1. 개요
rigid body dynamics · 剛體力學강체란 어떤 힘을 받아도 절대로 변형이 일어나지 않는 물체이다. 엄밀하게 정의하면 물체 내 임의의 두 점(입자)간의 거리가 일정 불변인 경우 물체를 강체라고 한다. 실제로 아무리 고체라고 하여도 물체의 구성입자는 고체 내에서 진동하고 있으므로, 실존하지 않는 가상의 도입개념이다. 그럼에도 불구하고 강체 내에서 상호작용하는 힘이 강체의 운동과 무관하거나, 물체의 변형이 직접적인 영향력을 무시할 수 있다면 실생활에서 많은 물체들은 강체로 보고 그 운동에 대해 분석할 수 있다. 강체로 물체를 해석하면 이 운동은 물체에 작용하는 외력만 고려하면 된다. 강체의 운동은 무게중심의 평행이동과 그 무게중심에 대한 회전운동으로 단순화 할 수 있다.
강체 역학은 물체의 변형이 매우 작아서 무시할 수 있는 상황에서 유용하게 쓰이는데, 예를 들어서 당구공이나 야구공, 하드커버 책 등의 운동은 강체역학을 이용하면 적절하게 설명할 수 있지만, 젤리나 고무줄, 고양이 같은 흐느적 거리는 물체는 강체로 보기에 무리가 있으니, 당연히 강체 역학을 적용시킬 수 없다.
2. 강체에서의 좌표계
보통 강체 운동을 분석한다 하면 회전운동을 다루게 되는데, 관성 좌표계[1]에서 강체를 기술하는 방법이 있고, 비관성 좌표계[2]에서 분석을 하는 방법이 있다. 관성 좌표계의 경우 기존의 뉴턴역학을 직접 적용하는데 무리가 없으나 많은 경우 계산이 복잡해지는 단점이 있고 비관성 좌표계의 경우 기존의 뉴턴역학에서는 존재하지 않는 힘인 원심력과 전향력등의 가상의 힘을 고려해야 하지만 몇몇 경우에 대하여 관성 좌표계에 비해 계산이 간단해지기도 한다.3. 선수 지식
3.1. 비관성 좌표계
3.2. 관성 모멘트
3.3. 관성 텐서
3.4. 각운동량
4. 오일러 각
물체의 3차원 회전에 대한 방향을 나타내기 위한 3개의 각이다. 이름과 같이 오일러(Leonhard Euler; 1707-1783)가 최초로 도입하였다.오일러 각은 많은 바리에이션이 있기 때문에 한 가지로 딱 정의되는 것은 아니나, 여기서는 대부분의 고전역학 책이 차용하는 방식으로 설명한다.
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오일러 각은 다음과 같이 세 번의 회전 변환을 거치면서 드러난다. 단계 (a)에서는 우선 관성 좌표계 [math(\mathcal{O}')]계에 대하여 [math(x_{3}')]축을 회전축으로 하여 [math(\phi)]만큼 회전시킨다. 이때, 좌표는 다음과 같이 변할 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x''}=\begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]
단계 (b)에서는 회전된 좌표계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(x_{1})]축을 회전축으로 하여 [math(\theta)] 만큼 회전시킨다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x'}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \mathbf{x} \\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]
마지막 단계 (c)에서는 회전된 좌표계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(x_{3})]축을 회전축으로 하여 [math(\psi)]만큼 회전시킨다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x}&=\begin{bmatrix}\cos{\psi} & \sin{\psi} & 0 \\ -\sin{\psi} & \cos{\psi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'''} \\&=\begin{bmatrix}\cos{\psi} & \sin{\psi} & 0 \\ -\sin{\psi} & \cos{\psi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]
이것이 강체 좌표계 [math(\mathcal{O})]와 관성 좌표계 [math(\mathcal{O}')]의 관계식이 된다. 중간의 행렬을 [math(\pmb{\mathsf{R}})]이라 하면 각 성분은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} R_{11}&=\cos{\psi}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi}\sin{\psi} \\ R_{12}&=\cos{\psi}\sin{\phi}+\cos{\theta}\cos{\phi}\cos{\psi} \\ R_{13}&=\sin{\psi}\sin{\theta} \\ \\ R_{21}&=-\sin{\psi}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\psi} \\ R_{22}&=-\sin{\psi}\sin{\phi}+\cos{\theta}\cos{\phi}\cos{\psi} \\ R_{23}&=\cos{\psi}\sin{\theta} \\\\ R_{31}&=\sin{\theta}\sin{\phi} \\ R_{32}&=-\sin{\theta}\cos{\phi} \\ R_{33}&=\cos{\theta} \end{aligned} )]
이때, 회전의 각속도 벡터는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}=\dot{\phi} \boldsymbol{\hat{\phi}}+\dot{\theta} \boldsymbol{\hat{\theta}} +\dot{\psi} \boldsymbol{\hat{\psi}} \end{aligned} )]
이때, [math(\boldsymbol{\hat{\phi}})], [math(\boldsymbol{\hat{\theta}})], [math(\boldsymbol{\hat{\psi}})][3]의 방향은 각각 관성 좌표계의 [math(x_{3}')]축, 교선, 강체 좌표계의 [math(x_{3})]축 방향과 같다. 여기서 교선이란 [math(x_{1}')]축과 [math(x_{2}')]를 포함하는 평면과 [math(x_{1})]축과 [math(x_{2})]를 포함하는 평면의 교선을 의미한다.
위 각속도를 [math(\mathcal{O})]계의 기저로도 나타낼 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}=\sum_{j=1}^{3} \omega_{j} \mathbf{\hat{x}}_{j} \end{aligned} )]
여기서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \omega_{j}=\dot{\phi}_{j}+\dot{\theta}_{j}+\dot{\psi}_{j} \end{aligned} )]
가 된다. 여기서 각각의 기저를 '짐벌 각(gimbal angle)'이라고 한다.
단순한 기하학적 분석을 통해 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{\phi}_{1}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\sin{\psi} \\ \dot{\phi}_{2}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\cos{\psi} \\ \dot{\phi}_{3}&=\dot{\phi} \cos{\theta} \\ \\ \dot{\theta}_{1}&=\dot{\theta}\cos{\psi} \\\dot{\theta}_{2}&=-\dot{\theta}\sin{\psi} \\ \dot{\theta}_{3}&=0 \\ \\ \dot{\psi}_{1}&=0 \\ \dot{\psi}_{2}&=0 \\ \dot{\psi}_{3}&=\dot{\psi} \end{aligned} )]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \omega_{1}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\sin{\psi}+\dot{\theta}\cos{\psi} \\ \omega_{2}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\cos{\psi}-\dot{\theta}\sin{\psi} \\ \omega_{3}&=\dot{\phi}\cos{\theta}+\dot{\psi} \end{aligned} )]
단점이 있는데, 특정 상황[4]에서 각이 겹쳐 어느 각인 지 알 수 없게 되는 경우가 있다는 것이다.[5] 이 경우는 사원수를 이용해서 각을 표현해야 한다.
5. 오일러 방정식
이제 강체의 회전에 대한 오일러 방정식을 구하자. 임의의 벡터 [math(\mathbf{Q})]에 대해 다음이 성립함을 비관성 좌표계 문서를 통해 논의했다.[math( \displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \right)_{\textsf{fixed}}= \left(\frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d} t} \right)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} )]
이것을 각운동량 [math(\bf{L})]에 적용하면
[math( \displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{L}}{{\rm d}t} \right)_{\textsf{fixed}}= \left(\frac{{\rm d} \mathbf{L}}{{\rm d} t} \right)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} )]
입자계의 운동역학 문서를 통해 각운동량의 시간 변화는 곧 외부 토크와 같음을 논의했다. 즉,
[math( \displaystyle N_{i}=\frac{{\rm d} L_{i}}{{\rm d} t}+\sum_{jk}\varepsilon_{ijk} \omega_{j} L_{k} )]
이다. 여기서 [math(\varepsilon_{ijk})]는 레비-치비타 기호이다.
이제 강체 좌표계의 기저가 관성 주축이라 가정해보자. 이 경우 각운동량과 관성 모멘트의 관계가 다음과 같이 간단해진다.
[math( \displaystyle L_i=I_i \omega_{i} )]
이것을 대입하면 다음과 같은 강체의 회전에 대한 오일러 방정식을 얻는다.
[math( \displaystyle N_{i}=I_i \dot{\omega}_{i}+\sum_{jk}\varepsilon_{ijk} \omega_{j}\omega_{k} I_{k} )]
직접 숫자를 대입해봄으로써 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} N_{1}&=I_1 \dot{\omega}_{1}+\omega_{2}\omega_{3} (I_{3}-I_{2}) \\ N_{2}&=I_2 \dot{\omega}_{2}+\omega_{1}\omega_{3} (I_{1}-I_{3}) \\ N_{3}&=I_3 \dot{\omega}_{3}+\omega_{1}\omega_{2} (I_{2}-I_{1}) \end{aligned} )]
6. 장동
7. 기타
거의 모든 컴퓨터의 물리엔진은 강체 역학을 주로 연산 하며, 거기에 섬유를 표현하는 soft body를 넣지 않거나 조금 넣는 정도에 그친다.항공기의 기본 3축이 오일러 각을 활용한 대표적인 에이다.
[1] 정지한 관찰자의 시점[2] 강체의 입장에서 같이 돌아가는 시점[3] 보통 [math(\boldsymbol{\hat{\phi}})]를 요(yaw), [math(\boldsymbol{\hat{\theta}})]를 피치(pitch), [math(\boldsymbol{\hat{\psi}})]를 롤(roll)이라고 부른다.[4] 지표면에서 수직 방향으로 이동하는 경우로, 우주를 향해 날아가는 우주선이 대표적이다.[5] 이를 '짐벌 잠김(gimbal lock)'이라고 한다.