최근 수정 시각 : 2024-04-28 20:31:28
Poisson bracket / - 括弧 / Crochet de Poisson
푸아송 괄호는 1809년, 프랑스 수학자 푸아송(Siméon Denis Poisson; 1781-1840)이 제안한 이항 연산이다.
해밀턴 역학의 운동방정식을 표현할 때 유용하다.
푸아송 괄호는 위치 [math(q_{i})]와 운동량 [math(p_{i})]로 정해지는 정규 좌표계 [math((q_{i},\,p_{i}))]와 시간 [math(t)] 위에서의 두 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(g(q_{i},\,p_{i},\,t))]에 대하여 다음과 같이 정의된다. | [math(\begin{aligned} \{ f,\, g\} \equiv \sum_{i} \biggl( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}} \biggr) \end{aligned})] |
여기서 다음이 도출된다.- [math(\{p_{i},\,p_{j} \}=0)]
- [math(\{q_{i},\,q_{j} \}=0)]
- [math(\{q_{i},\,p_{j} \}=\delta_{ij})]
[math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.
다만 양자역학 등지에서는 반교환자와 함께 등장할 수도 있으므로, 푸아송 괄호를 [math(\{ \quad \}_{\sf{PB}})]로 쓰거나 반교환자를 [math([\quad]_{+})]로 쓰기도 한다.
세 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(g(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(h(q_{i},\,p_{i},\,t))]에 대하여 다음이 성립한다.- [math(\{f,\,g\}=-\{g,\,f\})]
- [math(\{ f+g,\,h\}=\{ f,\,h\}+\{ g,\,h\})]
- [math(\{ fg,\,h\}=\{ f,\,h\}g+\{ g,\,h\}f)]
- [math(\{f,\,\{g,\,h \} \}+\{g,\,\{h,\,f \} \}+\{h,\,\{f,\,g \} \}=0)]
교환자 문서를 읽어보면 위의 정의와 성질이 매우 유사하다는 것을 깨달을 수 있다. 실제로 고전역학에서 출발하여 양자역학을 전재하는 다양한 방법 중 푸아송 괄호를 교환자로 치환하는 방법이 있다. 즉, 해밀턴 역학에서 | [math(\begin{aligned} \{q_{i},\,p_{j} \}=\delta_{ij} \end{aligned})] |
이므로 위치 [math(q_{i})]에 대응하는 연산자 [math(\hat{q}_{i})], 운동량 [math(p_{j})]에 대응하는 연산자 [math(\hat{p}_{j})]를 고려했을 때, | [math(\begin{aligned} [\hat{q}_{i},\,\hat{p}_{j}]\overset{?}{=} \delta_{ij} \end{aligned})] |
인지를 고려하는 것이다.
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 에르미트 켤레 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 [math(1 \times 1)] 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전역학에서의 함수 [math(p)]와 [math(q)]는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬이다. | [math(\begin{aligned} [A,\,B]^{\dagger}&=(AB-BA)^{\dagger} \\ &=(AB)^{\dagger}-(BA)^{\dagger} \\ &=B^{\dagger}A^{\dagger}-A^{\dagger}B^{\dagger}\\&=BA-AB \\&=-[A,\,B] \end{aligned})] |
따라서 푸아송 괄호를 이용한 연산에서 교환자를 이용한 연산으로 옮겨가기 위해서는, 교환자 연산의 결과에서 허수단위 [math(i)]를 곱해주어야 한다.
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 [math(p)]와 [math(q)]에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 [math(\mathrm{J\cdot s})] 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 [math( \{q_i,\,p_j\})] 의 단위는 없고, 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원 변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 [math(\mathrm{J\cdot s})] 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 [math(\hbar)], 즉 플랑크 상수이다.
이렇게 양자역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다. 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 [math( A)], [math(B)]와 이들에 각각 대응하는 연산자 [math(\hat{A})] , [math(\hat{B})]에 대하여 다음이 성립한다. | [math(\begin{aligned} \{A,\,B\}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\,\hat{B}] \end{aligned})] |
푸아송 괄호는 해밀턴 역학의 다양한 식을 직관적인 꼴로 나타내기 매우 적합하다.
예를 들어 해밀턴 역학에서 운동 방정식 | [math(\begin{aligned} \dot{q}_{i}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}} \\ -\dot{p}_{i}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} \end{aligned})] |
을 고려해보자. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다. | [math(\begin{aligned} \dot{q}_{i}&=\{q_{i},\,\mathcal{H}\} \\ \dot{p}_{i}&=\{p_{i},\,\mathcal{H}\}\end{aligned})] |
이로써 위치 함수와 시간 함수가 완전히 대칭적 형태를 띔을 알 수 있다.
위에서 더 나아가 일반적인 함수 [math(f)]에 대해서는 | [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d} f}{{\rm d}t}&=\{f,\,\mathcal{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t}\end{aligned})] |
- [증명]
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일반적인 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))]를 고려하자. 이 함수의 전미분을 고려하면 | [math(\begin{aligned} {\rm d}f=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}{\rm d} q_{i}+\frac{\partial f}{\partial p_{i}}{\rm d} p_{i} \biggr)+\frac{\partial f}{\partial t}{\rm d} t \end{aligned})] |
이상에서 | [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{{\rm d} q_{i}}{{\rm d} t}+\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{{\rm d} p_{i}}{{\rm d} t} \biggr)+\frac{\partial f}{\partial t} \end{aligned})] |
해밀토니언의 운동 방정식을 사용하면 | [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}&=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}}\biggr)+\frac{\partial f}{\partial t} \\&=\{f,\,\mathcal{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t} \end{aligned})] |
함수 [math(f)]가 시간에 의존하지 않는다면 우변의 제2항은 0이 되는데, | [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d} f}{{\rm d}t}&=\{f,\,\mathcal{H}\}\end{aligned})] |
여기서 [math(f)]가 시간에 대한 보존량이 되기 위한 조건이 나온다. | [math(\begin{aligned} \{f,\,\mathcal{H}\}=0\end{aligned})] |
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 무지막지하게 중요하다. 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.