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| 시에르핀스키 사각형의 모습 |
1. 개요
Dywan Sierpińskiego, Sierpinski carpet, Sierpiński 四角形시에르핀스키 사각형 또는 시에르핀스키 카펫은 폴란드의 수학자 바츠와프 시에르핀스키(Wacław Sierpiński, 1882~1969)가 창작한 프랙털 도형이며, 그의 이름을 따 시에르핀스키 사각형이라고 한다. '시에르핀스키 카펫'이라고도 한다.
멩거 스펀지의 2차원 버전이라고 할 수 있다. 멩거 스펀지의 한 면은 정확히 시에르핀스키 사각형이다.
2. 상세
- 1단계: 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가로, 세로를 3등분하여, 9등분하고, 가운데의 조각을 지운다.
- 2단계: 남은 정사각형 8개에 대하여 1단계를 행한다.
- 이후의 단계는 전 단계에 남은 정사각형에 대하여 1단계를 행하면 된다.
2.1. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정사각형을 0단계라 하고, 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'라 하자. 그러면 다음과 같이 된다.| 단계 | 해당 단계에서 제거되는 정사각형 | 해당 단계까지 제거되는 총 넓이 | |
| 한 개의 넓이 | 총 개수 | ||
| [math(0)] | [math(0)] | [math(0)] | [math(1)] |
| [math(1)] | [math(\displaystyle\frac{1}{9})] | [math(1)] | [math(\displaystyle{1-\frac{8}{9}})] |
| [math(2)] | [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^2)] | [math(8)] | [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2})] |
| [math(3)] | [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^3)] | [math(8^2)] | [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^3})] |
| [math(\vdots)] | |||
| [math(n)] | [math(\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^n)] | [math(8^{n-1})] | [math(\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^n})] |
각 단계에서 제거되는 정사각형들은 모두 합동이므로, 정사각형 한 개의 넓이와 총 개수를 곱하면 총 넓이가 된다. 따라서, [math(n)]단계에서 제거되는 총 넓이는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \left(\frac{1}{9}\right)^{n}·8^{n-1}=\left(\frac{8}{9}\right)^{n}·\frac{1}{8})]
이에 따라, 처음부터 [math(\boldsymbol{n})]단계까지 제거되는 총 넓이 [math(\sum S_{n})]을 구할 수 있다. 이는
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sum S_{n}&=\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{8}{9}\right)^{k}·\frac{1}{8}\right] \\&=\frac{1}{8}·\frac{8}{9}·{\cfrac{1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^{n}}{1-\dfrac{8}{9} }} \\& =1-\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned})]
따라서 0단계의 총 넓이 1에서 [math(\sum S_{n})]을 빼면, [math(n)]단계의 총 넓이
[math(S_{n}=1-\sum S_{n}=\left(\dfrac{8}{9}\right)^n)]
해당 단계를 무한히 반복하면,
[math( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=0 )]
이므로 결국 시에르핀스키 사각형은 조작을 무한히 거듭한다면 넓이가 0에 수렴한다.
2.2. 하우스도르프 차원
시에르핀스키 사각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.[math( \displaystyle \log_{3}8 = \frac{\ln{8}}{\ln{3}} \simeq 1.8928)]