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1. 개요
셈 측도(counting measure)는 [math(0)]차원에서 정의되는 측도이다.2. 무차원
도량형학에서 셈 측도는 무차원(無次元)이며 차원 기호로는 [math(\sf 1)]로 나타낸다. [math(1)]차원이라는 뜻이 아니고 곱셈·나눗셈의 항등원이라는 의미이다. 도량형학에서는 숫자가 아닌 고유한 차원 기호를 이용해서 나타내며, 이를테면 부피는 차원이 [math({\sf L}^3)]이고, 가속도는 [math({\sf LT}^{-2})]의 차원을 갖는다. 이는 숫자로 나타낼 수 있는 개념이 아니지만 정의상 차원이 약분되어 없어지는 물리량(레이놀즈 수, 프루드 수 등)이 존재하기 때문에 이들을 곱셈·나눗셈의 항등원인 [math(\sf1)]로 나타내는 것이다.무차원의 물리량이 완벽하게 셈 측도에 대응되는 것은 아니므로 주의. 대표적으로 반발 계수, 레이놀즈 수 등은 차원분석을 해보면 무차원 물리량의 성질을 나타내지만 셈 측도는 아니다. 셈 측도가 되기 위해서는 가측 집합(정확히는 시그마 대수)이라는 전제가 필요한데 이들은 그러하지 못하기 때문이다. 이 밖에도 차원이 없는 수많은 물리량(반발 계수, 양력 계수 등등)이 있지만 대부분 셈 측도가 될 수 없다. 애초에 측도론과 도량형학은 맥락 자체가 다르고 그 예시의 일부에서 교집합이 존재할 뿐이다.
반면, 셈 측도는 본디 0차원이여야 함에도 예외를 두어 차원을 가지게되는 때도 있는데, 몰(단위)하고 그와 관련된 개, 명, 마리, 필 등이 그러하다.[1] 이들은 입자 수를 세는 단위로써 SI단위에서 차원 N을 가진다. 물론 이에 대한 비판도 만만치 아니하다.
3. 종류
'개수'로 대표되는 측도로, 말 그대로 '셈'을 통해서 구할 수 있는 양을 뜻한다. 길이나 길이로부터 유도되는 측도는 연속임에 비해, 이 녀석은 이산적이다. '반 개' 같은 표현이 있기는 하지만, 이는 원래 개수를 세는 최소 단위의 절반이라는 뜻이 내포되어 있으므로 명백한 이산 측도이다. 레이놀즈 수, 프루드 수 등은 무차원(無次元, dimensionless)이지 [math(\bf0)]차원이 아니며 측도론으로 논할 수 있는 개념이 아님에 주의하자. 도량형학에서의 '차원'은 수학이나 물리학에서 말하는 [math(n)]차원의 개념과 매우 이질적이며, '단위의 유무'에 관한 개념에 가깝다.위의 개수 이외에도 한자문화권에서 마리, 필, 명, 장 등의 단위가 많이 쓰이며, 서양에서는 딱히 특별한 단위를 붙이지 않고[2][3] 그냥 수를 붙이며[4], 우리말에서도 가끔씩 이렇게 쓴다.
예외로 각종 화폐들은 분명 이산량이긴 하지만 ₩, $, € 같은 단위가 부여된다.
또한 몰이라고 아보가드로 상수를 단위로 하는 셈 측도가 있는데, 도량형학에서는 이를 무차원량이 아닌 차원 [math(\sf N)]을 갖는 연속량으로 간주한다. 아보가드로 수의 규모가 워낙 크기 때문에[5] 편의상 차원을 부여한 것이라곤 하나, 아무래도 명백히 셈 측도 단위인 만큼 멀쩡히 있는 허용 단위 자리는 내버려두고 굳이 이걸 기본 단위로까지 끌고 와야 하냐는 비판도 만만치 않다. 아무튼 전술한 것처럼 서양 문화권에서도 무차원의 물리량이 셈 측도에 완벽하게 대응되지 않는다는 것을 보여주는 전형적인 예로 볼 수 있다.
측도론에서는 유한 집합의 크기로 정의한다. 무한 집합의 크기는 초한기수를 사용하며, 셈 측도가 아니다.
참고로 셈 측도가 취할 수 있는 값은 자연수밖에 없으므로 7/3,-15,pi나 루트 2는 셈 측도의 값으로 취할 수 없다. 비교나 평균 등의 의미로는 -2개, 0.5개 등으로 자연수가 아닌 수에 셈 측도의 단위를 쓰는 경우가 있다. 셈 측도는 흔히 말하는 이산측도, 이산량이다.
3.1. 목록
- 개(수) - 기본 셈 측도. 물건을 세는 단위. 꽤 자주 '갯수'로 잘못 쓰는 경우가 많다. 순수 한자어에 사이시옷을 적용하는 예외에 해당하지 않는다.
셈측도임에도 SI단위에서는 몰(단위)를 정의하는데 쓰임에따라 차원이 N이다. - 건(件) - 사건의 수를 세는 단위.
- 구 - 시체를 세는 단위.
- 권 - 책을 세는 단위.
- 두 - 짐승을 세는 단위.
- 량 - 열차 차량 수를 세는 단위.[6]
- 명, 분 - 사람을 세는 단위.[7]
- 문 - 대포의 개수를 세는 단위
- 마리 - 동물을 세는 단위.[8]
- * 벌 - 옷, 안경 등을 세는 단위.
- 쌍(雙) - 두 개로 이루어진 것을 세는 단위.
- 장 - 종이, 천 등 얇고 넓은 물건을 세는 단위. 달리 장수라고도 한다.
- 자루 - 물건 중 길쭉한 것을 세는 단위.
- 정 - 총, 노, 먹, 호미, 삽, 양초 등을 세는 단위.
- 쪽 - 책이나 인쇄물의 페이지를 세는 단위. 종이 1장은 2쪽에 해당한다.
- 위(位) - 혼령이나 신, 귀신을 세는 단위.[9]
- 층 - 말 그대로 건물의 층을 세는 단위.
- 필(匹) - 말이나 소를 세는 단위로서, '마리'보다는 격식 있는 표현. 마리를 쓰는 경우도 많다.
- 필(疋) - 일정한 길이로 말아둔 피륙 등을 세는 단위. 비단 한 필 등의 표현에서 쓰인다.
- 필(筆) - 구획된 땅을 세는 단위. 넓이와는 관련 없이 지번을 부여받아 지적 공부에 등록되는 단위이다.
- 그루 - 목본류 식물(나무)을 세는 단위.
- 포기 - 초본류 식물(풀)을 세는 단위.
- 점 - 그림, 고기 조각 등을 세는 단위.
- 모 - 두부, 묵 등을 직육면체 꼴로 잘라 놓은 것을 세는 단위.
- 다스, 타 - 연필을 세는 단위. 1다스(타)는 12자루와 같다.
- 대 - 탈것, 기계 장치, 악기 등을 세는 단위.
- 바퀴 - 돌아간 횟수를 세는 단위. 현행 국제단위계에서는 무차원량으로 다루나, 고유한 차원이 있는 단위로 다루면 차원분석만으로도 회전에 관련된 많은 물리량들을 구분할 수 있다. 양자역학에서는 SO(3), SO(3,1) 회전군의 성질에 따라 각운동량의 단위는 바퀴-1과 같다고 본다.
- 살 - 나이를 세는 단위. '세는' 나이이므로 차원은 [math(\sf T)]가 아니라 [math(sf1)]이며, 0살부터가 아닌 1살부터 센다.
- 잔, 컵 - 음료를 마시기 위한 그릇에 담긴 음료, 술 등을 세는 단위.
- 채 - 건물을 세는 단위.
- 척 - 선박 등을 세는 단위.
- 촉 - 난초, 양초 등을 세는 단위.
- 겹 - 다층 구조물에서 각각의 층상을 세는 단위.
- 톨 - 곡물(주로 쌀)의 낟알을 세는 단위.
- 통(桶) - 통에 담긴 물건의 분량을 세는 단위.
- 송이 - 열매, 꽃, 눈이 뭉친 덩어리 등을 세는 단위.
- 칸 - 방, 컨테이너, 기차 객실같이 닫힌 공간을 세는 단위.
- 번 - 횟수를 세는 단위.
- 가지 - 선택지를 세는 단위.
- 통(通) - 편지, 전화 등을 보낸 횟수를 세는 단위.
- 판 - 달걀을 세는 단위. 달걀 30개와 같다.
- 편 - 작품을 세는 단위.
- 첩 - (주로 가루 형태의)약품 포장을 세는 단위.
- 횟수(회) - 차례를 세는 단위. 사이시옷이 붙는 6개의 한자어[10] 중 하나이다.
- bit, byte - 0 또는 1이 들어가는 정보를 나타내는 자리를 세는 단위.
- CFU - 세균, 곰팡이 등을 세는 단위.
- mol - 구성하는 요소 입자(elementary entity)의 개수를 세는 단위. 주목하고자 하는 기본 요소의 개수를 아보가드로 상수 [math(N_{\rm A} = 6.022\,140\,76\times10^{23}{\rm\,mol}^{-1})]로 나눈 것과 같으며 따라서 그 개수가 아보가드로수만큼이면 [math(\rm1\,mol)]이 된다. 도량형학에서는 차원이 [math(\sf N)]인 연속량으로 간주하므로, "0.5몰"과 같이 정수뿐 아니라 실수로도 기술될 수 있다.
- 양자수 - 궤도 함수의 모양을 결정하는 요소로 특히 주 양자수, 부양자수가 셈 측도에 해당한다.
- 염기쌍(bp) - 이중 나선을 형성하는 핵산의 염기짝 한 쌍을 가리키는 단위.
언어학에서는 이런 것들을 수분류사(數分類詞)라고 부른다. 셈 측도에 후행하는 명사의 특성을 불어넣는 어휘로 보는 것.
[1] 명, 마리, 필도 결국엔 원자로 이루어진 무언가를 세는 단위이기 때문이다.[2] 대신 1개일 경우 부정관사가 있는 언어에선 부정관사를 붙인다.[3] 후술할 몰을 제외하면 SI 단위에서 셈 측도에 대응하는 단위가 없는 이유이기도 하다.[4] 물론 길이 질량 등 연속적인 단위 자체는 많이 있다.[5] [math(6.022\ 140\ 76 \times 10^{23})](약 6022해)[6] 일본에서는 전차의 수를 세는 단위로도 쓴다.[7] 그냥 '사람'을 단위 삼아 쓰기도 한다.[8] 예외적으로 사람은 다른 단위를 쓴다.[9] 일본에서는 위 대신 주(柱)를 세는 단위로 쓴다.[10] 곳간(庫間), 셋방(貰房), 숫자(數字), 찻간(車間), 툇간(退間), 횟수(回數)