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1. 개요
일반 상대성 이론에서 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metric, FLRW 계량)[1]은 공간에 대한 균질성과 등방성을 만족시키는 계량 텐서장으로, 물리 우주론에서 우주의 기하학적 특성을 설명하기 위한 기초 모형이다.2. 내용
FLRW 계량은 일반 상대성 이론의 이론적 프레임 내에서 현재 알려진 우주의 기하학적, 혹은 운동학적 특성(우주 원리, 허블-르메트르 법칙, 공간의 곡률)을 충분히 담아낼 수 있도록 일반화된 모형이다. 예를 들어 아인슈타인의 실린더 계량(정적 우주론 참고)은 FLRW 계량의 특수한 경우로 우주 원리를 만족시키지만 허블-르메트르 법칙은 표현할 수 없다.FLRW 계량의 형태는 다음과 같다.
| [math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])] |
FLRW 계량의 매개변수는 [math(k)], [math(a(t))] 단 두 개이다. 이는 우리가 생각할 수 있는 모든 종류의 우주가 이 두 개의 인자만으로 결정됨을 의미한다. 전체 우주를 각각의 시각에 우주 공간이 하나씩 대응된 것으로 생각했을 때 [math(k)]는 각 우주 공간의 곡률을 뜻하며, [math(a(t))]는 (현 시점과 비교한) 우주 공간의 상대적 크기를 나타내는 척도 인자(scale factor)를 뜻한다.
[math(k)]는 다시 적당한 좌표를 설정하여 [math(-1, 0, +1)] 세 개 중 하나의 값을 갖도록 할 수 있다. 각각은 음의 곡률, 0의 곡률, 양의 곡률을 나타내며, 각각 열린 우주(open universe), 평평한 우주(flat universe), 닫힌 우주(closed universe)라 부른다. [math(k)]는 한 번 정해지면 모든 시점의 우주 공간의 곡률을 결정하며, 따라서 이들은 서로 닮은 형태이다. 다른 점은 좌표 차이에 대응되는 길이의 척도, 즉 [math(a(t))] 뿐이다.
우주의 단위 길이를 정해주는 [math(a(t))]가 시간의 함수인 것은, 우주 공간이 시간에 따라 (형태를 유지한 채) 팽창하거나 수축할 수 있음을 나타낸 것으로, 허블-르메트르 법칙과 직결되어 있다. FLRW 계량에서는 허블-르메트르 법칙을, 우주 좌표계 상의 고정된 점, 즉 좌표계 상에서 정지한 점들의 관계에 관한 것으로 본다. 예를 들어, 지구를 좌표계의 원점에 두고 그로부터 좌표가 [math(r)]만큼 떨어진 점 사이의 거리는 다음과 같다.
[math(\displaystyle d = \int^{r}_{0}a(t)dr = a(t)r)] [2]
양변을 (우주 좌표계의) 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \dot{d} =: v = \dot{a}(t)r = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\times a(t)r = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}d )]
여기에서 [math(\displaystyle H(t) := \frac{\dot{a}(t)}{a(t)})]라 두고 [math(H_0 := H(t_0))]이라 하면 ([math(t_0)]은 현재의 시간을 나타낸다), 척도 인자 [math(a(t))]와 허블-르메트르 법칙의 관계를 단번에 알 수 있다.
[math(\displaystyle v = H_0d)]
우주가 팽창한다는 사실은 따라서 [math(\dot{a}(t)>0)], 즉 [math(a(t))]가 시간에 따라 증가하는 것과 대응된다.
그런데 이와 같이 하면 [math(d)]를 계속 증가시켰을 때 언젠가는 [math(v)]가 광속을 뛰어넘게 된다. (관측가능한 우주 안에서 충분히 가능한 일이다.) 이는 전역적인 우주 좌표계의 시간이 국소적인 관성 좌표계의 시간과 정확하게 대응되는 개념이 아니기 때문에 발생하는 문제이다. 거리가 멀어질수록 시간(동시)의 개념은 점점 모호해지며, 따라서 우주론을 엄밀하게 전개하기 위해서는 (특히 우주론적으로 먼 거리에 대해서는) 직접 관측할 수 없는 외부 은하의 겉보기 속도 대신, 그로부터 우리에게 직접 도달하는 (따라서 관측이 가능한) 빛의 적색편이로 바꾸어 보아야 한다.
3. 유도
현대 우주론의 대전제인 우주 원리(cosmological principle)에 따르면, 우주는 거시적 수준에서 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정할 수 있다. 이는 우주의 구성 물질 뿐 아니라 우주 배경을 나타내는 시공간 또한 그러해야 한다.여기에, 관측 법칙인 허블-르메트르 법칙을 추가할 수 있다. 허블-르메트르 법칙은 표면적으로 외부 은하의 속도에 대하여 말하고 있지만, 이론적으로 후퇴 속도가 외부 은하들의 실제 속도에 대응될 필요는 없다. 각각의 외부 은하는 국소적인 무작위 속도를 가지기 때문이다. 여기에서 허블-르메트르 법칙의 대상은 가상의 국소적인 정지 좌표계(local rest frame)의 속도로 보아야 한다. 이것을 실질적으로는 각각의 점에서 우주배경복사(CMB)가 정지한 좌표계로 해석할 수 있다.
위의 전제들을 좀 더 구체적으로 표현하면 다음과 같다.
1. 시공간을 각각의 시간 [math(t)]에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면 [math(\Sigma_t)]로 나눌 수 있다. 이는 우리가 사용할 우주 좌표계의 동시성을 정의한다. (특수 상대성 이론에 따라, 다른 동시성에서는 이 전제가 깨질 수 있다. 우리는 우주 원리가 성립하는 특수하고 간편한 좌표계를 원한다.)
2. 위와 같이 정의된 동시성에서 각각의 국소적 정지 좌표계는 국소적 영역 안에서 서로 허블-르메트르 법칙을 잘 따른다. 이 좌표계들은 (1에서 정의된 동시성을 따르는) 우주 좌표계에서 고정된 공간 좌표 [math(\{x^i : i=1, 2, 3\})]를 가진다.
2. 위와 같이 정의된 동시성에서 각각의 국소적 정지 좌표계는 국소적 영역 안에서 서로 허블-르메트르 법칙을 잘 따른다. 이 좌표계들은 (1에서 정의된 동시성을 따르는) 우주 좌표계에서 고정된 공간 좌표 [math(\{x^i : i=1, 2, 3\})]를 가진다.
이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다.
[math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})]
따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][3]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[4] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다.
이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은
[math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)]
으로 주어진다. 여기에는 균질성 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. 이 자체는 우주의 균질성을 만족시키기 위한 필요조건이지만, 결과적으로 충분조건이 된다. 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면
[math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)]
라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다(딱봐도 스칼라 곡률의 배수이다. 아인슈타인 방정식의 비례상수 [math(\kappa)]와 혼동하지 말 것). 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.)
| [math(k)] | 치환 | 초곡면 계량 | 우주 모델 |
| [math(k = 0)] | - | [math(dl^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2 d\Omega^2))] | 평평한 우주 |
| [math(k = 1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 - r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sin}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 닫힌 우주 |
| [math(k = -1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 + r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sinh}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 열린 우주 |