1. 개요
Trójkąt Sierpińskiego / Sierpiński triangle / Sierpiński 三角形| |
| 시에르핀스키 삼각형의 모습 |
시에르핀스키 삼각형은 폴란드의 수학자 바츠와프 시에르핀스키(Wacław Sierpiński; 1882-1969)가 창작한 프랙털 도형이다. 그의 이름을 따 '시에르핀스키 삼각형'이라고 하며, '시에르핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 영어 발음을 따라 '시어핀스키'라고도 표기한다.
2. 상세
- 1단계: 한 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
- 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
- 이 과정을 무한히 반복한다.
2.1. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로 다음이 성립한다.(정삼각형의 개수)[math(\,\times\,)](한 정삼각형의 넓이)[math(\,=\,)](정삼각형들의 총 넓이)
| 단계 | 정삼각형의 개수 | 한 정삼각형의 넓이 | 정삼각형들의 총 넓이 |
| [math(0)] | [math(1)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] |
| [math(1)] | [math(3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4})] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4})] |
| [math(2)] | [math(3^2)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2)] |
| [math(3)] | [math(3^3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3)] |
| [math(\vdots)] | |||
| [math(n)] | [math(3^n)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n)] |
따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, [math(\infty×0)] 꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.
2.2. 하우스도르프 차원
- 시에르핀스키 삼각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{\ln{3}}{\ln{2}} \simeq 1.585)] }}}