특수각

<rowcolor=#fff> '기하학·위상수학 Geometry·Topology '
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고.
기본 대상
공리		유클리드 기하학 · 비유클리드 기하학
도형	기본 도형	평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · 구 (공 모양) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 (정다면체) · 정사영 · 대칭(선대칭 · 점대칭)
	곡면	타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
	프랙털 도형	시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형(멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
	기타	다포체 · 초구 · 준구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요 토픽
대수기하학		대수다양체 · 층 · 스킴(여러가지 사상) · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 타원곡선
미분기하학		미분다양체 · 측지선 · 곡률(스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간(쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간(구면삼각형) · 아핀접속
위상수학	위상 공간	유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 거리공간 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선 · 조르겐프라이 직선
	위상도형	사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭(/목록)
	주요 성질·정리	분리공리 · 우리손 거리화정리(우리손 보조정리) · 베르 범주 정리 · 부동점 정리
대수적 위상수학		호모토피 · 기본군 · 피복공간 · 사슬 복합체 · 호몰로지 이론(호몰로지 · 코호몰로지) · 사상류 군 · 닐센-서스턴 분류 · 호프대수
기타		차원 · 좌표계 · 거리함수 · 그물 · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 · 사이클로이드
정리·추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 페르마의 마지막 정리 · 호지 추측^미해결 · 버치-스위너턴다이어 추측^미해결 · 아르놀트 추측^미해결
분야
논증기하학 · 대수기하학 · 미분기하학 · 해석 기하학 · 매듭이론 · 프랙털 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석			}}}}}}}}}

1. 개요2. 목록

2.1. 02.2. π/6 (30°)2.3. π/4 (45°)2.4. π/3 (60°)2.5. π/2 (90°, 직각)2.6. 2π/3 (120°)2.7. 3π/4 (135°)2.8. 5π/6 (150°)2.9. π (180°, 평각)2.10. 3π/2 (270°)2.11. 2π, τ (360°)2.12. 작도가 가능한 각

2.12.1. 3등분 작도가 가능한 각

3. 허수단위 i4. 관련 문서

1. 개요

特殊角 · special angle

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.

크게 [math([0, 2\pi])]([math(\pi)]는 원주율)를 주치로 하는 범위 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png

[math(\sin\theta=\pm\dfrac{\sqrt n}2\;(n=0, 1, 2, 3, 4) )]이 성립하는 각을 도식화한 것. 나머지는 유도 가능.

2. 목록

2.1. 0

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각비는 우극한이 존재하나, 삼각함수값은 존재한다.

[math(\sin0=0)]
[math(\cos0=1)]
[math(\tan0=0)]
[math(\csc0)]은 정의되지 않는다. [math(\biggl(\dfrac10\biggr))]
[math(\sec0=1)]
[math(\cot0)]은 정의되지 않는다. [math(\biggl(\dfrac10\biggr))]

2.2. π/6 (30°)

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.

[math(\sin\dfrac\pi6=\dfrac12)]
[math(\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2)]
[math(\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3})]
[math(\csc\dfrac\pi6=2)]
[math(\sec\dfrac\pi6=\dfrac2{\sqrt3})]
[math(\cot\dfrac\pi6=\sqrt3)]

2.3. π/4 (45°)

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[1][2]

[math(\sin\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2})]
[math(\cos\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2})]
[math(\tan\dfrac\pi4=1)]
[math(\csc\dfrac\pi4=\sqrt2)]
[math(\sec\dfrac\pi4=\sqrt2)]
[math(\cot\dfrac\pi4=1)]

2.4. π/3 (60°)

정삼각형의 한 내각의 크기다.

[math(\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2)]
[math(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12)]
[math(\tan\dfrac\pi3=\sqrt3)]
[math(\csc\dfrac\pi3=\dfrac2{\sqrt3})]
[math(\sec\dfrac\pi3=2)]
[math(\cot\dfrac\pi3=\dfrac1{\sqrt3})]

2.5. π/2 (90°, 직각)

直角 · right angle

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름 아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.

삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관없는 미적분에서 더 많이 쓰여서 그렇지...

[math(\sin\dfrac\pi2=1)]
[math(\cos\dfrac\pi2=0)]
[math(\tan\dfrac\pi2)]는 정의되지 않는다.[math(\biggl(\dfrac10\biggr))]
[math(\csc\dfrac\pi2=1)]
[math(\sec\dfrac\pi2)]는 정의되지 않는다. [math(\biggl(\dfrac10\biggr))]
[math(\cot\dfrac\pi2=0)]

2.6. 2π/3 (120°)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.

라그랑주점, 삼차방정식 [3]을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.

[math(\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2)]
[math(\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12)]
[math(\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3)]
[math(\csc\dfrac{2\pi}3=\dfrac2{\sqrt3})]
[math(\sec\dfrac{2\pi}3=-2)]
[math(\cot\dfrac{2\pi}3=-\dfrac1{\sqrt3})]

2.7. 3π/4 (135°)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다. 정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.

[math(\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac1{\sqrt2})]
[math(\cos\dfrac{3\pi}4=-\dfrac1{\sqrt2})]
[math(\tan\dfrac{3\pi}4=-1)]
[math(\csc\dfrac{3\pi}4=\sqrt2)]
[math(\sec\dfrac{3\pi}4=-\sqrt2)]
[math(\cot\dfrac{3\pi}4=-1)]

2.8. 5π/6 (150°)

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.

[math(\sin\dfrac{5\pi}6=\dfrac12)]
[math(\cos\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{\sqrt3}2)]
[math(\tan\dfrac{5\pi}6=-\dfrac1{\sqrt3})]
[math(\csc\dfrac{5\pi}6=2)]
[math(\sec\dfrac{5\pi}6=-\dfrac2{\sqrt3})]
[math(\cot\dfrac{5\pi}6=-\sqrt3)]

2.9. π (180°, 평각)

#!if 넘어옴1 != null
'''180도'''{{{#!if 넘어옴2 == null
{{{#!if 넘어옴1[넘어옴1.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴1[넘어옴1.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴1[넘어옴1.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴1[넘어옴1.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴1[넘어옴1.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴1[넘어옴1.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}{{{#!if 넘어옴2 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴3 == null
{{{#!if 넘어옴2[넘어옴2.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴2[넘어옴2.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴2[넘어옴2.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴2[넘어옴2.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴2[넘어옴2.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴2[넘어옴2.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴3 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴4 == null
{{{#!if 넘어옴3[넘어옴3.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴3[넘어옴3.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴3[넘어옴3.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴3[넘어옴3.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴3[넘어옴3.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴3[넘어옴3.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴4 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴5 == null
{{{#!if 넘어옴4[넘어옴4.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴4[넘어옴4.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴4[넘어옴4.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴4[넘어옴4.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴4[넘어옴4.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴4[넘어옴4.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴5 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴6 == null
{{{#!if 넘어옴5[넘어옴5.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴5[넘어옴5.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴5[넘어옴5.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴5[넘어옴5.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴5[넘어옴5.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴5[넘어옴5.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴6 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴7 == null
{{{#!if 넘어옴6[넘어옴6.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴6[넘어옴6.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴6[넘어옴6.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴6[넘어옴6.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴6[넘어옴6.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴6[넘어옴6.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴7 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴8 == null
{{{#!if 넘어옴7[넘어옴7.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴7[넘어옴7.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴7[넘어옴7.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴7[넘어옴7.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴7[넘어옴7.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴7[넘어옴7.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴8 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴9 == null
{{{#!if 넘어옴8[넘어옴8.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴8[넘어옴8.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴8[넘어옴8.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴8[넘어옴8.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴8[넘어옴8.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴8[넘어옴8.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴9 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴10 == null
{{{#!if 넘어옴9[넘어옴9.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴9[넘어옴9.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴9[넘어옴9.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴9[넘어옴9.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴9[넘어옴9.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴9[넘어옴9.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}}}}}{{{#!if 넘어옴10 != null
, ''''''{{{#!if 넘어옴10[넘어옴10.length - 1] >= 0xAC00 && 넘어옴10[넘어옴10.length - 1] <= 0xD7A3
{{{#!if ((넘어옴10[넘어옴10.length - 1] - 0xAC00) % 28) == 0
는}}}{{{#!if ((넘어옴10[넘어옴10.length - 1] - 0xAC00) % 28) != 0
은}}}}}}{{{#!if 넘어옴10[넘어옴10.length - 1] < 0xAC00 || 넘어옴10[넘어옴10.length - 1] > 0xD7A3
은(는)}}}}}} 여기로 연결됩니다.

#!if 설명 == null && 리스트 == null
{{{#!if 설명1 == null
다른 뜻에 대한 내용은 아래 문서를}}}{{{#!if 설명1 != null
{{{#!html 벤의 노래}}}에 대한 내용은 [[180도(벤)]] 문서{{{#!if (문단1 == null) == (앵커1 == null)
를}}}{{{#!if 문단1 != null & 앵커1 == null
의 [[180도(벤)#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단1 == null & 앵커1 != null
의 [[180도(벤)#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명2 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단2 == null) == (앵커2 == null)
를}}}{{{#!if 문단2 != null & 앵커2 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단2 == null & 앵커2 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명3 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단3 == null) == (앵커3 == null)
를}}}{{{#!if 문단3 != null & 앵커3 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단3 == null & 앵커3 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명4 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단4 == null) == (앵커4 == null)
를}}}{{{#!if 문단4 != null & 앵커4 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단4 == null & 앵커4 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명5 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단5 == null) == (앵커5 == null)
를}}}{{{#!if 문단5 != null & 앵커5 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단5 == null & 앵커5 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명6 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단6 == null) == (앵커6 == null)
를}}}{{{#!if 문단6 != null & 앵커6 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단6 == null & 앵커6 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명7 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단7 == null) == (앵커7 == null)
를}}}{{{#!if 문단7 != null & 앵커7 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단7 == null & 앵커7 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명8 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단8 == null) == (앵커8 == null)
를}}}{{{#!if 문단8 != null & 앵커8 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단8 == null & 앵커8 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명9 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단9 == null) == (앵커9 == null)
를}}}{{{#!if 문단9 != null & 앵커9 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단9 == null & 앵커9 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}{{{#!if 설명10 != null
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 [[]] 문서{{{#!if (문단10 == null) == (앵커10 == null)
를}}}{{{#!if 문단10 != null & 앵커10 == null
의 [[#s-|]]번 문단을}}}{{{#!if 문단10 == null & 앵커10 != null
의 [[#|]] 부분을}}}}}}

#!if 설명 == null
{{{#!if 리스트 != null
다른 뜻에 대한 내용은 아래 문서를}}} 참고하십시오.

#!if 리스트 != null
{{{#!if 문서명1 != null
 * {{{#!if 설명1 != null
벤의 노래: }}}[[180도(벤)]] {{{#!if 문단1 != null & 앵커1 == null
문서의 [[180도(벤)#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단1 == null & 앵커1 != null
문서의 [[180도(벤)#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명2 != null
 * {{{#!if 설명2 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단2 != null & 앵커2 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단2 == null & 앵커2 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명3 != null
 * {{{#!if 설명3 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단3 != null & 앵커3 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단3 == null & 앵커3 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명4 != null
 * {{{#!if 설명4 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단4 != null & 앵커4 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단4 == null & 앵커4 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명5 != null
 * {{{#!if 설명5 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단5 != null & 앵커5 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단5 == null & 앵커5 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명6 != null
 * {{{#!if 설명6 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단6 != null & 앵커6 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단6 == null & 앵커6 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명7 != null
 * {{{#!if 설명7 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단7 != null & 앵커7 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단7 == null & 앵커7 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명8 != null
 * {{{#!if 설명8 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단8 != null & 앵커8 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단8 == null & 앵커8 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명9 != null
 * {{{#!if 설명9 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단9 != null & 앵커9 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단9 == null & 앵커9 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}{{{#!if 문서명10 != null
 * {{{#!if 설명10 != null
: }}}[[]] {{{#!if 문단10 != null & 앵커10 == null
문서의 [[#s-|]]번 문단}}}{{{#!if 문단10 == null & 앵커10 != null
문서의 [[#|]] 부분}}}}}}

2.10. 3π/2 (270°)

직사각형의 바깥쪽 각이다.

[math(\sin\dfrac{3\pi}2=-1)]
[math(\cos\dfrac{3\pi}2=0)]
[math(\tan\dfrac{3\pi}2)]는 정의되지 않는다. [math(\biggl(\dfrac10\biggr))]
[math(\csc\dfrac{3\pi}2=-1)]
[math(\sec\dfrac{3\pi}2)]는 정의되지 않는다. [math(\biggl(\dfrac10\biggr))]
[math(\cot\dfrac{3\pi}2=0)]

2.11. 2π, τ (360°)

2.12. 작도가 가능한 각

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30°, 60°, 45°가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.

15°: 45°와 30°가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15°도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15°, 75°도 특수각 범주에 넣기도 한다.

[math(\sin\dfrac\pi{12}=\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4)]
[math(\cos\dfrac\pi{12}=\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4)]

72°: 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360°/5=72°는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.[4]

[math(\sin\dfrac\pi{10}=\cos\dfrac{2\pi}5=\dfrac{\sqrt5-1}4=\dfrac1{2\varphi})]
[math(\sin\dfrac\pi5=\cos\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{3-\varphi}}2)]
[math(\sin\dfrac{3\pi}{10}=\cos\dfrac\pi5=\dfrac{\sqrt5+1}4=\dfrac\varphi2)]
[math(\sin\dfrac{2\pi}5=\cos\dfrac\pi{10}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4=\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}2)]

3°: 72°와 60°가 작도 가능하므로, 12° 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6°를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3° 역시 작도 가능하다. 간단히는 72°와 75°를 작도해도 된다. 다시 말해 3°의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.

1.5°, 0.75° , 0.375° ... : 3°를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.

[math(\dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{360\degree}{17})] (약 21.1764705882°): 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2ⁿ배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[5]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[6]은 작도 불가능하다. 이들은 유클리드 작도일때 얘기이며 종이접기나 뉴시스 작도로 범위를 넓히면 7, 9, 11, 13, 17, 19각형 등도 작도 가능하다. 다만 종이접기나 뉴시스 작도로도 23각형 등 작도가 불가능한 경우도 있다. 다만 유클리드, 종이접기, 뉴시스 작도가 불가능하더라도 root of unity의 성질에 따라서 모든 다각형은 거듭제곱근의 꼴로 나타낼 수는 있다. 다만 작도 가능한 수에서는 비교적 깔끔한 형태로 나타낼 수 있지만, 작도 불가능한 수에서는 환원 불능이라고 해서 값은 실수임이 확실하지만 허수단위를 없앨 수 없는 끔찍한 일이 벌어진다.

2.12.1. 3등분 작도가 가능한 각

특수각 중 45도, 72도, 90도 등은 작도가 가능하다. 그러나 30도, 60도 등은 작도가 불가능하다.

3. 허수단위 i

복소삼각함수를 이용해 허수 각을 생각해 볼 수도 있다. 허수를 취한 삼각함수는 쌍곡선 함수로 나타낼 수 있다. 아래 항등식에서 [math(e)]는 자연로그의 밑이다.

[math(\sin i=i\sinh1=\dfrac{e-e^{-1}}2i=\dfrac{e^2-1}{2e}i)]
[math(\cos i=\cosh1=\dfrac{e+e^{-1}}2=\dfrac{e^2+1}{2e})]
[math(\tan i=\dfrac{i\sinh1}{\cosh1}=\dfrac{e^2-1}{e^2+1}i)]
[math(\csc i=\dfrac1{i\sinh1}=-\dfrac2{e-e^{-1}}i=-\dfrac{2e}{e^2-1}i)]
[math(\sec i=\dfrac1{\cosh1}=\dfrac2{e+e^{-1}}=\dfrac{2e}{e^2+1})]
[math(\cot i=\dfrac{\cosh1}{i\sinh1}=-\dfrac{e^2+1}{e^2-1}i)]

4. 관련 문서

삼각함수
환원 불능 - 특수각이 아닌 각인 경우 각 혹은 삼각함수의 값이 환원 불능이다.

[1] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 [math(v_0)], 발사각을 [math(\theta)], 중력가속도를 [math(g)], 입자의 최대 수평도달거리를 [math(R)]이라 하면 [math(R=\dfrac{{v_0}^2\sin2\theta}g)]이다. [math(0\degree<\theta<90\degree)]일 때 [math(0<\sin2\theta\le1)]이고 [math(\sin2\theta=1)]이 되도록 하는 [math(2\theta=90\degree)]이므로 [math(\theta=45\degree)]이다.[2] 공기 저항이 있는 현실에서는 [math(\dfrac\pi4)]보다 낮게 던져야 더 멀리 날아가며 대부분 30-45도 사이로 던져야한다.[3] 1의 세제곱근이 120°의 삼각함수의 값 두 개에서 유도되기 때문이다.
[math(\sqrt[3]1=1~{\sf or}~\cos120\degree\pm i\sin120\degree)][4] 아래 식에서 [math(\varphi)]는 황금비이다.[5] 정15(=3×5)각형, 정408(=2³×3×17)각형, 정8224(=2⁵×257)각형 등등[6] 정27(=3³)각형, 정225(=3²×5²)각형, 정1156(=2²×17²)각형 등등

특수각

1. 개요

2. 목록

2.1. 0

2.2. π/6 (30°)

2.3. π/4 (45°)

2.4. π/3 (60°)

2.5. π/2 (90°, 직각)

2.6. 2π/3 (120°)

2.7. 3π/4 (135°)

2.8. 5π/6 (150°)

2.9. π (180°, 평각)

2.10. 3π/2 (270°)

2.11. 2π, τ (360°)

2.12. 작도가 가능한 각

2.12.1. 3등분 작도가 가능한 각

3. 허수단위 i

4. 관련 문서

분류