1. 개요
함수를 극소계에 대해서 내부적분한 값은 계를 극소함수에 대해서 내부적분한 값과 같다는 것이다.보통 대학교 학부 미적분학/공학수학에서 접하는 스토크스 정리(Stokes' theorem)는 미분위상수학[1]에서 이야기하는 미분다양체 상에서의 스토크스 정리의 극히 특수한 경우로, 특별히 켈빈-스토크스 정리(Kelvin-Stokes theorem)라고도 부른다.
2. 일반적인 진술 및 개략적 이해
만일 [math(w)]가 콤팩트인 유향(방향을 가진) [math(k)]차원 다양체 [math(X)] 상에서의 [math((k-1))]-형식이면, 다음의 등식이 성립한다.[math(\displaystyle \int_{\partial X} w = \int_{X} {\rm d}w )]
미분위상수학에서 말하는 스토크스 정리를 증명하는 데에는 미분다양체, 외대수, 캡곱과 컴팩트 받침 등을 비롯한 온갖 엄밀한 개념들이 사용된다. 증명 자체의 흐름은 다차원에서 이루어지는 일들을 1차원의 미적분학 기본정리와 동일한 형식으로 바꾸는 것으로, 1차원 미적분학의 개념들을 다차원에서의 미분과 적분, 함수의 개념을 정의하여 '정리'의 형태로 작성하는 것이 가장 어려운 부분이다.
아래 내용을 제대로 이해하기 위해서는 수학과 대학원에서 미분위상수학이라는 과목을 배워야 하므로, 여기서는 정리의 내용 자체를 개략적으로나마 이해하는 수준에서 넘어가고자 한다.
2.1. k차원 다양체 X
[math(k)]차원의 다양체라고 말할 때는 [math(k)]차원 도형을 생각하면 좋을 것이다. 다양체는 좌표공간 안에서와 똑같은 방식으로 생각할 수 있는 물체를 말한다. [math(k)]차원이라 함은, 선형공간에서와 같이 이 다양체가 길이는 있는데 넓이가 0이면 1차원, 넓이를 가지는데 부피가 없으면 2차원이라는 식으로 표현된다. 그리고 이와 같은 [math(X)]에 대한 [math(\partial X)]는 다양체 [math(X)]의 '경계' 를 의미한다. [math(X)]가 속이 꽉 찬 원판이라면 [math(\partial X)]는 그 경계부분의 원을 지칭하고, [math(X)]가 선분이라면 [math(\partial X)]는 양 끝의 점을 나타낸다.다음과 같은 예시들을 생각할 수 있다.
- 콤팩트인 방향 1차원 다양체 [math([3,\,4])]에 대해, [math(\partial[3,\,4]=\{3,\,4\})]
- 콤팩트인 방향 2차원 다양체 [math( X=\{(x,\,y)|x^2 + y^2 \le 1 \})]에 대해, [math(\partial X=\{(x,\,y)|x^2 + y^2 =1\})]
- 콤팩트인 방향 3차원 다양체 [math( X=\{(x,\,y,\,z)|x^2 + y^2 + z^2 \le 4 \})]에 대해, [math(\partial X=\{(x,\,y,\,z)|x^2 + y^2 + z^2=4\})]
그리고 [math(k)]차원 적분이라 함은, 다양한 모습의 [math(k)]차원 다양체에서 정의되는 [math(k)]-형식인 '적분대상', 즉 다양체의 각 점마다 어떤 수를 갖는 함수들에 대해서 적분을 해보자는 것이다.
2.2. X 상에서의 (k-1)-형식 w
우리가 3차원 유클리드 공간의 2차원 다양체를 나타내고자 할 때, 다음과 같은 표기법을 사용할 수 있다.어떤 함수 [math(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R})]에 대해서, [math(X)]는 [math(X=\{(x,\,y,\,z)|(x,\,y) \in \mathbb{R}^2, z=f(x,\,y)\})]이다.
이 표기법에서 생각할 수 있는 것은, 3차 유클리드 좌표계에서의 3차원 도형이라 하더라도, [math(\mathbb{R}^2)]상의 점 [math((x,\,y))]에 따라 결정되는 2차원 도형으로 취급할 수 있다는 점이다. 속이 빈 구각은 3차원 이상에서만 존재할 수 있지만 그 도형 자체는 2차원인 것이다. 이제 우리는 [math(X)]에 대한 논의를 2차원에서 진행할 수 있으므로, [math(X)] 위에서의 함수 [math(w)]를 2차원 좌표를 이용하여 나타낼 수 있다.
어떤 함수 [math(g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R})]에 대해서, [math(w)]는 [math(X)] 위의 점 [math((x,\,y,\,z))]에 대해 [math(g(x,\,y))]의 값을 가리키는 함수이다.
이를 통해 각 점마다 각각의 수를 가지는 함수를 작성할 수 있다. 이렇게 각 점을 '수'로 연결한 형식을 0-형식이라 부른다. 이러한 미분형식은 각 형식에 미분을 취할수록 점점 수가 증가하는데, 그 중에서도 특히 [math({\rm d}w)]는 0-형식인 [math(w)]의 '미분형식'인 1-형식으로, 다음과 같은 형태를 생각할 수 있다.
함수 [math(f(x)=x^2)]에 의한 형식 [math(w)]에 대해, [math({\rm d}w = 2x\,{\rm d}x)]
이러한 미분 방식은 고등학교나 비 수학과의 야매 치환적분법과 같다. 1차원의 경우에는 이것으로 끝이지만, 2차원에서는 한 번 미분하면 벡터장, 한 번 더 미분하면 그 벡터장의 발산함수가 나오는 식으로, [math(k)]차원에서는 [math(k)]번까지 미분할 수 있다. 이제 [math(k)]차원 다양체에서 [math(k)]-형식의 적분을 정의하는데, 이는 위의 예에서 보듯 [math(k)]-형식의 형태가 [math(f(x,\,y,\,z)\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z)]와 같은 꼴로 나타나기 때문에 그냥 적분과 표기법이 같다!
예를 들어 3차원 안의 2-형식은 [math(f(x,\,y,\,z) \,{\rm d}y\,{\rm d}z + g(x,\,y,\,z) \,{\rm d}z\,{\rm d}x + h(x,\,y,\,z) \,{\rm d}x\,{\rm d}y)] 꼴로 나타나는데 그냥 3차원 벡터장이다. 모양을 보면 알겠지만, [math(k)]-형식은 [math(k)]차원에서만 적분할 수 있도록 디자인되어있다.
이와 같이, 미분형식을 이야기할 때에는 발산 정리에서 이야기하는 벡터장 [math(F)]의 회전(curl)과 발산(div), 그리고 그레이디언트(grad)를 비롯한 '미분의 형식'들을 생각하고, [math(w)]에 대한 미분형식 [math({\rm d}w)]는 [math(w)]에 대한 회전, 발산, 혹은 단순한 도함수 등의 형태로 주어진다. 이 정리의 바리에이션 중 이공계 대학생들에게 친숙한 것은 3.4.1문단에서 기술할 켈빈-스토크스 정리와 발산 정리 등이 있다.
2.3. 그리고 적분
결국 스토크스 정리가 이야기하는 것은, 다양체 [math(X)]에서 어떤 벡터장 [math(w)]의 미분형식(보통 전하나 열원 등의 우리가 원하는 물리량이다.)을 적분하는 것은, [math(X)]의 경계에서만(경계쪽은 측정 가능한 정보가 많다.) 벡터장 [math(w)] 자체를 적분하는 것과 같다는 것이 된다. MRI와 같이 주변에서 한 번 휙~ 돌면서 측정하면 내부 내용을 다 알 수 있다는 뜻이다.3. 켈빈-스토크스 정리
미분위상수학에서 등장하는 일반적인 경우의 매우 특수한 경우로써, 켈빈 경과 조지 스토크스의 이름을 따서 켈빈-스토크스(Kelvin-Stokes) 정리라고 부른다.학부 미적분학이나 공학수학에서는 주로 다음과 같은 형태로 나온다.
[math(\displaystyle \iint_S ({\bf \nabla} \times {\bf v}) \cdot {\rm d}{\bf A} = \int_{\partial S} {\bf v} \cdot {\rm d}{\bf l} )]
이때, [math(S)]는 3차원 공간 상의 곡면, [math(\partial S)]는 해당 곡면의 경계선을 뜻한다.
이 식을 이해하는 것은 위의 과정에 비하면 어렵지 않다. 어떤 임의의 곡면 [math(S)]에서의 식이다. 면적분인 좌변을 보자. 괄호 안은 벡터 [math(\bf v)]의 회전(하는 정도)이다. 여기에 면적소 [math({\rm d}{\bf A})]를 내적했으므로, 좌변은 곡면 전체에 대해 곡면 안에서 벡터 [math(\bf v)]의 회전(하는 정도)을 뜻한다. 그리고 우변을 보면, 선적분인 우변은 곡면 [math(\partial S)]의 테두리에서의 벡터를 적분한 것이다.
즉, 간단히 말하면, 곡면의 모양과는 상관없이 곡면 내부의 벡터의 회전은 곡면의 테두리에 의해서만 결정된다는 것이다. 그 이유는 곡면의 테두리가 아닌 가운데 쪽에서 상쇄가 일어나기 때문이다. 사실 위의 말을 식으로 표현한 것이 위의 식일 뿐이다.
2차원에서 적용되는 스토크스 정리를 따로 그린 정리(Green's theorem)라고도 한다.[2]
[math(\displaystyle \oint_{\partial D} (P\,{\rm d}x + Q\,{\rm d}y) = \iint_D \biggl( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \biggr) {\rm d}S )]
해당 식의 좌변은 영역 [math(D)]의 경계 [math(\partial D)]를 따라가는 선적분이고, 우변은 3차원 스토크스 정리에서 [math(xy)] 평면의 법벡터가 [math(z)] 방향의 단위벡터이므로 [math({\rm d}S)] 벡터와 회전장을 내적하면 회전장의 [math(z)] 성분만 남게 되어 위 식이 유도된다.
보통 2차원 회전 정리를 증명할 때 그린 정리가 바탕이 된다.
3.1. 켈빈-스토크스 정리의 증명
헤르만 한켈(Hermann Hankel)이 1861년 그린 정리를 사용해 켈빈-스토크스 정리를 증명하였다.[증명1][증명2][증명3]발산정리(divergence theorem)의 연쇄 법칙 [math(m(x,y,z))], [math(x(t))], [math(y(t))], [math(z(t))]에서
[math(
\dfrac{\partial m}{\partial t} = \!\left( \dfrac{\partial m}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial z} \dfrac{\partial z}{\partial t} \right) \quad - \quad (1)
)]
\dfrac{\partial m}{\partial t} = \!\left( \dfrac{\partial m}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial z} \dfrac{\partial z}{\partial t} \right) \quad - \quad (1)
)]
1861년 한켈의 그린 정리
[math(\displaystyle
\int ( \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y ) = \iint \biggl( \frac{{\rm d}\xi}{{\rm d}y} -\frac{{\rm d}\eta}{{\rm d}x} \biggr) {\rm d}x \,{\rm d}y \quad - \quad (2)
)]
\int ( \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y ) = \iint \biggl( \frac{{\rm d}\xi}{{\rm d}y} -\frac{{\rm d}\eta}{{\rm d}x} \biggr) {\rm d}x \,{\rm d}y \quad - \quad (2)
)]
헤르만 한켈의 켈빈-스토크스 정리
[math(\displaystyle
\int ( \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \,{\rm d}z) \quad - \quad (3)
)]
\int ( \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \,{\rm d}z) \quad - \quad (3)
)]
[math(z = z(x,y))], [math(x=x(t))], [math(y=y(t))]이므로 (1)을 사용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} &= \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \\
{\rm d}z &= \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \quad - \quad (4)
\end{aligned} )]
\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} &= \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \\
{\rm d}z &= \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \quad - \quad (4)
\end{aligned} )]
(3)에 (4)을 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\int \biggl\{ \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \biggl( \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \biggr) \!\biggr\} \\
= &\int \biggl\{ \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\zeta \frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \biggr\} \\
= &\int \biggl\{ \!\biggl( \xi +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} \zeta \biggr) {\rm d}x +\biggl( \eta +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} \zeta \biggr) {\rm d}y \biggr\}
\end{aligned} )]
&\int \biggl\{ \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \biggl( \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \biggr) \!\biggr\} \\
= &\int \biggl\{ \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} {\rm d}x +\zeta \frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} {\rm d}y \biggr\} \\
= &\int \biggl\{ \!\biggl( \xi +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}x} \zeta \biggr) {\rm d}x +\biggl( \eta +\frac{{\rm d}z}{{\rm d}y} \zeta \biggr) {\rm d}y \biggr\}
\end{aligned} )]
이것을 (2)에 대입하면
[math( \displaystyle \int \xi dx + \eta dy = \iint \left( \frac{d \xi}{d y} - \frac{d \eta}{dx} \right) dxdy )]이므로
[math( \displaystyle \int \begin{Bmatrix} \displaystyle \left( \xi + \frac{d z}{d x} \zeta \right)dx + \left( \eta + \frac{d z}{dy} \zeta \right)dy \end{Bmatrix} = \displaystyle \iint \begin{Bmatrix} \frac{d \left( \xi + \frac{d z}{d x} \zeta \right)}{d y} - \frac{d \left( \eta + \frac{d z}{dy} \zeta \right) }{dx} \end{Bmatrix} dxdy )]
(1)을 [math( \xi , \eta , \zeta )]에 대입하면
[math( \displaystyle \frac{d \square}{d x} = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial \square}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial x} + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial x}1 + \dfrac{\partial \square}{\partial x}0 + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial x} + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} \right) )]
[math( \displaystyle \frac{d \square}{d y} = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y} + \dfrac{\partial \square}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial y} \right) = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial x}0 + \dfrac{\partial \square}{\partial y}1 + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = \left( \dfrac{\partial \square}{\partial y} + \dfrac{\partial \square}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial y} \right) )]
[math( \displaystyle \frac{d \left( \xi + \frac{d z}{d x} \zeta \right)}{d y} = \left( \frac{d \xi}{d y} + \frac{d \xi}{d z} \frac{d z}{d y} \right) + \frac{d z}{d y}\left(\frac{d \zeta}{d y} + \frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d x}\right)+ \frac{d^2 z}{dx dy} \zeta )]
[math( \displaystyle {} = \frac{d \xi}{d y} + \frac{d \xi}{d z} \frac{d z}{d y} + \frac{d \zeta}{d y} \frac{d z}{d x}+ \frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d x}\frac{d z}{d y}+ \frac{d^2 z}{dx dy}\zeta )]
[math( \displaystyle \frac{d \left( \eta + \frac{d z}{dy} \zeta \right) }{dx} = \left( \frac{d \eta}{d x} + \frac{d \eta}{d z} \frac{d z}{d x} \right) + \frac{d z}{d x} \left( \frac{d \zeta}{d x} + \frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d y} \right) + \frac{d^2 z}{dy dx} \zeta )]
[math( \displaystyle = \frac{d \eta}{d x} + \frac{d \eta}{d z} \frac{d z}{d x} + \frac{d \zeta}{d x} \frac{d z}{d y}+ \frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d y}\frac{d z}{d x}+ \frac{d^2 z}{dy dx} \zeta )]
따라서
[math( \displaystyle \iint \begin{Bmatrix} \displaystyle \frac{d \left( \xi + \frac{d z}{d x} \zeta \right)}{d y} - \frac{d \left( \eta + \frac{d z}{dy} \zeta \right) }{dx} \end{Bmatrix} dxdy )]
[math( = \displaystyle \iint \begin{Bmatrix} \displaystyle \left( \frac{d \xi}{d y} + \frac{d \xi}{d z} \frac{d z}{d y} + \frac{d \zeta}{d y} \frac{d z}{d x}+ \cancel{\frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d x}\frac{d z}{d y}}+ \cancel{\frac{d^2 z}{dx dy}\zeta} \right)- \left( \frac{d \eta}{d x} + \frac{d \eta}{d z} \frac{d z}{d x} + \frac{d \zeta}{d x} \frac{d z}{d y}+ \cancel{\frac{d \zeta}{d z} \frac{d z}{d y}\frac{d z}{d x}}+ \cancel{\frac{d^2 z}{dy dx} \zeta} \right) \end{Bmatrix} dxdy )]
[math( = \displaystyle \iint \begin{Bmatrix} \displaystyle \left( \frac{d \xi}{d y} - \frac{d \eta}{d x} \right)+\left( \frac{d \zeta}{d y} - \frac{d \eta}{d z} \right)\frac{d z}{d x} + \left( \frac{d \xi}{d z} - \frac{d \zeta}{d x}\right)\frac{d z}{d y} \end{Bmatrix} dxdy )]
따라서
[math( \displaystyle \int \left( \xi dx + \eta dy + \zeta dz \right) = \displaystyle \iint \begin{Bmatrix} \displaystyle \left( \frac{d \xi}{d y} - \frac{d \eta}{d x} \right)+\left( \frac{d \zeta}{d y} - \frac{d \eta}{d z} \right)\frac{d z}{d x} + \left( \frac{d \xi}{d z} - \frac{d \zeta}{d x}\right)\frac{d z}{d y} \end{Bmatrix} dxdy )]이고
[math(\begin{Bmatrix} \displaystyle \left( \frac{d \xi}{d y} - \frac{d \eta}{d x} \right)+\left( \frac{d \zeta}{d y} - \frac{d \eta}{d z} \right)\frac{d z}{d x} + \left( \frac{d \xi}{d z} - \frac{d \zeta}{d x}\right)\frac{d z}{d y} \end{Bmatrix} = \nabla \times S (curl \; S) \;,\, dxdy = dA )]
[math( \displaystyle \int_{\partial S} S \cdot dC = \iint_{S} \left( \nabla \times S \right) \cdot dA )]
회전(curl)과 발산(divergence)으로부터 스토크스 정리를 조사할수있다.
4. 같이 보기
- 미적분의 기본정리: 2차원 다양체 [math(X)]상에서의 1-형식에 대한 스토크스 정리이다.
- 발산 정리: 마찬가지로 3차원 다양체, 4차원 다양체 상에서의 각각 2-형식, 3-형식에 대한 스토크스 정리의 특수한 경우이다. 특히 3차원 다양체 상에서의 2-형식의 미분형식으로 회전, 발산을 선택할 수 있고, 이를 각각 그린 정리, 스토크스 정리로 대부분 배우고 있다. 또한 4차원 다양체 상에서의 3-형식에 대한 삼중적분으로 계산하는 정리를, 가우스의 발산정리라는 이름으로 대학수학 강의시간에 들을 수 있다.
- 스토크스 법칙
[1] 조용승, 「미분위상수학」, 경문사(2013), p.161-162.[2] 선적분 할 때 반드시 시계 반대 방향으로 적분해야 한다. 시계 방향으로 적분하면 부호가 바뀐다.[증명1] Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, Preisschrift (공)저: Hermann Hankel §7 ,P34 https://books.google.co.kr/books/about/Zur_allgemeinen_Theorie_der_Bewegung_der.html?id=lHjRWuyMBSUC&redir_esc=y[증명2] Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL https://www.mecmath.net/[증명3] The History of Stokes' Theorem, Author(s): Victor J. Katz, Source: Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156, Published by: Mathematical Association of America, Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2690275 Accessed: 09-01-2017 23:04 UTC https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_17/history of stokes thm.pdf