했더라도 풀이 전개에서 오류가 발생했을 시 계산 실수 등의 오류가 아닌, 답변의 표현이 잘못되었거나 중요한 부분을 건너뛰고 서술했다면 가차없이 10점 만점에서 1~2점으로 떨어뜨린다. 한 마디로 다른 시험이었다면 부분점수를 받을 만한 상황이었다면 퍼트넘에서는 웬만하면 0(~1)점이라고 생각하면 된다.[2]
5. 예시
5.1. 정수
5.1.1. 80th A1
| 2019년 제80회 퍼트넘 경시대회 A1 |
| [math(a,b,c)]가 양수일때, [math(a^3+b^3+c^3-3abc)]가 가능한 모든 값들을 나타내시오. |
5.1.1.1. 풀이
[math((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca))]로 인수분해한다음, 1의 거듭제곱근(roots of unity)을 고려한 행렬로 나타낸다면 [math(\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix})]꼴이므로,행렬의 고유값 [math(a + \zeta b + \zeta^2 c)]와 환 구조의 노름 형태, [math(\frac{\mathbb Z[T]}{(T^3-1)})]을 사용해 3으로 나누어짐을 보이면 된다.
5.2. 미적분
5.2.1. 82nd A4
| 2021년 제82회 퍼트넘 경시대회 A4 |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} I(R) = \iint_{x^2+y^2 \le R^2} \dfrac{1+2x^2}{1+x^4+6x^{2}y^{2}+y^4}-\dfrac{1+y^{2}}{2+x^{4}+y^{4}} dxdy \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \lim_{R \to \infty} I(R))]을 찾거나 아예 존재하지 않음을 보이시오. |
5.2.1.1. 풀이
결론적으로는 [math(\ln)] 형태로 존재한다. 이를 구하려면, 적분에서 분수부를 좀더 포괄적인 범위인 [math(f(x,y))]와 [math(g(x,y))]로 둔다음, [math(g(x,y))]에서 [math(x,y)]가 서로 교환 가능하게 가정하고, [math(x)]는 [math(x+y)]로, [math(y)]는 [math(x-y)]로 옮길수 있음을 밝히는 것이 중요하다.- [풀이]
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여기서 [math(f(x,y))]와 [math(g(x,y))]의 분자를 잘보면, 각각 [math(1+2x^2)], [math(1+y^2)]이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(x,y) = \dfrac{1+2x^2}{1+x^4+6x^{2}y^{2}+y^4}\\
g(x,y) = \dfrac{1+y^{2}}{2+x^{4}+y^{4}}\\
\iint_{x^2+y^2 \le R^2} f(x,y) - g(x,y) dxdy
\end{aligned})]
그러면, [math(x)], [math(y)]를 서로가 교환 가능하다고 가정하고, [math(g(x,y))]를 다음과 같이 바꿀때,
[math(f(x,y))]와 [math(g(x,y))]의 관계는 [math(\displaystyle f(x,y) = -2g(x+y, x-y))]로 바뀌어서, 결국 [math(g(x,y))]꼴만으로 적분을 하는 것과 같고, 정의역도 다음과 같이 2배로 변형된다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
y^2 \to \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}\\
x \to x+y\\
y \to x-y
\end{aligned})]
여기서 극좌표계로 변환하고, 탄젠트 반각치환을 쓰면 [math(\ln)]꼴 함수로 적분 결과가 나온다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
I(R) = \iint_{R^2 \le x^2+y^2 \le 2R^2} g(x,y) dxdy
\end{aligned})]
6. 나무위키에 문서가 있는 수상자
| <rowcolor=#fff> 이름 | 대회 | 수상 |
| 리처드 파인만 | 제2회 (1939) | 퍼트넘 펠로우 |
| 존 밀너 | 제9회 (1949) | 퍼트넘 펠로우 |
| 제10회 (1950) | ||
| 케네스 윌슨 | 제14회 (1954) | 퍼트넘 펠로우 |
| 제16회 (1956) | ||
| 데이비드 멈포드 | 제15회 (1955) | 퍼트넘 펠로우 |
| 제16회 (1956) | ||
| 피터 쇼어 | 제39회 (1978) | 퍼트넘 펠로우 |