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1. 설명
삼각 적분 함수(三角 積分 函數, trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})][1]
이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.
위 그래프에서 보듯 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} )], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.
2. 특징
특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.사인 곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.
둘 다 대칭함수이다. [math(\mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2]
양수 범위에서 [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pi)]에서, [math({\rm Ci}(x))]는 [math(\displaystyle x={\pi}/{2})]에서 최댓값을 갖는다.
다음은 같이 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Si}(x) &= \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1} x^{2r-1}}{(2r-1)\cdot(2r-1)!} \\ \operatorname{Ci}(x) &= -\gamma -\ln x -\sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^r x^{2r}}{2r \cdot (2r)!} \end{aligned} )] |
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
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Wilbraham-Gibbs constant
위에서 언급한 [math({\rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({\rm Si}(\pi))]는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.
저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(\displaystyle {2}/{\pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[4]라는 또 다른 상수가 된다.
3. 관련 문서
[1] 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 [math(\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은
infty라 쓰면 [math(\infty)]가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다.[2] 실수부를 취하지 않을 경우 [math(x<0)] 범위에서 [math(\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi)]이므로 짝함수가 아니다.[출처] Johann Georg von Soldner, 1809, treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)[4] 약 [math(1.178980)]