1. 개요
해밀턴의 원리(Hamilton's principle)는 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton; 1805-1865)이 1834년에 만든 고전역학의 원리로, 해밀턴의 변분 원리 또는 최소 작용 원리(principle of least action 또는 stationary-action principle) 또는 그냥 줄여서 액션 프린시플(action principle)라고도 한다. 내용은 다음과 같다.Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and potential energies.
운동하는 입자들로 이루어진 어떠한 계가 따를 수 있는 수많은 경로 중에 실제로 자연이 선택하는 경로는 액션을 최소화시키는 경로이다.
운동하는 입자들로 이루어진 어떠한 계가 따를 수 있는 수많은 경로 중에 실제로 자연이 선택하는 경로는 액션을 최소화시키는 경로이다.
2. 역사
역사적으로 물리학에서는 다양한 최소화 원리(Minimal principle)가 있었다. 최소의 원리는, 자연은 항상 어떤 물리량을 최소가 되게 만들기를 좋아한다는 것이다. 최소화 원리의 시초가 된 것은 2세기에 헤론이 다음 법칙을 발견한 것이다.빛이 한 점에서 다른 점으로 거울에 반사되었을 때, 자연은 항상 광선의 길이를 최소화한다.
이를 통해서 반사의 법칙을 알아낼 수 있었다. (거울 안에 비친 상을 생각해 보면 바로 알 수 있다.)페르마는 1657년에 이 법칙을 빛의 굴절에도 적용될 수 있도록 업그레이드 시켰다. 자연은 단순한 경로의 길이가 아니라, 시간을 최소화하는 경로를 따른다는 페르마의 원리(최소 시간의 법칙)이다.
빛이 한 점에서 다른 점으로 갈 때, 자연은 항상 이동 시간을 최소화한다.
그리고 이를 통해서 굴절의 법칙(스넬의 법칙)을 유도할 수 있다.해밀턴의 원리도 이러한 최소화 원리의 한 종류이다. 그런데 최소화하는 물리량은 뜬금없지만 액션이라는 것이다. 사실 이 원리를 처음 만든 것은 프랑스의 모페르튀이(Maupertuis)라는 사람이다. 근데 이 사람이 만든 액션의 개념은 좀 애매했고 신학적인 부분도 있어서 좀 어설펐다. 하지만 라그랑주 역학이 만들어지고 해밀턴이 다음과 같은 최종 버전을 발표하게 된다.
물체가 어떤 경로로 움직이더라도, 자연은 항상 액션을 최소화한다.
이건 상당히 충격적인 결과이다. 물체가 원형으로 가거나 직선으로 가거나 느리게 가거나 빠르게 가거나에 전혀 상관없이 무조건 액션은 최소가 된다는 것이다. 게다가 이는 뉴턴 역학과 완전히 똑같은 결과가 나온다.하지만 뉴턴 역학과 철학적으로 다른 점이 있다. 뉴턴 역학에서는 힘(원인)이 가속도(결과)를 만든다는 인과론적 세계관을 취하지만, 해밀턴의 원리에서는 자연이 액션을 최소화하겠다는 해석의 목적론적 세계관을 취한다. 모페르튀이는 해밀턴의 원리를 보고 '와 하느님이 액션을 최소화시키셔서 자연이 굴러가는 거구나'라고 했는데 이 때문이라고 할 수 있다.
3. 수학적 설명
액션(action)이란 라그랑지언을 시간에 대하여 적분한 것으로,[math(\displaystyle \begin{aligned} S &\equiv \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ L\,dt} \\&= \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ (T-V)\,dt} \end{aligned})]
로 정의한다. 따라서 해밀턴의 원리를 수식으로 쓰면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \delta S = \delta \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ (T-V)\, dt} = 0 \end{aligned})]
여기서 [math( \delta S )]는 변분법에서의 표기법으로, [math( S )]의 변분이라고 한다. 이는 무한소만큼 벗어난 매개변수에 대해 계산한 차이를 나타내는 연산이다. 변분 문서에도 나와 있지만, 이해하기 쉽게 말하자면 [math( \delta S )]는 '실제 운동 경로에서 아주아주아주 살짝 달라진 경로를 만들었을 때 액션 변화'라고 할 수 있다. 이것이 0이라는 것이다. 따라서 해밀턴의 원리 [math( \delta S = 0 )]를 풀어 말하면 다음과 같다.
자연이 선택하는 운동 경로에서 경로를 무한히 작게 변화시킨다고 해도 액션은 변하지 않는다.
그리고 이 말은 액션이 극값을 가진다는 것과 같다.[1] 사실 여기서 '변하지 않는다'라는 것은 무한소의 스케일에서 변하지 않는다는 것이다.이 [math( \delta S = 0)]이라는 방정식은 오일러 방정식으로 풀 수 있는데, 이를 다루는 것이 라그랑주 역학이다.
3.1. 양자역학에서
양자역학과 고전역학의 대응원리를 통해서 해밀턴의 원리를 보일 수 있다.[2]조건부 확률이 관계식
[math(\displaystyle P(a|c)=\sum_b P(a|b)P(b|c))]
을 만족하듯이 양자역학의 확률 진폭 [math( \varphi)]도 비슷한 관계식
[math(\displaystyle \varphi_{ac}=\sum_b \varphi_{ab} \varphi_{bc})]
을 만족한다. 이를 일반화하여 [math( (y,\,0))]으로부터 [math( (x,\,t))]로 가는 모든 경로 [math( x(\tau) )] [math( \left( x(0)=y, x(t)=x \right) )]에 대하여 확률 진폭을 더하면 확률 진폭
[math(\displaystyle \varphi_{(x,\,t;y,\,0)}=\sum_{x(\tau)} \varphi(x(\tau)))]
을 얻을 수 있다. 여기서 [math( \displaystyle \varphi_{(x,\,t;y,\,0)})]는 경로적분을 이용하면 [math( \displaystyle e^{iS/ \hbar})]로 쓸 수 있다. 따라서 확률 진폭은
[math(\displaystyle \varphi(x,t;y,0)=C\sum_{x(\tau)} \exp \left ( \frac{iS \left[ x(\tau) \right] }{\hbar} \right ))]
또는
[math(\displaystyle \varphi(x,t;y,0)=\int^{x,t}_{y,0} dx(\tau) \exp \left ( \frac{iS\left[x(\tau)\right]}{\hbar} \right ))]
로 표현된다.
위 수식의 고전적인 근사를 얻기 위해 정지 위상 근사(stationary phase approximation)를 사용하자. 일단, 다음의 적분을 가정하자.
[math(\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty} e^{ i \lambda f(t) }\,dt )]
[math( \lambda \to \infty)]인 경우 [math( e^{i\lambda f(t)})]의 위상이 급격히 변하기 때문에 위상의 변화가 적고 적분에 주요한 영향을 주는 부분은 [math( f^\prime=0)]인 부분이다. [math( f^\prime=0)]이 되는 점 [math( t_0)]를 가정하고 [math( f)]를 [math( t_0)]근방에서 전개하자.
[math(\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty}dt \exp\left [ i \lambda f(t_0)+\frac{1}{2}i\lambda (t-t_0)^2 f^{\prime\prime}(t_0)+\cdots \right] )]
삼차항이나 고차항은 무시하고 [math( -\infty)]부터 [math( \infty)]까지 [math( t)]로 적분하면
[math(\displaystyle F(\lambda)=\sqrt{\frac{2\pi i}{\lambda f^{\prime\prime}(t_0)}}e^{i\lambda f(t_0)} )]
위의 계산에서 [math( f^{\prime}(t)\ne 0)]인 영역을 버릴 수 있단 사실은 아래와 같이 보일 수 있다. [math( \alpha \le t \le \beta)]인 영역에서 [math( f^{\prime}(t)\ne 0)]라고 하고 변수를 치환하여 [math( z=f(t))]로 두자.
그러면 다음과 같은 적분을 생각 할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} F_{\alpha\beta}&\equiv \int^\beta_\alpha \exp(i\lambda f(t) )dt \\&=\int^{f(\beta)}_{f(\alpha)}\exp(i\lambda z)\phi(z) \,dz \end{aligned} )]
단, [math( \phi(z)={1}/{f^\prime (t)})]이다. [math( \phi)]가 미분가능하다고 할 때 부분적분법을 사용하면
[math(\displaystyle F_{\alpha\beta} = \frac{1}{i\lambda} \left( \biggl[ \phi(z)e^{i\lambda z} \biggr]_{f(\alpha)}^{f(\beta)} - \int^{f(\beta)}_{f(\alpha)} e^{i\lambda z} \frac{d\phi(z)}{dz} \,dz \right) )]
따라서 [math( F_{\alpha\beta})]는 [math( 1/\lambda)]을 따라 0으로 줄어든다. 그렇기 때문에 적분에는 [math( 1/\sqrt{\lambda})]로 줄어드는 [math( f^\prime=0)]인 부분이 지배적인 영향을 준다.
[math( (t-t_0))]의 고차항을 무시할 수 있다는 것을 보이기 위해 다음과 같은 적분을 가정하자.
[math(\displaystyle K(\lambda) \equiv \int^{\infty}_{-\infty}e^{i\lambda t^2 } e^{i\lambda a t^3}e^{i\lambda b t^4}dt )]
[math( \lambda t^3)]와 [math( \lambda t^4)]가 무시할 수 있을 만큼 작다고 가정하자. 이는 뒤에서 다시 보일 것이다. 그러면 [math( K(\lambda))]는 다음과 같이 쓰일 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} K(\lambda) &= \int^{\infty}_{-\infty} e^{i\lambda t^2} \left [ 1+i \lambda a t^3 + i \lambda b t^4 -\frac{1}{2}\lambda^2 a^2 t^6 \right. \\
& \hspace{2cm} \left. -\lambda^2 ab t^7 -\frac{1}{2} \lambda^2 b^2 t^8 + \cdots \right ] \,dt \\
&=\sqrt{\frac{i\pi}{\lambda}}\left [ 1-\frac{3ib}{4\lambda}+\frac{15i}{16}\frac{a^2}{\lambda}-\frac{105}{32}\frac{b^2}{\lambda^2}+\cdots \right ] \end{aligned} )] 계산과정에서 가우스 적분을 사용했다.
[math( \lambda \to \infty)]일때 [math( t)]의 고차항이 첫 번째 항에 비해 0으로 줄어드는 것을 확인 할 수 있다. 더욱이 적분과정에서 [math( t^2)]이 적분값의 [math( 1/\lambda)]수준의 크기로 작용하므로 [math( \lambda t^3)]이나 [math( \lambda t^4)]은 [math( \lambda^{-1/2})]과 [math( \lambda^{-1})] 수준의 크기가 되어 위에서 가정한 바와 같이 [math( \lambda \to \infty)]일 때 무시된다는 사실을 알 수 있다.
위에서 보였듯이 [math( \lambda \to \infty)]으로 변하면서 함수 [math( \exp\left [ i \lambda f(t) \right ])]의 [math( t)]에 대한 적분은 [math( f^\prime (t_0)=0)]인 [math( t_0)]에 의해 결정된다. [math( \lambda=1/\hbar)]가 무한히 커지게 되는 건 고전적 극한 [math( \hbar \to 0)]으로 생각 할 수 있으며 이때 위와 마찬가지로 범함수 [math( e^{ {iS [x(\tau) ] }/{\hbar}} )]를 [math( x(\tau))]에 대해 적분한 확률 진폭의 모습은
[math(\displaystyle \frac{\delta S}{\delta x(\tau)}=0 )]
이 되는 경로 [math( \bar{x}(\tau))]에 의해 결정된다. 정지 위상 근사로 적분을 적절하게 바꿨을 뿐만 아니라 작용이 실제 경로에 대한 작은 경로의 변화에 대해 불변하다는 해밀턴의 원리까지 보이는 효과를 얻은 것이다.
4. 기타
- 이름은 해밀턴의 원리지만 해밀토니언보다는 라그랑지언에 더 관련되어 있는 원리이다.
- 고체역학, 구조역학에서 전체 계가 정지 상태인 경우, 즉 T=0인 경우 최소 전 퍼텐셜 에너지의 원리(minimum total potential energy principle)로 환원된다. 여기서 선형탄성거동, 미소변형이론 등 계가 충분이 간단해질 경우, 카스틸리아노 정리, 단위하중법 등 더욱 간단한 방법으로 환원된다.
5. 힐베르트 버전
힐베르트가 최소작용원리(least action principle)를 사용해 4차원 시공간(spacetime)에서 힐베르트 액션으로 제안한바있다.[3][math( I_{\sf{Hilbert}} = \displaystyle \dfrac{1}{16\pi} \int R(-g)^{1/2}\, {\rm d}^4 x )]
6. 관련 문서
[1] 보통은 극솟값을 가진다.[2] L.S. Schulman, "Techniques and Applications of Path Integration" ( Wiley-Interscience, 1981; re-published by Dover, 2005)[3] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman , P1186 43. SUPERSPACE: ARENA FOR THE DYNAMICS OF GEOMETRY §43.3. THE EINSTEIN-HAMILTON-JACOBI EQUATION (43.6)http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf