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1. 개요
Fermat's theorem on sums of two squares / 페르마의 두 제곱數 定理 / (프랑스어)Théorème des deux carrés de Fermat프랑스의 수학자 피에르 드 페르마가 남기고 간 문제. 페르마가 죽은 지 거의 100년 만에 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 7년 간의 연구를 거쳐 1749년에 결국 증명에 성공했다.
페르마의 소수 정리(素數 定理)라고도 하며, 아드리앵마리 르장드르가 제시한 소수 정리와는 다른 정리이다.[1]
비슷한 정리로는 라그랑주의 네 제곱수 정리가 있는데, 이쪽은 어떤 양의 정수든 4개의 정수쌍의 제곱의 합으로 표현이 가능하다는 정리다.
2. 상세
2를 제외한 모든 소수(素數)는 홀수이므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(4n+1)] 또는 [math(4n-1)]의 꼴로 나타낼 수 있는데, 전자는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있지만 후자는 그럴 수 없다는 내용이다. 예를 들어 [math(13)]은 [math(4·3+1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, [math(3^2+2^2)]로도 나타낼 수 있다. 그러나 [math(19)]는 [math(4·5-1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.이 정리의 역은 성립한다. 즉, [math(4n+1)]꼴인 모든 소수는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.
3. 증명
증명 방법은 여럿이 있는데, 오일러가 증명한 방식은 첫 증명이기도 하고 무한강하법을 이용한 방식이라 증명이 상당히 길고 복잡하다. 대략적인 방식을 소개하자면 두 제곱수 항등식인 [math((u^2+v^2)(x^2+y^2)=(ux+vy)^2+(vx-uy)^2)]을 이용하는데, [math((x^2+y^2)=Mp)]를 만족하면서 [math(u\equiv x\pmod{M}, v\equiv y\pmod{M})]가 되는 [math(u,v)]를 찾고, 이를 통해서 [math(u^2+v^2=Mr)]이 되도록 만들어서 두 제곱수 항등식을 적용, [math(\displaystyle \left(\frac{ux+vy}{M}\right)^2+\left(\frac{vx-uy}{M}\right)^2=rp)]를 만든 뒤, 이런 식으로 계속 반복 적용하면 어느 순간 [math(p)]의 계수인 [math(M, r\cdots)]은 1로 수렴하게 되어[2] [math(p)]를 두 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명할 수 있게 되는 방식.투에 보조정리(Thue's lemma)를 사용하는 방법이 있는데, 이건 비둘기 집의 원리의 수론적 재해석으로 나오는 보조정리를 이용한 방식이다.
리하르트 데데킨트는 1877년에 가우스 정수 [math(\mathbb{Z}[i])]를 바탕으로 하는 두 가지 증명법을 발표한다.[3] 현대대수학 과목의 환론과 체론에 대한 고급 이론에서 가우스 정수에 대해 배우면서 데데킨트의 증명을 소개하기도 한다. 그 중에서 2차 잉여를 이용한 증명법을 다음에 소개한다.
| 데데킨트의 가우스 정수와 2차 잉여를 이용한 증명법 [math(p\equiv -1\pmod{4})]의 경우는 [math(a, b)]를 4에 대한 법으로 나눠서 케이스를 판별하면 알 수 있다. [math(k\equiv \pm1\pmod{4})]의 경우 [math(k^2\equiv 1\pmod{4})]이며 [math(k\equiv 0\pmod{2})]라면 [math(k^2\equiv 0\pmod{4})]이므로 두 제곱수의 합은 4에 대하여 0, 1, 2중 하나와 합동일 수밖에 없으므로, -1. 즉 3과 합동일 수 없기에 [math(p\equiv 1\pmod{4})]에 대해서만 증명하면 된다. [math(p\equiv 1\pmod{4})]인 소수 [math(p)]에 대한 2차 잉여를 고려하자. [math(\displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}})]이고, [math(p\equiv 1\pmod{4})]이므로 [math(\displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right)=1)]. 따라서 [math(m^2 \equiv -1\pmod{p})]를 만족하는 정수 [math(m)]이 존재함을 알 수 있다. 가우스 정수는 다행히 유일 인수 분해 정역(UFD)이며, 따라서 소인수분해가 존재한다면 유일하다. 즉, [math(p\equiv 1\pmod{4})]이면 [math(p=m^2+1)]인 [math(m)]이 존재하며, 따라서 [math(p=(m+i)(m-i))]로 인수분해될 수 있다. 그런데 [math(p\equiv 1\pmod{4})]는 [math(m+i)]와 [math(m-i)]의 허수부를 나눌 수 없기에 약수가 아니지만 [math(m^2+1)]을 나누므로 [math(p)]는 가우스 소수가 될 수 없다.[4] 그렇다면 [math(p)]는 자명하지 않은 인수분해를 가지게 될텐데, 가우스 정수가 복소수이므로 다음 함수 [math(N(a+bi)=a^2+b^2)]이라는 함수를 정의하자. 이 [math(N(z))]는 [math(z)]의 자기 자신에 대한 에르미트 내적. 즉 [math(\left<z, z\right>=z\overline{z})]으로 정의되며, 따라서 [math(N(a+bi)=(a+bi)\overline{(a+bi)})]로 인수분해할 수 있다. 여기서 [math(p)]가 자명하지 않은 인수분해를 가진다면 [math(p=N(a+bi)=(a+bi)\overline{(a+bi)})]의 형태로 인수분해가 될테고, 따라서 [math(p \equiv 1\pmod{4})]는 [math(a^2+b^2)]의 형태로 표현할 수 있다. |
[1] 덧붙이자면 르장드르가 제시한 것은 해석적 정수론 계열임에 반해, 본문에서 설명하고 있는 것은 대수적 정수론에 가깝다.[2] [math(M, r\cdots)]은 각 항마다 절반 이하로 줄어든다는 것을 쉽게 보일 수 있기에 상당히 빠르게 수렴하게 된다.[3] 가우스 정수에서 [math(a^2+b^2)] 꼴로 표현이 가능한 정수는 [math(a^{2}+b^{2}=-i\left(a+bi\right)\left(b+ai\right))]의 꼴로 인수분해가 되기 때문에 정수체에서는 소수더라도 가우스 정수체에서는 소수가 아닌데, [math(p=4n+3)] 꼴의 소수는 그대로 가우스 소수로 옮겨진다. 즉, 두 제곱수 정리는 가우스 정수에서는 가우스 소수가 될 수 있는 소수와 그렇지 못한 일반 소수의 차이의 성질로 드러나는 것.[4] 이해가 힘들다면 정수로 생각해보자. [math(\gcd(a,b)=1)]인 두 정수 [math(a, b \neq 1)]가 있다고 하자. 이 때, [math(a^2)]과 [math(b^2)]을 [math(ab)]가 나누지 못하지만, [math(a^2 b^2)]은 [math(ab)]로 나누어진다. 그러면 자명하게도 [math(ab)]는 합성수일 수밖에 없다.