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기대효용이론

확실성 등가에서 넘어옴

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1. 개요2. 역사3. 위험과 불확실성4. 복권5. 기대효용·기댓값6. 공리
6.1. 완전성6.2. 이행성6.3. 독립성6.4. 연속성
7. 위험에 대한 태도8. 효용함수의 서수성9. 확실성 등가·위험 프리미엄

1. 개요

소비자는 결과가 확실한 소비묶음 중에서 선택을 하는 경우가 많지만, 때로는 자신의 소득을 지출하여 얻게 될 대가가 어느 정도인지조차 확정되지 않은 경우도 있다. 예를 들어 보험, 주식, 채권 등은 소비자가 미래에 어느 정도의 재화 또는 서비스를 받게 될지 알 수 없다. 다시 말해서 재화 또는 서비스가 상황에 따라 '확률적'으로 주어지는 셈이다. 이런 경우의 소비자의 행동을 분석하는 이론이 바로 기대효용이론(期待效用理論, expected utility theory)으로, 기대효용가설(期待效用假說, expected utility hypothesis)이라고도 한다. 기대효용이론의 기본 주장은, 합리적인 경제주체는 자신의 행동의 결과가 확정되지 않았을 때는 결과에 의한 효용의 기대치에 입각하여 행동을 결정한다는 것이다.

2. 역사

1730년경 스위스의 물리학자 D.베르누이는 도박 자체의 기대치가 아닌 도박이 가져다주는 효용의 기대치에 입각하여 행동을 결정한다는 설명을 제시하여, 기댓값이 무한대인 도박에도 그 도박에 거금을 내고 참가하는 사람이 없을 수도 있다는 상트페테르부르크의 역설에 답하려 했다. 1950년대에 미국의 수학자 존 폰 노이만(John von Neumann, 1903~1957)과 독일의 경제학자 오스카르 모르겐슈타인(Oskar Morgenstern, 1902~1977)이 일련의 공리 체계를 정립하여 수학적으로 엄밀한 분석이 가능하게 되었다.

3. 위험과 불확실성

미래의 수익을 알 수 없는 경우에도 두 종류가 있다. 첫째는 미래의 수익률이 특정한 확률분포를 따르는 확률 변수로서 경제주체가 이 확률분포를 정확히 아는 경우이며, 둘째는 확률분포 자체를 모르는 경우이다. 전자를 위험(危險, risk), 후자를 불확실성(不確實性, uncertainty)이라고 한다. 이 구분은 1921년에 미국의 경제학자 프랭크 나이트(Frank Knight, 1885~1972)가 처음으로 고안했다. 불확실성이 존재하는 경우는 아예 체계적인 분석 자체가 불가능하므로 경제학에서 분석하는 모든 경우는 위험만이 존재하는 경우인 것이다. 그러나 이러한 구별이 무색하게 실제로는 수많은 논문 및 교재에서 너도나도 이 두 어휘를 아무렇게나 혼용하는 실정이다(...).

이러한 위험은, 일상적 언어로는 부정적인 결과, 곧 손해를 볼 가능성이 도사리고 있음을 의미하지만, 프랭크 나이트의 구분에 따르면 경제학에서의 위험이라는 개념은 이와는 조금 다르다. 예를 들어 동전을 던져서 앞면이 나오면 1000원, 뒷면이 나오면 2000원을 받는 도박은 위험이 존재한다. 못해도 1000원을 받으므로 금전적 손실은 결코 없지만, 경제학적인 개념으로는 결과가 확정되어 있지 않기 때문에 위험이 존재한다고 하는 것이다. 요컨대 경제학에서 사용되는 random(무작위의), risky(위험한), probabilistic(확률적인), stochastic(확률적인), uncertain(불확실한), unpredictable(예측 불가능한) 등의 어휘는 모두 결과가 확정되어 있지 않다는 의미일 뿐이며 이득을 보는지 손해를 보는지와는 상관이 없다.

4. 복권

미시경제학에서는 복권(福券, lottery)의 개념으로 위험을 설명한다.

[math(n)]개의 서로 다른 경품 가운데 하나를 받는 복권에 대하여 [math(i)]번째 경품을 [math(z_i)]라 하면 모든 경품의 집합을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(Z=\{z_1,\,z_2,\,\cdots,\,z_n\})]

이 집합은 복권의 모든 결과를 나열한 것이기 때문에 아무것도 얻지 못하는 소위 '꽝'도, 오히려 벌금을 내야 하는 경우도 엄연한 경품임에 유의하자.

한편, 경품 [math(z_i)]에 당첨될 확률을 [math(p_i)]라 하면

[math(L=\{p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_n\})]

은 각 경품의 당첨 확률을 나타내는 확률 분포이다. [math(p_i)]는 확률이므로 [math(0\leq p_i\leq 1)]이고 [math(\displaystyle\sum_{i=1}^np_i=1)]이다. 만약 [math(p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_n)] 중에서 어느 하나만 1이고 나머지는 0이라면 이 복권은 해당 경품을 1의 확률로 얻으므로 '확정적인' 복권이 된다.

5. 기대효용·기댓값

경품집합 [math(Z)]에서 실수의 집합 [math(\mathbb R)]로 가는 효용함수 [math(u:\,Z\rightarrow\mathbb R)]에 대하여, [math(u(z_i))]는 경품 [math(z_i)]의 효용이다. 이때, 복권 [math(L=(p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_n))]의 효용의 기댓값은 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(u(z_1)p_1+u(z_2)p_2+\cdots+u(z_n)p_n=\langle p,u(z_n)\rangle=\displaystyle\sum_{i=1}^nu(z_i)p_i)]

곧, 경품과 그 경품을 받을 확률의 곱의 총합[1]이며, 위의 연산은 내적과 동치로서 선형대수적으로 설명이 가능하다. 이를 복권 [math(L)]의 기대효용(期待效用, expected utility)이라고 하며, expected utility의 머리글자를 따서 [math(EU(L))]로 표기한다.

기대효용이론에서는 복권에 대한 선호가 기대효용으로 결정된다고 가정한다. 그래서 선호관계는 기대효용의 대소 관계로 결정된다. 이를 두 복권 [math(L)]과 [math(L')]에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(L\gtrsim L'\quad\Leftrightarrow\quad EU(L)\geq EU(L'))]

한편, 기대효용과 기댓값을 잘 구별해야 하는데, 차이점은 다음과 같다.

다음 복권을 예로 들어 기대효용 [math(EU(L))]과 기댓값 [math(E(L))]을 계산해 보자.
복권 [math(L)]
[math(i)] [math(1)] [math(2)] [math(3)] [math(4)]
경품 금액 [math(z_i)] [math(2)] [math(3)] [math(4)] [math(5)]
효용 [math(u(z_i)=z_i^2)] [math(4)] [math(9)] [math(16)] [math(25)]
확률 [math(p_i)] [math(\dfrac14)] [math(\dfrac14)] [math(\dfrac14)] [math(\dfrac14)]

[math(\begin{aligned}EU(L)&=\displaystyle\sum_{i=1}^4u(z_i)p_i=\dfrac14\times(4+9+16+25)=\dfrac{27}2\\E(L)&=\displaystyle\sum_{i=1}^4z_ip_i=\dfrac14\times(2+3+4+5)=\dfrac72\end{aligned})]

6. 공리

다음과 같이 경품은 동일하고 확률이 다른 두 복권이 있다.

[math(\begin{aligned}L&=\left(\dfrac12,\,\dfrac12,\,0,\,0\right)\\L'&=\left(\dfrac14,\,\dfrac14,\,\dfrac14,\,\dfrac14\right)\end{aligned})]

이때 어느 복권을 선택하는 것이 좋을까? 여기에는 정답이 없으며, 사람마다 성향이 다르다. 이와 같이 불확실성하에서도 소비자의 선호에는 순서가 나타나는데, 일정한 공리를 만족시키는 경우 이를 효용함수로 표시하는 방법을 제시한 것이 바로 기대효용이론이다.

6.1. 완전성

6.2. 이행성

6.3. 독립성

6.4. 연속성

7. 위험에 대한 태도

먼저, 모든 경품을 돈으로 생각하고 그 금액에 대한 효용함수를 [math(u(w))]라고 하자. 돈은 한 가지 액수로만 나타낼 수 있기 때문에 경품의 가치를 나타내기에 제격이기 때문이다. [math(u(w))]의 특성에 따라 위험에 대한 소비자의 태도를 말할 수 있다.

불확실성하에서, 소비자에 따라서 위험을 기꺼이 감수하면서 더 큰 이득을 노릴 수도 있고, 이득은 적어도 위험을 기피할 수도 있다. 여기에는 정답이 없으며 이는 소비자의 주관적인 성향으로 취급되는데, 위험 기피적 선호, 위험 애호적 선호, 위험 중립적 선호 세 가지로 나뉜다. 다음 세 복권을 보자.

이 세 복권은 모두 [math(E(L)=500)]이라는 공통점이 있다. [math(1/2\times(1000+0)=1/2\times(700+300)=1\times500=500)]이기 때문이다. 그러나 경우에 따라 받을 수 있는 금액의 차이는 [math(L_1)], [math(L_2)], [math(L_3)] 순으로 크다. 곧, 이 순서대로 위험이 크다. 1원도 받지 못할 위험을 감수하면서 1000원이라는 일확천금을 노릴 것인지, 적당히 700원과 300원의 확률 싸움을 할 것인지, 안전하게 500원을 챙길 것이냐의 차이인데, 어느 복권을 선택할지는 철저히 소비자의 주관에 달렸다. 일관성 있게 위험을 추구하는 소비자는 [math(L_1)]을, 기피하는 소비자는 [math(L_3)]를, 적당히 위험을 즐기는 소비자는 [math(L_2)]를 고를 것이다. 한편, 위험을 신경쓰지 않는 소비자는 기댓값이 같은 세 복권에 차이가 없다고 느낄 것이다.

경제학에서는 일관성 있게 위험을 기피하는 성향을 위험 기피적(危險 忌避的, risk averse), 추구하는 성향을 위험 애호적(危險 愛好的, risk loving), 위험 여부에 관계없이 기댓값만을 고려하는 성향을 위험 중립적(危險 中立的, risk neutral)이라고 한다. 한편, 일관성 없이 적당히 위험을 즐기는 성향은 따로 이름을 붙일 수 없다. 말 그대로 '일관성'이 없어서 확실하게 이러한 성향을 정의하거나 분석할 수 없기 때문이다.

이제 이 세 가지 성향들을 수학적으로 엄밀하게 정의하자. [math(0<t<1)]이고 [math(a\neq b)]인 상수 [math(t)], [math(a)], [math(b)]에 대하여, 확률 [math(t)]로 [math(a)]를, 확률 [math((1-t))]로 [math(b)]를 얻는 복권 [math(L)]과, 확률 [math(1)]로 [math(E(L)=ta+(1-t)b)]를 얻는 복권 [math(L')]을 비교해 보자. 곧, [math(L')]은 [math(L)]의 기댓값을 아무런 위험 없이 얻을 수 있는 복권이다. 소비자의 효용함수를 [math(u(w))]라 할 때, 두 복권의 기대효용은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}EU(L)&=tu(a)+(1-t)u(b)\\EU(L')&=u(ta+(1-t)b)=u(E(L))\end{aligned})]

두 복권 중 어느 것을 선택하느냐는 이 기대효용의 대소 관계에 따라 달라진다고 했으므로, 다음과 같은 결론이 나온다.

이러한 정의에 따르면, 위험에 대한 태도는 모든 위험을 제거한 상태에서 정확히 해당 복권의 기댓값을 확실히 지급한다고 하면, 복권에 대한 도박을 포기한 채 안전하게 그 기댓값만을 챙길 것인지(위험 기피적), 기댓값도 건지지 못할 위험을 감수하고 더 큰 이익을 위한 도박을 감행할 것인지(위험 애호적), 어느 쪽이든 신경을 쓰지 않는지(위험 중립적)에 따라 갈린다고 할 수 있다. 다시 말해서 위험이 있는 복권의 기대효용과 그 복권의 기댓값을 확률 1로 받을 때의 기대효용을 비교하는 것이며, 수학적으로는 효용의 기댓값과 기댓값의 효용의 대소를 따지는 것이다.

이제 이를 그래프상에서 기하학적으로 분석해 보자.

파일:기댓값과 기대효용의 기하학적 해석.png
효용함수의 그래프 위의 두 점 [math((a,\,u(a)))]와 [math((b,\,u(b)))]를 이은 선분을 [math((1-t):t)]로 내분하는 점의 좌표는 [math((E(L),\,EU(L)))]로서, 확률 [math(t)]로 [math(a)]를, [math((1-t))]로 [math(b)]를 받는 복권의 기댓값과 기대효용을 나타낸다.

파일:위험에 대한 태도에 따른 효용함수의 그래프 수정.png
위에서 도출한 수학적 정의는 정확히 함수의 |볼록성과 일치한다. [math(a<b)]라 할 때, [math(a)]와 [math(b)]의 값을 어떻게 정하더라도 곡선 [math(u(w))] 위의 두 점 [math((a,\,u(a)))]와 [math((b,\,u(b)))]를 이은 선분이 곡선 [math(u(w))]보다 아래에 있으면 위험 기피적, 위에 있으면 위험 애호적, 일치하면 위험 중립적 선호의 효용함수인 것이다. 따라서 다음이 성립한다.

한계효용은 효용함수의 미분이므로, [math(u'(w))]와 같기 때문이다. 또한, 이계도함수의 부호는 위험에 대한 태도를 판별하는 충분조건이지만 필요조건은 아니다. 다시 말해서 이계도함수의 부호가 결정되면 위험에 대한 태도를 확실하게 판별할 수 있지만, 위험에 대한 태도를 보고 이계도함수의 부호를 확신할 수는 없다. 대표적인 반례가 [math(u(w)=w^4)]이다. 이는 강볼록함수이므로 위험 기피적 선호를 나타낸다. 그러나 이계도함수는 [math(u(w)=12w^2)]이므로 [math(u(0)=0)]이다. 따라서 위험 기피적 선호에 대한 효용함수의 이계도함수가 항상 0보다 작다고 할 수는 없다.

위험에 대한 태도와 한계효용이 어떻게 연관되는지를 다음과 같이 설명할 수도 있다. 한계효용체감의 경우 동일한 금액이 증가한다면 소득이 낮을 때보다 높을 때의 효용의 증가분이 더 작다. 다시 말해 이미 500원을 가진 상태에서 500원을 추가로 받아 1000원이 될 때의 증가분은, 소득이 0원일 때 500원을 받아 500원이 될 때의 증가분보다 작다. 이를 일반화하면 [math(0<a<b<c)]이고 등차수열을 이루는 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여

[math(u(c)-u(b)<u(b)-u(a))]

가 성립하고, [math(b=(a+c)/2)]임을 이용하여 이를 다시 쓰면

[math(\dfrac{u(a)+u(c)}2<u(b)=u\left(\dfrac{a+c}2\right))]

가 되는데, 이 역시 다름 아닌 함수의 |볼록성에 관한 또 다른 표현으로서 [math(u(w))]가 강볼록함수임을 뜻한다. 따라서 한계효용이 체감하면 위험 기피적이다. 한계효용체증, 한계효용불변에 대해서도 같은 논법을 전개할 수 있다. 한계효용체증의 경우 동일한 금액이 증가한다면 소득이 낮을 때보다 높을 때 효용의 증가분이 더 크므로 위험 애호적이며, 한계효용불변의 경우 소득과 관계없이 동일한 금액이 증가한다면 효용의 증가분은 일정하므로 위험 중립적이다.

한편, 위에서는 경품이 두 가지인 복권으로 위험에 대한 태도를 정의했는데, 위험에 대한 태도는 경품이 두 가지보다 많은 복권에 대해서도 성립한다. 다시 말해서 위험이 있는 모든 복권에 대해서도 위 정의를 사용할 수 있다. 이 결과는 젠센 부등식으로부터 도출되는데, 젠센 부등식 덕분에 위험에 대한 태도를 결과가 두 가지인 복권으로 간단하게 정의해도 무방한 것이다.

8. 효용함수의 서수성

효용함수 문서에서, 소비자이론에서는 보통 서수적 효용함수를 사용함에 따라, 한계효용의 절대치 그 자체는 소비자의 행동을 설명할 수 없으며, 상대적인 크기만이 중요함을 설명했다. 이에 따라 어떤 효용함수에 강단조증가변환을 적용해도 동일한 선호관계를 대표한다. 그런데 기대효용이론에서의 효용함수에는 이 강단조증가변환을 아무렇게나 적용할 수 없다. 예를 들어 함수 [math(y=w^2\;(w\geq0))]은 대표적인 강단조증가변환이므로 [math(w\geq0)]의 범위에서 [math(u(w)=\sqrt w)], [math(u(w)=w)], [math(u(w)=w^2)]은 모두 동일한 선호관계를 대표하며, 서수적 의미에서 동일한 효용함수이다. 그런데 이 세 함수를 그래프로 그리면 다음과 같이 각각 강오목함수, 선형함수, 강볼록함수임을 알 수 있다.

파일:강단조증가변환으로 달라지는 볼록성.png
다시 말해서 위험에 대한 태도는 각각 위험 기피적, 위험 중립적, 위험 애호적이다. 세 효용함수는 동일한 선호관계를 대표하지만 위험에 대한 태도가 각기 다른 것이다. 그러면 위험에 대한 태도를 왜곡하지 않는 강단조증가변환은 없을까? 유일한 예는 다름 아닌 선형 변환이다. 그중에서도 [math(y=ax+b\;(a>0))]의 강단조증가변환만이 함수의 볼록성을 바꾸지 않는다. 어떤 함수에 양의 상수를 곱하거나 상수를 더하는 정도의 변환은 함수의 볼록성을 바꾸지 않기 때문이다. 양의 상수를 곱하면 접선의 기울기 역시 해당 상수만큼 곱한 값이 되는데, 그래프의 기울기가 전체적으로 급해지지만 볼록성이 바뀌지는 않을 것이다. 음의 상수를 곱하는 변환은 그래프가 위아래로 뒤집히기 때문에 볼록성 역시 바뀌어 버리므로 적당하지 않은 변환이다. 또한 상수를 더하면 그래프가 해당 상수만큼 종축의 방향으로 평행이동하기 때문에 그래프의 모양에는 전혀 변함이 없다.

9. 확실성 등가·위험 프리미엄

반반의 확률로 100원 또는 900원을 주는 복권 [math(L)]과, 1의 확률로 [math(x)]원을 주는 복권 [math(L')]이 있다고 하자. 두 복권 중 무엇을 선택할 것인가? [math(x<100)]이면 무조건 더 큰 금액이 보장되는 복권 [math(L)]을, [math(x>900)]이면 복권 [math(L')]을 선택할 것이다. [math(100\leq x\leq900)]이면 위험에 대한 태도에 따라 선택은 달라질 것이다. 이러한 상황에서, 두 복권의 기대효용이 같도록 하는 [math(x)]의 값을 생각할 수 있는데 이를 확실성 등가(確實性 等價, certainty equivalent)라고 한다. 확실성 등가는 주어진 복권 [math(L)]의 기대효용과 동일한 효용을 주는 금액으로서, certainty equivalent의 머리글자를 따서 [math(ce(L))]로 표기한다. 다시 말해서, 위 상황에서 [math(x=ce(L))]이면 두 복권의 기대효용이 동일하여 어느 것을 선택해도 무방해지며, 수학적으로는 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}EU(L)&=u(ce(L))\\ce(L)&=u^{-1}(EU(L))\end{aligned})]

기대효용이론에서 효용함수는 소득의 강증가함수이므로 [math(u)]는 역함수가 존재하는 것이다. 그래프를 이용하여 확실성 등가를 기하학적으로 분석해 보자.

파일:위험에 대한 태도에 따른 확실성 등가 수정.png
먼저 기댓값 [math(E(L))]과 기대효용 [math(EU(L))]을 나타내는 점 [math((E(L),\,EU(L)))]을 찾는다. 이 점은 곡선 [math(u(w))] 위의 두 점 [math((a,\,u(a)))]와 [math((b,\,u(b)))]를 이은 선분 위에 있다. 이 점에서 수평선을 그었을 때 곡선 [math(u(w))]와 만나는 점이 바로 [math((ce(L),\,EU(L)))]이다. 이 점은 곡선 [math(u(w))] 위에 있으므로 [math(u(ce(L))=EU(L))]이 성립하며, 이것이 곧 확실성 등가의 정의이기 때문이다. 그러면 위 그림을 보다시피, 위험 기피자의 효용함수는 강오목함수이므로 그래프의 개형상 [math(E(L)>ce(L))]이며, 위험 애호자의 효용함수는 강볼록함수이므로 [math(E(L)<ce(L))]이다. 위험 중립자의 효용함수는 선형함수이므로 그래프의 개형상 다음과 같이 항상 [math(E(L)=ce(L))]이다.

파일:위험 중립자의 확실성 등가.png
위험 중립자의 확실성 등가가 기댓값과 일치하는 이유를 기하학적으로 설명하면, 효용함수의 그래프가 선형이어서 그래프 위의 두 점을 이은 선분이 그래프 자체와 일치하기 때문이라고 할 수 있다. 대수적으로 보자면 확실성 등가의 정의상 [math(u(ce(L))=EU(L))]은 무조건 성립하지만 [math(u(E(L))=EU(L))]은 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 위험 중립적 선호는 [math(ce(L)=E(L))] 그리고 [math(u(E(L))=EU(L))]이 모두 성립하는 특수한 경우인 것이다.

한편, 기댓값에서 확실성 등가를 뺀 값을 위험 프리미엄(risk premium)이라고 하며, risk premium의 머리글자를 따서 [math(rp(L))]과 같이 표기한다. 이를 다음과 같이 나타낸다.

[math(rp(L)=E(L)-ce(L))]

위험 프리미엄은 위험 때문에 발생하는 복권의 가치의 저평가 정도를 확정적인 금액으로 나타낸 것이다. 그래서 위험 프리미엄의 값은 위험 기피적일수록 커진다. 똑같은 복권이라도 위험 기피적인 소비자일수록 위험을 크게 의식하여 그 복권을 꺼리기 때문이다. 위의 내용을 종합하면 다음과 같다.

위험에 대한 태도에 따라 위험 프리미엄의 부호가 바뀌는 것을 다음과 같이 설명할 수도 있다. 위험 기피적 선호는 정의상 [math(EU(L)<u(E(L)))]이 성립하며, 확실성 등가의 정의상 다시 [math(u(ce(L))<u(E(L)))]로 쓸 수 있다. 한계효용은 항상 양이라는 단조성의 가정에 따라서 효용함수는 소득의 증가함수이므로, [math(u(ce(L))<u(E(L)))]이면 [math(ce(L)<E(L))]일 수밖에 없다. 마찬가지 논리로 위험 애호적 선호는 [math(ce(L)>E(L))]이, 위험 중립적 선호는 [math(ce(L)=E(L))]이 성립한다.
[1] 연속확률변수에 대하여 확률밀도함수 [math(f(z))]가 주어지는 경우에는 [math(\displaystyle\int u(z)f(z)\,{\rm d}z)]와 같이 정적분으로 계산하면 된다.[2] '기대효용'이라는 어순 때문에 '기댓값의 효용'으로 착각해서는 안 된다. '기댓값의 효용'은 [math(EU(L))]이 아닌 [math(u(E(L)))]이다.

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