1. 정의
1.1. 연결 공간
먼저 비연결 공간(disconnected space)을 정의하고, 비연결이 아닌 공간을 연결 공간(connected space)이라 한다.위상 공간 [math(X)]의 임의의 공집합이 아닌 열린집합 [math(A, B)]에 대하여, [math( X= A\cup B )]이고 [math( A\cap B = \emptyset )]이면 [math(\{ A, B\})]를 [math(X)]의 분리(separation)라 하고 [math(X)]의 분리 [math(\{ A, B\})]가 존재하면 [math(X)]는 비연결 공간(disconnected space)이라 한다.
위상 공간 [math(X)]가 연결(connected)이란 [math(X)]의 분리 [math(\{ A, B\})]가 존재하지 않는 경우를 말한다. 이러한 공간을 연결 공간(connected space)이라 한다. 보통위상이 주어진 실수공간에서는 연결공간성은 단일 원소 집합이 아닌 실수상의 부분집합이 단일 구간[1]임이 동치다.
1.2. 경로 연결 공간
경로연결공간(path-connected space)는 모든 점이 경로로 연결된 공간이다. 이를 수학적으로 서술하면 다음과 같다.위상 공간 [math(X)]상의 임의의 두 점 [math(p, q)]에 대하여 [math(\gamma(0)=p, \gamma(1)=q)]를 만족하는 연속함수 [math(\gamma\colon[0, 1]\to X)]가 존재할 때, [math(X)]를 경로연결공간(path-connected space)이라 한다.
쉽게 말해, 아무 점을 두 개 잡았을 때 한 점에서 출발해 다른 한 점으로 도착하는 연속함수를 항상 잡을 수 있다는 뜻이다. 이것이 불가능한 공간을 비경로연결공간(path-disconnected space)이라고 한다.
위 경로연결공간의 정의에서 나와있듯이, 두 점 [math(p, q\in X)]에 대하여 [math(\gamma(0)=p, \gamma(1)=q)]를 만족하는 연속함수 [math(\gamma\colon[0, 1]\to X)]를 [math(p)]와 [math(q)] 사이의 경로(path)라고 한다.
자명하게, 경로연결이면 연결이다. 증명은 가정법을 이용, f-1(U), f-1(V)를 잡고, [0,1]이 연결공간인걸 이용하면 된다.
반면, 연결공간이 항상 경로연결공간인 것은 아니다. 좋은 반례로 위상수학자의 사인곡선이 있다.
일반적으로, 다양체에서는 경로연결과 연결이 동치라는 것이 알려져 있다.
1.3. 연결성분
위상공간 [math(X)]의 점 [math(x)]를 포함하는 가장 큰 연결부분공간을 [math(x)]의 연결성분(component)이라 한다.1.4. 경로연결성분
위상공간 [math(X)]의 점 [math(x)]와 경로로 연결할 수 있는 모든 점들의 집합을 [math(x)]의 경로연결성분(path-component)이라 한다.1.5. 준연결성분
위상공간 [math(X)]의 점 [math(x)]를 원소로 갖는 모든 닫히고 열린 집합(clopen set)의 교집합을 [math(x)]의 준연결성분(quasicomponent)이라 한다.1.6. 완전 비연결 공간
위상공간 [math(X)]의 모든 연결성분이 원소가 하나뿐인 집합(singleton set)일 때, [math(X)]를 완전 비연결 공간(totally disconnected space)이라 한다.1.7. 완전 분리 공간
위상공간 [math(X)]의 모든 준연결성분이 원소가 하나뿐인 집합일 때, [math(X)]를 완전 분리 공간(totally separated space)이라 한다.2. 연결성과 동치인 명제
다음은 연결성과 동치인 명제들을 소개하겠다.위상공간 [math(X)]에 대해 다음 명제는 모두 동치이다.
(1) [math(X)]는 연결 공간이다.
(2) [math(X)]의 열린닫힌집합은 [math(\emptyset,X)]뿐이다.
(3) [math(X)]는 자기자신 [math(X)]를 연결 성분으로 갖는다.
(4) 이산 위상이 부여된 집합 [math(\{ a,b \})]에 대해 연속함수 [math(f: X \rightarrow \{ a,b \})]가 존재하지 않는다.
(2) [math(X)]의 열린닫힌집합은 [math(\emptyset,X)]뿐이다.
(3) [math(X)]는 자기자신 [math(X)]를 연결 성분으로 갖는다.
(4) 이산 위상이 부여된 집합 [math(\{ a,b \})]에 대해 연속함수 [math(f: X \rightarrow \{ a,b \})]가 존재하지 않는다.
증명) 추가예정
3. 국소적 연결 공간
위상공간 [math( (X,\mathcal{T}) )]에 대하여, [math(X)]의 모든 점이 항상 연결부분공간인 근방을 지닐 때 국소 연결 공간(Locally Connected Space)이라고 부른다.
즉, 위상공간 [math(\left(X, \mathcal{T}\right))]이 주어졌을 때, 임의의 [math(x \in X)]에 대하여 [math(x \in Y \subset X)]인 근방 Y가 X의 부분공간으로서 위상을 주었을 때 연결공간이 될 수 있다는 뜻이다.
4. 단순 연결
단순연결공간(simply connected space)는 길연결보다 강한 연결의 개념이며 주로 다음과 같이 정의된다.
위상 공간 [math(X)] 의 기본군이 자명군일때 이를 단순연결공간(simply connected space)이라 한다.
더 자세히 들어가려면 연속변형이니 기본군이니 왱알왱알 해야 하지만 조금 직관적으로 설명해 보자면 우리가 경로 연결성을 판단할 때는 두 점을 잇는 곡선을 그릴수 있냐로 판단할 수 있다. 그렇다면 속이 꽉 찬 원판과 그것의 가운데에 구멍이 난 원판을 생각을 해 보자. 둘다 아무 점이나 둘을 찍어 곡선을 연결하는것은 어려운 일이 아닐 것이다. 이제 곡선중 시작점과 끝점이 같은 고리형태의 곡선을 생각해보자. 원판에서는 자연스럽게 시작점으로 끌어 당길 수 있지만 구멍이 나 있는 공간에서 구멍을 감싸는 곡선이라면 구멍이 난 부분을 통과하기 위해서는 들어오기 위해서는 구멍을 빠져나오는 과정이 적어도 한번 필요하다. 그리고 전자의 경우를 단순연결이라 한다.
더 쉽게 말하면 아무 닫힌곡선이든 한점으로 수축가능하다면 그것이 단순연결이라는 것이다.
5. 기타
당연하겠지만 연결성과 연결성분의 수는 그 자체로 위상적 성질로서, 위상동형사상에 의해서 보존되는 위상적 불변 성질에 해당한다. 그렇기 때문에 다차원 도형/그래프가 서로 위상동형인지 아닌지를 판별하는 수단으로서 연결성분을 이용하는 방법도 있다.구체적으로는 다음 정리를 이용할 수 있다.
두 위상공간 [math(X,Y)]에 대해, [math(f: X \rightarrow Y)]가 위상동형사상이라 할 때,
임의의 점 [math(x \in X )]에 대해 [math(X \setminus \{x\} )]의 연결성분 수와 [math(Y \setminus \{f(x)\} )]의 연결성분 수는 서로 같다.
임의의 점 [math(x \in X )]에 대해 [math(X \setminus \{x\} )]의 연결성분 수와 [math(Y \setminus \{f(x)\} )]의 연결성분 수는 서로 같다.
예를 들어서 원과 숫자 8이 위상동형이 아님을 보이는 방법으로서, 원의 임의의 점을 제외한 뒤의 연결성분은 1개지만, 숫자 8의 경우 교차점을 제외한 뒤의 연결성분이 2개임을 보이는 방법이 있다.[2]
그 외에도 다음과 같은 경우를 생각할 수 있다.
| Q. 구간 [math(I=[0,1])]과 1보다 큰 자연수 [math(1 < n)]에 대하여 [math(I)]와 [math(I^n)]이 위상동형이 아니라는 것을 증명하라. |
|
[1] 말 그대로 하나의 구간으로 구성된 구간. 실수상에서는 다음의 9개의 형태가 존재한다. [math(\forall a<b \in \mathbb{R})]에 대하여 [math(\left[a,b\right]\left(a, b\right], \left[a, b\right), \left(a, b\right) \left(-\infty, b\right], \left(-\infty, b\right), \left(a, \infty\right), \left[a, \infty\right), \mathbb{R})][2] 위 정리를 사용하여 구체적으로 말하자면, 만약 원에서 8로 가는 어떤 위상동형사상이 존재한다면 이는 일대일 대응이므로 8의 교차점에 대응하는 원의 어떤 점 [math(a)]가 존재한다. 그러면 위의 정리에 따라 '원에서 [math( a )]를 뺀 공간'과 '8에서 교차점을 뺀 공간'의 연결성분 수가 같아야 하지만, 원에서 아무 점을 뺀 공간의 연결성분 수는 항상 1개, '8에서 교차점을 뺀 공간'의 연결성분 수는 2개이므로 서로 같지 않다. 따라서 위상동형사상은 없어야 하며 원과 8은 위상동형이 아니다.