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동명의 유튜버에 대한 내용은 sum(유튜버) 문서 참고하십시오.1. 개요
series · 級數수열 [math(\{a_{n}\})]의 [math(n)]항까지의 합을 고려해보자. 즉
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n} )]
이것을 부분합이라고 한다. 이제 부분합을 [math(S_{n})]이라 할 때 다음 극한
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k} )]
을 생각할 수 있고, 이것을 급수라 한다. 이 극한 값을 [math(S)]라 하자.
급수의 직관적인 해석은 특정 수열에 대해 지정된 항에서 다른 항의 수를 모두 더하란 뜻으로, 유한 수열과 다르게 특정한 항까지 더하는 개념이 아니라 끝없이 보탠다.
이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.
[math(\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} )]
이때, 다음과 같은 기호를 차용하기도 한다.
위 [math(\{a_{n}\})]의 생성함수를 [math(f(x))]라 하고, 스틸체스 적분 꼴로 표현하면 다음과 같다.
2. 정리
위를 정리하면 아래와 같다.| 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]의 부분합을 [math(S_{n})]이라 할 때, 수열 [math(\{S_{n}\})]이 어떤 실수 [math(S)]로 수렴할 때, 해당 급수는 [math(S)]로 수렴한다고 정의한다. 급수가 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. |
3. 주의점
정의를 보면 알겠지만 급수의 정의는 부분합의 극한값이다. 저 위에 무한히 많은 항을 더한 것 같은 표현은 그저 무한대 표시처럼 관습적인 표현으로 알아두자. 그래서인지, 급수를 처음 배울 때는 많은 수학 선생님들이 첫 번째 표현을 많이 강조한다.무한 번 더하는 것과 무한급수가 다르다는 것은 리만 재배열 정리라는 걸 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 단순하게 말해서, 조건 수렴하는 급수는 덧셈과 달리 교환법칙이 안 먹힌다는 이야기다.[4]
또다른 예시로는 유리수의 덧셈에 대한 닫힘을 들 수 있다. 각 항이 유리수라면 부분합도 항상 유리수이지만, 부분합의 극한인 급수는 무리수일 수 있다. 사실, 이렇게 수열의 극한을 통해 유리수로부터 실수를 구성하기도 한다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}\frac\pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \\&= 1 -\frac13 +\frac15 -\frac17 +\frac19 -\frac1{11} +\cdots \end{aligned}
)]
4. 성질
- [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \pm b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n )]
- [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ca_{n}=c\sum_{n=1}^{\infty}a_n )] (단, [math(c)]는 상수)
이는 합의 기호 및 극한의 성질로부터 유도할 수 있다.
5. 급수의 수렴과 수열의 극한과의 관계
| 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]이 수렴하면 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=0 )]이다. |
주의해야할 것은 이 정리의 역은 성립하지 않는다는 점이다. 반례는 [math(\{1/n\})]으로
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 )]
이지만 급수
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty )]
로 수렴하지 않음이 알려져있다.
보통 증명을 할 때는 이것의 대우를 사용한다.
| [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0 )]이면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]은 발산한다. |
증명은 아래와 같다. 급수가 수렴하므로 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n}=S)]이며, [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n-1}=S)] 또한 성립한다.
수열 문서로 부터
[math(\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1} )]
이므로 극한을 취하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_{n }&=\lim_{n \to \infty} (S_{n}-S_{n-1}) \\&=\lim_{n \to \infty} S_n -\lim_{n \to \infty} S_{n-1} \\&=S-S \\&=0 \end{aligned} )]
이 방법을 통해 급수의 수렴 여부를 판단하는 것을 일반항 판정법(발산 판정법)이라 한다.
6. 절대 수렴과 조건 수렴
| 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|)]이 수렴하면 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]은 절대 수렴한다고 하며, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]은 수렴하나 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|)]이 수렴하지 않으면 조건 수렴한다고 한다.[5] |
이때 다음이 성힙한다.
| 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|)]이 수렴하면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]도 수렴한다. 즉, 절대 수렴하는 급수는 수렴한다. |
이것의 증명은 아래와 같다.
| [증명] 모든 [math(a_{n})]에 대하여 [math(\displaystyle -|a_{n}| \leq a_n \leq |a_{n}| )] 이므로 [math(\displaystyle -\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| \leq \sum_{n=1}^{\infty}a_n \leq\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| )] 이다. 이때, 급수 [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|)]이 수렴하면, [math(\displaystyle -\small{\textsf{(convergence value)}} \leq \sum_{n=1}^{\infty}a_n \leq\small{\textsf{(convergence value)}} )] 형태가 돼, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n)] 또한 수렴할 수밖에 없다.[6] |
좀더 심화적인 증명은 아래와 같다.
| [심화 증명] 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n})]이 수렴하면, 코시 판정법에 따라 임의의 [math(\varepsilon >0)]에 대하여 [math(\displaystyle \forall n \geq N,\, \forall p \in {\mathbb{N} : \quad \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| < \varepsilon})] 를 만족시키는 자연수 [math(N)]이 존재한다. [math(\displaystyle \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|)] 이므로 또 다시 코시 판정법에 의해 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)] 또한 수렴한다. |
절댓값 대신 택시 노름같은 임의의 노름을 사용해도 성립한다. 또한 이는 실수와 같은 바나흐 공간에서만 성립하는 성질이다. 즉, 유리수에선 성립하지 않을 수가 있다.
7. 급수의 수렴 판정
급수는 수학 및 물리학 등의 학문에서 중요하게 다뤄지는 토픽 중 하나이다.이제 관심사는 "과연 이 급수가 수렴을 할 것인가"를 판단하는 것이다. 우선 어떠한 급수를 구해놨다고 하더라도 발산하면, 특히 물리학에서는[7], 그 급수는 별다른 의미를 가지지 못하는 것이 되기 때문이다.
그렇기 때문에 이 급수의 수렴 판정은 중요한 과제 중 하나였기 때문에 많은 수학자들에 의해서 연구됐고, 그 성과 또한 많이 나와있다. 여기서는 그 중 일부를 수록하였다.
7.1. 코시 판정법
| 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]이 수렴하면, 임의의 [math(\varepsilon >0)]에 대하여 [math(\displaystyle \begin{aligned} \forall n \geq N, \ \forall p \in {\mathbb{N}} : \quad \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}\right|<\varepsilon \end{aligned} )] 를 만족하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. 이 명제의 역 또한 성립한다. |
코시의 이 기준은, 실수상에서 수렴성과 동치이다.[8] 그리고 수렴성의 정의와는 달리, 구체적인 수렴값은 몰라도 좋다. 때문에, 해석학과 (거리가 주어진) 위상공간에서 아주 중요한 역할을 한다. 코시의 기준을 만족하는 수열을 코시 수열 또는 기본 수열이라 부르고, 코시 수열이 수렴하는 공간을 "완비적이다" 또는 "완비성을 가졌다."고 표현한다.[9]
또한, 코시 응집 판정법과는 별개다.
| [증명] 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]이 수렵한다고 가정하면 부분합 [math(S_n)]은 코시 수열이어야 한다. 즉, 어떤 자연수 [math(N)]에 대하여 [math(\displaystyle \begin{aligned} \forall n ,\, \forall m \geq N : \quad \left|S_m-S_n\right| < \varepsilon \end{aligned} )] 가 성립한다. 이는 곧 코시 판정법이 성립함을 의미한다. 역으로 코시 판정법이 성립한다 가정하면, 부분합 [math(S_{n})]이 코시 수열임을 의미하고, 이것은 곧 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]이 수렵함을 의미한다. |
7.2. 비교 판정법
| 어떤 자연수 [math(N)]에 대하여 [math(\forall n \geq N:\quad 0<a_{n} \leq b_{n})] 이라 가정하자. 이때, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n})]이 수렴하면, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]도 수렴한다. |
보통 'DCT(direct comparison test)'라 부른다.
| [증명] 위 코시 판정법에 의해 [math(N=1)]일 때를 증명하여도 충분하다. [math(\begin{aligned} A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} \\ B_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k} \end{aligned})] 라 하자. 항 [math(a_k)], [math(b_k)]가 모두 양수이므로 수열 [math(\{A_n\})], [math(\{B_n\})]은 증가한다. 또한, [math(a_k \leq b_k)]이므로 [math(\forall n \geq N:\quad 0<A_{n} \leq B_n \leq b_{n})] 이다. 이제 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n})]이 발산한다고 가정하면, [math(\{A_n\})]도 발산하고, 이것은 곧 그 수열이 유계가 아님을 의미한다. 따라서 [math(\left\{B_n\right\})]도 유계가 아니고, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]도 발산한다. |
7.2.1. 따름 정리 1
| 자연수 [math(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)]에 대하여 [math(a_{n}>0)], [math(b_{n}>0)]이고 두 수열 [math( \biggl\{\dfrac{a_{n}}{b_{n}} \biggr\})], [math( \quad \biggl\{\dfrac{b_{n}}{a_{n}} \biggr\})] 이 유계이면, 두 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)], [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. |
| [증명] [math( \{{a_{n}}/{b_{n}}\})], [math( \{{b_{n}}/{a_{n}}\})]이 유계이므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math( \displaystyle \dfrac{a_n}{b_n}\leq M_{1} )],[math(\quad \displaystyle \dfrac{b_n}{a_n}\leq M_{2} )] 가 성립하는 양수 [math(M_1)], [math(M_2)]가 존재한다. 따라서 [math( 0<\dfrac{1}{M_1} \leq \dfrac{b_n}{a_n} \leq M_2 )] 이고, 곧 [math( 0<\dfrac{a_n}{M_1} \leq b_{n} \leq M_2 a_{n} )] 이다. 따라서 비교 판정법에 의해 위 명제는 참이다. |
7.2.2. 따름 정리 2: 극한 비교 판정법
| 자연수 [math(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)]에 대하여 [math(a_{n}>0)], [math(b_{n}>0)]이고 두 수열 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} )] 이 양수로서 존재하면, 두 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)], [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n)]은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. |
이 판정법은 'LCT(limit comparison test)'라 부르기도 한다.
이 판정법은 위 따름 정리 1의 특별한 경우이다. 다음의 추가 정리 2개는 각각 LCT의 사용 범위를 넓히는 역할을 한다.
[추가 정리]
|
증명은 아래와 같다.
[증명]
|
7.3. 적분 판정법
적분 판정법의 초등적인 아이디어를 위의 시각 자료를 통해 알아보자.
구간 [math([1,\,\infty) )]에서 연속이며, 감소하는 함수 [math(y=f(x))]를 고려하자. 또한 이 함수의 치역은 양수이다. (a)와 같이 밑변의 길이가 [math(1)]이고, 자연수 [math(n)]에 대하여 높이가 [math(f(n)=a_{n})]인 직사각형들을 고려하자.
이때,
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n}+\cdots )]
은 곧 이 무한한 개수의 직사각형의 넓이의 합이 될 것이다.
한편, (b)와 같이 [math(y=f(x))]와 [math(x=1)]과 [math(x=\infty)], [math(x)]축으로 둘러싸인 넓이 [math(S)]는 이상 적분으로 표기할 수 있으며, 아래와 같다.
[math(\displaystyle S=\int_{1}^{\infty} f(x)\,{\rm d}x )]
그런데, 그림에서 볼 수 있듯
[math(\displaystyle 0< \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} < S )]
이므로 [math(S)]가 수렴한다면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} )]은 수렴할 수밖에 없다.
따라서 급수의 수렴 여부를 판단하는 것은 아래의 이상 적분
[math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,{\rm d}x )]
의 수렴 여부를 판단하는 것으로 충분하다.
이상을 심화적으로 알아보자.
수열 [math(\{a_n\})]의 항이
|
| [증명] 모든 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(\forall x\in[k,\,k+1]:\quad a_{k+1} \le f(x) \le a_k)] 이므로 [math(\displaystyle a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f(x)\,{\rm d}x \leq a_{k} )] 이다. 만약 [math(n \geq 2)]이면, [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)\,{\rm d}x \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_{k} )] 이고, 곧 [math(\displaystyle S_{n}-a_{1} \leq \int_{1}^{n} f(x)\,{\rm d}x \leq S_{n-1} )] 이다. 각 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(a_{k})]이므로 수열 [math(\{S_n\})]은 단조 증가한다. 비슷하게, [math(f(x)>0)], [math(x \in [1,\,\infty))]이므로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n} f(x)\,{\rm d}x )] 또한 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n})]이 수렴한다고 가정하자. 그럼 [math(\displaystyle \int_{1}^{n} f(x)\,{\rm d}x )] 는 유계이고 따라서 수렴한다. 역으로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n} f(x)\,{\rm d}x )] 가 수렴하면, [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n})]는 유계이고, 수렴한다.[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_n)]은 유계이고, 따라서 수렴한다.[11] |
7.3.1. p-급수 판정법
급수 [math(displaystyle sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p})]에 대해,
|
적분 판정법의 특별한 경우이다.[12] 지수(power)를 보고 판별하기 때문에 p-급수라는 이름이 붙었다.
7.4. 비율 판정법
| [math(a_n)]이 양수이고, [math(\displaystyle \begin{aligned} \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}&=R \\ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}&=r \end{aligned} )] 라 하면,
([math(R=1)], [math(r=1)]인 경우는 수렴인지 발산인지 판정 불가하다.[13]) |
달랑베르가 처음 공식화시켰다고 알려져 있으나 '달랑베르 비율 판정법' 또는 '코시 비율 판정법'이라고도 불린다. 근 판정법과 상당히 비슷하다. 영어로 ratio test라고 불린다.
[증명]
|
상극한과 하극한을 구하는 것은 까다롭기 때문에, 보통은 아래의 따름정리를 사용하게 된다. 사실, 수학과가 아니면 처음부터 비율판정법을 아래의 것으로 배운다.
7.4.1. 따름정리
| 다음을 가정하자. [math(\forall k \in {\mathbb{N}} : \quad a_k>0 ,\quad \displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = l)] 이때,
|
주의할 점은, [math(l=1)]일 때는 판별을 할 수 없다는 것이다. 그럴 때는 다른 판별법을 사용해야 한다.
7.5. 근 판정법
모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_{n}>0)]이고, [math(\displaystyle\limsup_{n \to \infty} \sqrt [n] {a_n} = R)]일 때,
|
근 판정법은 멱급수의 수렴 반지름을 구하는 데 사용할 수 있다.
[증명]
|
비율 판정법의 증명방법과 매우 유사하다. 상극한, 하극한의 성질에 의해
[math(\displaystyle \begin{aligned} \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} &\leq \liminf_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \\&\leq \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} \\&\leq \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{aligned} )] |
7.5.1. 따름정리
[math(\forall k \in {\mathbb{N}} : \quad a_k>0 )], [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}\sqrt [k]{a_{k}} = l)]이라 가정하자.
|
비율 판정법와 마찬가지로 [math(l=1)]인 경우에는 사용할 수 없다.
7.6. 라베 판정법
| 수열 [math(\displaystyle a_n)]에 대하여 [math(\displaystyle a_n \neq 0)]일 때, [math(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\left( n \left| 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \right)= R,\quad \liminf_{n\to\infty} \left( n \left| 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \right) = r)] 이라 하면
|
비율 판정법, 근 판정법에서 극한값이 1이 나올 때, 사용한다.
7.7. 교대급수 판정법
| 수열 [math(\{a_{n}\})]이 단조 감소 수열이고, [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=0)]이면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}a_{n})]은 수렴한다. |
줄여서 'AST(alternating series test)'라 부른다.
증명은 아래와 같다.
| [증명] [math(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k)]라 하자. 그러면 [math(\displaystyle \begin{aligned} S_{2n}-S_{2(n-1)} &= S_{2n}-S_{2n-2} \\ &= a_{2n}-a_{2n-1} \\ &\le 0 \end{aligned} )] 이므로 수열 [math(\{S_{2n}\})]은 단조 감소 수열이다. 또한 [math(\displaystyle \begin{aligned} S_{2n} &= -a_1 +a_2 -a_3 +a_4 -a_5 +\cdots +a_{2n-2} -a_{2n-1} +a_{2n} \\ &= -a_1 +(a_2-a_3) +(a_4-a_5) +\cdots +(a_{2n-2}-a_{2n-1}) +a_{2n} \\ &\geq -a_1 \end{aligned} )] 이므로 [math(\{S_{2n}\})]는 아래로 유계이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 [math(\{S_{2n}\})]은 수렴한다. 이제 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n} = S)]라 하자. 그러면 [math(S_{2n-1} = S_{2n}-a_{2n})] 이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S_{2n-1} &= \lim_{n\to\infty} S_{2n} -\lim_{n\to\infty} a_{2n} \\&= S-0 \\&= S \end{aligned})] 이다. 따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = S)]이다. 즉, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n)]는 수렴한다. |
7.8. 디리클레 판정법
| 실 수열 [math(\{a_{n}\})]이 단조 수열이고, [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0)]이라 하자. 또 복소 수열 [math(\{b_n\})]에 대하여 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k} )]가 유계인 급수라 하자. 그러면 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} )]은 수렴한다. |
교대급수 판정법을 일반화한 판정법이다. 디리클레 판정법에서 [math(b_{k} = (-1)^k)]으로 두면 교대급수 판정법을 얻을 수 있다. 디리클레 급수와 연관되어 있다.[15]
7.9. 아벨 판정법
두 수열 [math(\{a_{n}\})], [math(\{b_{n}\})]에 대하여 다음의 조건을 만족시킨다고 하자.
|
7.10. 코시 응집 판정법
| 음이 아닌 단조 감소 실 수열 [math(\{ a_{n}\})]에 대하여, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n})]과 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}})]의 수렴성은 동치이다. |
| [증명] [math(\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = \frac{1}{2}(a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n}) = \frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n})] 가 성립한다.
|
8. 관련 문서
[1] [math(n)]이 자연수가 되는 항을 모두 더하라는 뜻. 이렇게 시그마에 아래에만 무언가가 쓰여 있을 경우, 그곳에 쓰여 있는 명제를 만족하는 모든 [math(n)]에 대해서 더하라는 의미이다. 다만, 절대 수렴하지 않는 급수에 대해서는 리만 재배열 정리 때문에 이런 표기가 잘 정의되지 않는다.[2] 첫째 항이 [math(n=1)]인 급수는 이렇게 시그마의 위·아래를 생략하고 쓰기도 한다.[A] 여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다.[4] 유한 번은 교환법칙은 먹힌다. 유한 번 교환해서 더하는 순서를 원래대로 바꿀 수 없으면 값이 달라질 수 있다.[5] 무한차원 벡터공간에서는 수렴하지만 조건수렴하지도 절대수렴하지도 않는 반례가 존재한다. 이 경우 조건수렴은 항의 순서라는 조건에 따라 수렴값이 달라지는 급수로 정의된다.[6] 복소수나 벡터일 경우에는 각 성분별로 분리해서 수렴 여부를 검증하면 된다.[7] 다만 양자역학까지 들어가게되면 물리학에서도 재규격화라는 걸 동원해서 발산하는 급수를 어찌저찌 실수처럼 다룰 수는 있게 된다. 악명높은 1+2+3...=-1/12를 연습문제로 내놓는 양자역학 교과서도 있을 정도[8] 수렴하면 코시의 기준을 만족하지만, 그렇지 않은 공간도 있다.[9] 실수와 복소수 공간은 완비적이지만 유리수 공간은 그렇지 않다. 반례로 [math(\biggl\langle\dfrac{\lfloor 10^n \sqrt2 \rfloor}{10^n} \biggr\rangle)][A]은 유리 수열로서 코시 수열이지만, 그 극한은 [math(\sqrt{2})]로 유리수가 아니다. 완비가 아닌 공간을 완비로 만드는 과정을 "완비화"라 부른다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 공간이다.[10] 극한값의 성질을 사용한다. 수열의 극한값이 0이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 작아야 한다. 반대로 극한값이 무한대이면 어느 시점에서 모든 항이 1보다는 커야한다.[11] 위로 유계이며 단조 증가인 수열은 수렴한다. 수열의 극한의 정의를 이용해 쉽게 보일 수 있다.[12] 코시 응집 판정법으로도 간단하게 증명가능하다.[13] 즉, 수열이 발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.[14] [math(R=1)] 경우, 수렴하는 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 급수 [math(\left\langle1\right\rangle)]의 합은 발산하지만, [math(\langle n^{-2}\rangle)]의 합은 수렴한다.[15] 디리클레 급수(Dirichlet series)란 정수론적 함수 [math(f)]에 대하여, 실수 [math(s>1)]이 주어졌을 때 [math(\displaystyle F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(s)}{n^s})]의 꼴로 주어지는 급수다.