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레퓨닛 수

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1. 개요2. 레퓨닛 소수3. 소인수분해4. 제곱5. 배수 판정법

1. 개요

레퓨닛 수(repunit)는 10진법에서 [math(1)]이 늘어선 수[1]를 의미하며, 10진법의 경우 [math(1)]이 [math(n)]개 늘어선 수를 [math(\dfrac{10^n-1}9)]로 나타낼 수 있다. [math(R_n)]과 같은 방식으로 표기하기도 한다. 레퓨닛 소수는 10진법에서의 단위 반복 소수와 같다. [2]

회문 소수[3]가 아니면서도 거꾸로 뒤집었을 때 여전히 소수가 되는 소수는 치환 가능 소수라고 한다. 물론, 회문 소수가 아닌 모든 재배열 가능 소수는 모두 치환 가능 소수이다. (다만, 주어진 진법에서의 모든 자릿수가 [math(1)]로 된 단위 반복 소수[4][5]는 모두 회문 소수이기 때문에 제외한다.) 이는 수소[6]와도 관련이 있는데, 수소란 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한 자리 수가 될 때까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 전부 소수인 소수를 말한다. 물론 네 자리 이상이 되면 해당 소수들을 각 자리 숫자의 합으로 가지는 수가 모두 100자리가 넘기에 매우 커져 나타내기는 힘들겠지만 말이다. 이런 경우는 [math(n)]진법에서 각 자리 숫자의 합이 [math(p)]라고 할때, [math(p)]가 [math(n-1)]의 소인수이면 무조건 [math(p)]의 배수가 되므로 소수일 수 없다. 따라서 [math(n-1)]이 소수나 소수의 제곱과 같이 약수의 개수가 적은 수여야 하고, 각 자리 숫자의 합은 한자릿수가 될 때까지 반복할 때 [math(n-1)]의 소인수가 아닌 수가 최종적으로 나와야 하는데, 이런 경우는 최소 6진법부터 존재할 수 있다. 그리고 나중에는 각종의 기수법 별로 이러한 특성을 가진 소수의 목록이나 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수의 소인수분해 및 소수 [math(p)]에 대하여 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되게하는 [math(n)]의 값에 해당하는 수, 그리고 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되게 하는 [math(k)]의 값에 해당하는 소수의 목록도 만들어보면 된다. 참고로, [math(n)]이 [math(2)] 이상의 자연수일 때, [math(n)]의 값에 관계없이 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어서있을 때, [math(p = mk)]이고, [math(k)], [math(m)]은 각각 [math(2)] 이상의 자연수라고 한다면 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]의 약수개만큼 늘어선 수로 나누어 떨어지게 되므로 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(m)]개만큼 늘어선 수와 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수를 약수로 가지게 되어 소수일 수 없다. 또한 앞에서도 말했듯이 [math(k)]가 [math(n-1)]의 소인수인 소수이면 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(k)]의 배수가 되므로 소수가 될 수 없다.

10과 서로소인 수는 레퓨닛 합성수를 반드시 배수로 가진다.

2. 레퓨닛 소수

한편 [math(1)]의 개수가 소수개일 경우 해당 수가 소수가 될 수도 있으나, 그렇지 않은 경우가 더 많다. [math(1)]의 개수가 합성수일 경우 해당 수는 무조건 합성수이며, 해당 수를 균등하게 나눈 수로 나누어떨어진다.[7] 레퓨닛 소수는 각 자릿수를 배열하는 방법이 한 가지이므로 무조건 재배열 가능 소수이다.

현재 알려진 레퓨닛 소수는 다음과 같이 총 11개이다.
[math(n)] [math(\dfrac{10^n-1}9)] 발견일[8] 증명일[9]
[math(2)] 11 ? ?
[math(19)] 1111111111111111111 1908년 7월 26일 ?
[math(23)] 11111111111111111111111 1933년 1월 23일 ?
[math(317)] [math(R_{317})]([math(1)]이 317개) 1978년 5월 16일 ?
[math(1031)] [math(R_{1031})] 1986년 10월 5일 2003년 7월 21일
[math(49081)] [math(R_{49081})] 1999년 9월 9일[10] 2022년 3월 21일[11]
[math(86453)] [math(R_{86453})] 2000년 10월 27일[12] 2023년 5월 16일[13]
[math(109297)] [math(R_{109297})] 2007년 3월 28일[14] 2025년 5월 27일[15]
[math(270343)] [math(R_{270343})] 2007년 7월 11일[16] (아직 증명 안 됨)
[math(5794777)] [math(R_{5794777})] 2021년 4월 20일[17] (아직 증명 안 됨)
[math(8177207)] [math(R_{8177207})] 2021년 5월 8일[18] (아직 증명 안 됨)

3. 소인수분해

[math(R_{120})]까지의 소인수분해의 결과는 다음과 같다. 굵게 표시한 수는 [math(1)]이 소수개 늘어선 수이며, 밑줄 친 수는 레퓨닛 소수이다. 나머지 레퓨닛 수들의 소인수분해는 여기에서 [math(R_{300,000})]까지 확인할 수 있다.

4. 제곱

[math(R_1)]부터 [math(R_9)]까지의 레퓨닛 수의 제곱은 [math(1)]부터 [math(1)]씩 차례대로 커지다 작아지는 형태의 대칭수이다.

12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321

어디서 본 사람이 있을 거라 생각할 수 있는데, 수학 귀신의 첫날 밤에 수학 귀신이 소개한 식이다.

5. 배수 판정법

어떤 수가 특정한 레퓨닛 수의 배수인지를 간단히 판별할 수 있는 방법이 존재한다. [math(R_n)]에서 [math(n)]은 자릿수와 같으므로, 특정 수를 일의 자리에서부터 [math(n)]의 값만큼 토막낸 다음(예: [math(R_n)]에서 [math(n)]이 [math(4)]라면 [math(R_4=1111)]이므로 4자리씩) 그 토막낸 수를 전부 합하였을 때 나오는 수가 [math(R_n)]으로 나누어 떨어진다면 그 수는 [math(R_n)]의 배수이다. 이 방법은 독립적 반복적으로 시행할 수 있다.

[1] 참고로 2진법에서 [math(1)]이 늘어선 수는 메르센 수라고 한다.[2] 여기서 단위 반복 소수란 2진법에서의 메르센 소수와 10진법에서의 레퓨닛 소수를 임의의 진법으로까지 확장해서 생기는 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 수를 말한다. 가령 10진법에서 [math(1)]이 2개, 19개, 23개, 317개, 1031개, 49081개, 86453개, 109297개, 270343개, 5794777개, 8177207개 늘어선 수는 소수인데, 모든 자리수가 [math(1)]인 레퓨닛 소수이므로 단위 반복 소수의 일종이다.[3] 회문수이면서 소수인 수[4] 다만, [math(n)]이 [math(2)] 이상의 자연수라고 할 때, [math(m)]이 [math(n)]제곱수이면 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 하고 있는 소수의 경우는 [math(m)]의 [math(n)]제곱근에 해당하는 수의 진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 한 수를 반드시 약수로 갖기 때문에, 아예 없거나 딱 하나로 유일하다가 된다. 따라서 [math(m)]의 소인수분해에서 각 소인수가 [math(2)] 이상인 것 중 지수가 가장 작은 것이 다른 소인수가 곱해진 그 어떤 지수의 약수가 되지 않아야 [math(m)]진법에서 [math(1)]이 늘어선 형태를 하고 있는 소수(단위 반복 소수)의 개수가 최소한 4개 이상이 된다. 또한 [math(p)]가 [math(n-1)]의 소인수이면 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수는 무조건 [math(n-1)]의 소인수인 [math(p)]의 배수가 되기 때문에 소수가 될 수 없으므로, [math(n)]진법 표현에서 [math(1)]이 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수라면 [math(p)]는 소수이며 [math(n)]을 [math(p)]로 나눈 나머지가 [math(1)]이 아닌 경우이어야 한다. 물론 그 역은 성립하지 않으니 [math(1)]이 [math(n-1)]의 소인수가 아닌 소수 [math(p)]개만큼 늘어서있는 수라고 해도 항상 소수가 되지는 않는단 얘기다.[5] 일단 주어진 진법에서 현재까지 발견된 단위 반복 소수들과 그 개수만 생각하며, [math(p)]가 소수일 때, [math(n)]진법에서 [math(p)]개만큼 늘어선 수가 소수가 되는 경우에 해당하는 자연수 [math(n)]이나 [math(n)]진법에서 [math(1)]이 [math(k)]개 만큼 늘어선 수가 소수임을 만족하게 하는 소수 [math(k)]의 값에 해당하는 수의 목록도 만들어볼 수 있겠다. 특히 2진법이나 10진법이 아닌 다른 진법에서 훨씬 유용하다. 그 외에도 재배열 가능 소수, 왼편/오른편/양편 절단 가능 소수 및 양면 소수 및 이들의 개수와 가장 큰 것의 자릿수 개수도 10진법 이외의 다른 기수법에서도 생각할 수 있겠다.[6] 화학 원소 수소가 아니다.[7] 가령 [math(111111111)]([math(1)]이 9개)은 [math(111)]로 나누어떨어진다.[8] 발견된 수는 확률적 소수이므로 소수인지 아닌지 증명이 필요하다.[9] 소수임이 증명된 날 (정확한 시각을 확인할 수 있는 경우는 한국 시각 기준으로 수정)[10] 출처에 "Date: Thu, 9 Sep 1999 07:49:35 -0400"라고 적혀 있음.[11] 출처에 "Submitted: 3/21/2022 12:15:00 UTC"라고 적혀 있음.[12] 출처에 "Date: Thu, 26 Oct 2000 17:28:19 -0400"라고 적혀 있음.[13] #출처에 "Submitted: 5/15/2023 15:04:07 UTC"라고 적혀 있음.[14] 출처에 "Date: Tue, 3 Apr 2007 13:15:06 -0400", "On March 28 I found a new probable prime repunit, R(109297), which consists of 109297 1's."라고 적혀 있음.[15] 출처에 "Submitted: 5/26/2025 22:19:56 UTC"라고 적혀 있음.[16] 출처에 "Date: Sun, 15 Jul 2007 19:56:23 -0400", "On July 11 my son and I found a new probable prime repunit, R(270343)."라고 적혀 있음.[17] 출처에 "a(10) = 5794777 was found Apr 20 2021 by Ryan Propper and Serge Batalov"라고 적혀 있음.[18] 출처에 "a(11) = 8177207 was found May 08 2021 by Ryan Propper and Serge Batalov"라고 적혀 있음.[19] [math(11)]이 레퓨닛 수이므로 [math(R_{11})]은 최초의 이중 레퓨닛 수이다. [math(R_{R_2} = R_{11})]이다. 다만 레퓨닛 소수는 아니다.[20] 이 수는 레퓨닛 수 중 최소의 과잉수이기도 하다. 진약수의 합은 121,854,250,714,885,689(약 12경)이다.[21] [math(111)]이 레퓨닛 수이므로 [math(R_{111})]은 두 번째 이중 레퓨닛 수이다. [math(111)]은 3 · 37이라서 소수가 아니기 때문에 [math(1)]이 자기자신의 자릿수의 개수와 같고, 3개만큼 늘어선 [math(111)]과 [math(1)]이 37개 늘어선 매우 큰 [math(1111111111111111111111111111111111111)]([math(R_{37})])로 나뉘기 때문에 무조건 합성수다. 그리고 [math(1)]이 1111개, 11111개만큼만 늘어서있어도 수가 엄청나게 커져서 직접 작성하기가 매우 까다롭다.(대신 [math(1111 = 11\cdot101)], [math(11111 = 41\cdot271)]이므로 [math(1)]이 1111개 늘어선 수는 [math(1)]이 11개 만큼 늘어선 [math(11111111111)]의 약수인 [math(21649)], [math(513239)], 그리고 [math(1)]이 101개 만큼 늘어선 [math(R_{101})]과 그 수의 약수들을 약수로 가지며, 11111개 만큼 늘어선 수는 [math(1)]이 41개 늘어선 [math(R_{41} = 11111111111111111111111111111111111111111)]의 약수들과 271개 늘어선 [math(R_{271})]과 그 약수들을 약수로 가질 수 있다는 사실을 알 수 있겠다. 또한 [math(111111)]은 [math(3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37)]이라서 약수가 32개나 되므로 실질적으로는 [math(111111)]의 약수를 모두 구하기가 힘들 것 같고, [math(1)]이 1111111개 늘어선 수는 [math(1111111 = 239\cdot4649)]이므로 [math(1)]이 각각 239개, 4649개 늘어선 [math(R_{239})], [math(R_{4649})] 및 그 약수들을 가질 수 있다는 것만 알 수 있을 뿐이다.) 그리고 [math(3)], [math(11)], [math(37)], [math(41)], [math(73)], [math(101)], [math(137)], [math(239)], [math(271)], [math(4649)], [math(9091)], [math(21649)], [math(333667)], [math(513239)]는 모두 소수이지만, [math(1)]이 앞에서 언급했던 숫자들만큼 늘어선 수는 전부 합성수라는 점을 참고해두자.


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