판아우벌 정리

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1. 개요2. 증명

1. 개요

Stelling van Van Aubel / Van Aubel's theorem

1878년 네덜란드의 수학자 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel; 1830-1906)[1]이 발표한 정리.

위 그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]에 대해, 삼각형 내부에 임의의 점 [math(\rm O)]를 잡자. 그리고 각 꼭짓점에서 해당 점을 지나게 선을 그어 각 변과 만나는 점을 각각 [math( \rm D)], [math( \rm E)], [math( \rm F)]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}} + \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} = \frac{\overline{\rm AO}}{\overline{\rm OD}} \end{aligned} )]

2. 증명

다음을 고려하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}} &=\frac{\triangle \rm CAO}{\triangle \rm CBO} \\ \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} &=\frac{\triangle \rm ABO}{\triangle \rm CBO} \end{aligned} )]

위 두 식을 더해주면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}} + \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} &=\frac{\triangle \rm CAO+ \triangle \rm ABO}{\triangle \rm CBO} \end{aligned} )]

한편,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \rm \triangle \rm CAO+\triangle \rm BAO=\square OCAB \end{aligned} )]

이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}} + \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} &=\frac{\square \rm OCAB}{\triangle \rm CBO} \end{aligned} )]

이다. 그런데,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\square \rm OCAB}{\triangle \rm CBO} = \frac{\overline{\rm AO}}{\overline{\rm OD}} \end{aligned} )]

이므로 따라서 등식

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}} + \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} = \frac{\overline{\rm AO}}{\overline{\rm OD}} \end{aligned} )]

이 성립한다.

[1] '반 아우벨'이라고도 알려져 있다.

판아우벌 정리

1. 개요

2. 증명

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