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1. 개요
일반 상대성 이론에서 아인슈타인 방정식(Einsteinsche Feldgleichungen / Einstein field equations / Einstein 方程式)은 알베르트 아인슈타인이 1915년에 발표한, 시공간의 곡률과 물질 분포의 관계를 설명하는 방정식이다. 물리적 관점에서는 물질이 주변 공간에 만드는 중력장을 계산하기 위한 현대적[1] 중력장 방정식이다.2. 설명
아인슈타인의 가장 유명한 등식은 단연 [math(E=mc^2)]이지만, 물리학에서 말하는 아인슈타인 방정식은 이쪽이다(사실 전자는 방정식이 아니다). 이 방정식의 보다 정확한 이름은 아인슈타인 "장"방정식으로, 일반 상대론에서 질량의 분포로부터 주변 공간에 형성되는 중력장을 구체적으로 계산하기 위해 쓰이는 방정식이다. 따라서 중력에 있어서 전자기학의 맥스웰 방정식과 동일한 위상을 갖는다. 아인슈타인 방정식에는 일반 상대론의 거의 모든 것이 함축되어 있다. 여기에서는 이 방정식의 몇가지 기초적인 속성에 대해 설명한다.- 중력과 기하학의 연결
| [math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu})] |
| 좌변 시공간 관련 항 | 우변 물질 관련 항 |
| [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})] : 아인슈타인 텐서 ([math(R_{\mu\nu})] : 리치 텐서, [math(R)] : 스칼라 곡률) [math(g_{\mu\nu})] : 메트릭 텐서 [math(\Lambda)] : 우주 상수 | [math(T_{\mu\nu})] : 스트레스-에너지 텐서 [math(G)] : 중력상수 [math(c)] : 광속 |
원천(source)이 원인이 되고 장이 결과가 된다는 고전적 이해를 받아들이면, 이 방정식의 요지는 물질-에너지가 시공간의 기하학적 특성, 즉 곡률을 결정짓는다라고 할 수 있다. 또한, 비례 상수 [math(8\pi \boldsymbol{G}/c^4)]은 이 방정식과 고전적인 중력장 방정식(푸아송 방정식)의 연관성을 보여준다.
아인슈타인 방정식은 겉보기에 매우 간단한 형태이지만, 각각의 항에는 매우 많은 정보가 숨겨져 있으며 수학적으로도 고도로 비선형적(non-linear)이어서 실제로 풀려면 복잡하다. 사실, 방정식을 제대로 다루려면 미분 기하학적 지식이 충분히 담보되어야 한다. 우선, 양변의 각 양은 2차 텐서장이기 때문에 텐서에 관한 지식이 기본적으로 요구된다. 또한 일반 상대론의 핵심이 되는 좌변의 "[math(G_{\mu\nu})]"를 만들기 위해서는 내재적 곡률에 관한 개념적 이해를 시작으로, 그것을 수량화하기 위해 메트릭 텐서, 공변 도함수, 리만 곡률 텐서까지 차례로 개념을 쌓아 나가야 한다. 물질과 에너지를 표현하는 텐서 [math(T_{\mu\nu})]는 특수 상대론에서도 사용하는 개념이지만 이 역시 이해가 만만치 않다. 따라서 제대로 문서를 읽으려면 미분 기하학에 관한 사전 학습이 사실상 필수적이다. 일반 상대성 이론의 기초 수학 문서를 참고할 수도 있다.
- 아인슈타인 방정식의 해
[math(\displaystyle \begin{pmatrix} g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03} \\ g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13} \\ g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23} \\ g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33} \end{pmatrix})]
메트릭 텐서장과 중력 퍼텐셜 장을 비교하면 다음과 같다. 먼저, 메트릭 텐서의 성분은 16개, 중력 퍼텐셜은 스칼라장이므로 성분은 1개이다. 이는 기본적으로 중력장의 결정에 필요한 방정식의 개수에 차이를 만든다. 아인슈타인 방정식은 16개이며, 고전 중력장 방정식은 1개이다. 이 때문에 중력장의 원천(source)에 적합한 양도 달라지는데, 일반 상대론에서 중력원은 2차 텐서인 스트레스-에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})], 고전 역학에서 중력원은 스칼라인 질량 밀도 [math(\rho)]가 된다. 스트레스-에너지 텐서에는 기존의 질량-에너지 밀도 뿐만 아니라, 압력과 전단 응력도 포함되며 사실상 시공간 자체를 제외한 모든 물질적 요소는 중력의 원천으로써 작용한다.
일반적으로 "장 방정식"으로부터 얻은 해의 구체적인 의미를 확인하기 위해서는 장의 작용 방식을 정의해주는 "운동 방정식"이 필요하다. 일반 상대론에서는 중력장(왜곡된 시공간) 위에 놓인 입자가 시공간 상의 측지선(geodesic; 평평한 공간에서의 직선을 일반화한 가장 똑바른 선)을 따라 나아간다고 자연스럽게 정의할 수 있다. 전자기학에는 맥스웰 방정식과 로런츠 힘이 있다면, 일반 상대론에는 아인슈타인 방정식과 측지선 방정식이 있는 셈이다. 종합하자면, 일반 상대론에서 중력 작용은 물질이 만들어낸 시공간 곡률을 따라 입자들이 최대한 직진하면서 만드는 궤적으로 설명할 수 있다. 고전 중력장 이론은 시공간의 곡률이 작고 중력장에 놓인 입자의 속도가 매우 느리다고 가정했을 때 얻어진다.
특수 상대론에서는 메트릭 텐서가 다음과 같은 상수함수로 주어진다(혹은, 메트릭 텐서가 다음과 같은 좌표계-관성 좌표계-가 존재한다). 이 때 입자들의 운동은 관성의 법칙을 따른다. 즉, 중력장이 존재하지 않는 것과 같다.
[math(\displaystyle \begin{pmatrix} -c^2&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix})]
특수 상대론은 애초에 아인슈타인 방정식을 도입하지 않는다. 즉, 물질이 시공간에 미칠 영향을 무시하고 시공간은 평평하다고 가정한다. 일반 상대론에서 이는 시공간이 완전히 텅 비어있을 때 얻어지는 해이다. 이것 자체가 이상적인 가정이고, 사실 우주 상수를 도입하면 진공에서도 물질(에너지)이 있는 것처럼 시공간이 약간씩 휘어지기 때문에 실제로는 가능하지 않은 해이다. 하지만 실질적으로 우주공간 대부분에서 중력장은 매우 작으며 평평한 시공간에 가깝다.
- 에너지-운동량의 보존
이 4개의 항등식은 아인슈타인 방정식에 틈을 남겨 모든 해 [math(g_{\mu\nu})]에 언제나 4개의 자유도가 생기게 하는데, 이는 아인슈타인 방정식을 기술하는 4차원 좌표의 완전한 자유성에 해당하여 일반 상대론에 일반 공변성(general covariance)을 부여한다. 선형화 중력에서는 게이지 자유도로 바꾸어 생각할 수 있다.
2.1. 역사
아인슈타인 방정식은 아인슈타인이 중력과 기하학의 관계를 명확히 인지한 이후(1912) 본격적으로 개발에 착수되었다. 그러나 아인슈타인이 방정식을 완성하는 데까지는 많은 어려움과 시행착오가 있었다. 설득력 있는 중력 이론을 제기한다는 것은 단순히 새로운 개념이나 방정식을 제시하는 것뿐만 아니라, 기존의 물리학 개념과의 연관성을 타당도 있게 제시하고 직접 방정식을 풀어서 자신의 이론이 얼마나 실제 세계를 정확하게 기술하는지를 같이 설명하여야 하는 포괄적 작업이기 때문이다. 더구나 정립된지 10여 년 밖에 안 된 미분기하학을 처음으로 중력 문제에 적용해야 하는 개척자 입장에서, 미분 기하학의 복잡하고 생소한 수식들에 올바른 물리적 의미를 부여하는 것은 굉장히 어려운 일이었다. 이 때문에 일반 상대론의 완성은 3년 뒤까지 미뤄졌다.이 과정에서 취리히 공대 시절 친구였던 수학자 마르셀 그로스만(Marcel Grossmann)이 관련 문헌을 찾아주고 몇몇 중요한 제안을 하는 등 많은 도움이 되어 주었다. 새로운 중력 이론의 대부분의 요소들은 비교적 빠르게 구축되었으나, 가장 중요한 중력장 방정식은 유독 어려운 문제였다. 1913년 아인슈타인과 그로스만은 결과적으로 틀린 중력장 방정식을 제시하였는데, 이는 모든 중력 이론의 기준이라고도 할 수 있는 뉴턴 중력을 올바르게 유도하지 못한다거나, 좌표계의 의미를 착각하는 등의 몇 가지 초창기 오류에 따른 것이었다. 이후 아인슈타인이 올바른 중력장 방정식에 도달하는 과정은 그 자체로 흥미로운 주제이나 지엽적인 부분이 많아 자세한 내용은 상대성 이론/역사를 참고한다.
시간이 흘러 미분 기하학에 충분히 익숙해진 아인슈타인은 자신의 기존 방정식에서 오류를 깨닫고, 1915년 11월 전체에 걸쳐 일주일에 한 번씩 논문을 제출하면서 중력장 방정식을 다듬어 나갔다. 뉴턴 중력과의 정합성, 에너지 보존법칙 등의 기존 이론적 문제들이 하나씩 해결되었으며, 특히 3번째 논문에서 수성의 근일점 세차운동 문제가 (추가 행성 없이) 정확하게 풀리면서 아인슈타인은 자신의 방정식이 옳음을 확신했다. 그리고 4번째 논문(11월 25일)에서 방정식에 약간의 수정을 가하면서, 중력장 방정식은 마무리되었다. 결국, 아인슈타인에게 일반 상대론에 대한 결정적 확신을 준 것은 고전 물리학과의 연속성 및 실험과의 정합성이었다. 물론 일반 상대론이 기본적으로 아인슈타인의 깊은 통찰력으로부터 탄생되었음은 간과할 수 없다.
최종적으로 1917년 우주론 관련 문제로 우주 상수 항이 추가되면서 마침내 아인슈타인 방정식은 완결되었다. 이후 100여 년이 지난 지금까지도 아인슈타인 방정식은 수정되지 않은 채로 중력 분야에서 활발하게 쓰이고 있다.
2.2. 활용 범위
아인슈타인 방정식의 활용 범위는 일반 상대성 이론의 활용 범위와 똑같다. 원칙적으로는 중력이 관여되는 모든 상황에 이 방정식이 활용될 수 있다. 다만 방정식을 풀기가 매우 까다로워서 보통은 몇가지 특수한 상황에 대한 해(특수해)를 미리 만들어놓고 거기에 연구되는 상황이 속하는 걸 적용시키는 경우가 많다. 아니면 계산에 슈퍼 컴퓨터를 동원하는 수치 상대론을 활용할 수도 있다.양자역학의 슈뢰딩거 방정식과 마찬가지로 고전 역학이 적용되는 상황에서는 대부분 기존의 중력장 방정식이 유효하지만, 상대론적 상황(빠른 속도, 높은 밀도)에서는 슬슬 이 방정식을 꺼내들어야 한다.
아인슈타인 방정식은 밀도가 크고 무거운 천체를 중심으로 한 중력장(시공간)을 기술하는 슈바르츠실트 해, 라이스너-노르드스트룀 해, 커(Kerr) 해 등을 통해 빛의 적색편이, 중력렌즈효과, 주변 행성들의 궤도(특히, 공전궤도 세차이동)와 블랙홀의 물리적 성질 등을 모두 다룰 수 있다. 매우 작게 요동하는 중력장에 대해서도 방정식을 선형근사시켜 중력파의 물리적 성질과 그 검출 방법에 대해 말해주기도 하며, 심지어 우주 전체에 균일한 공간 기하학을 가정할 경우 나오는 FLRW 해와 프리드만 방정식은 우주 공간의 성질과 진화를 말해주며 허블 법칙 등 다양한 관측 결과들을 잘 설명할 수 있다.
하지만, 이 방정식이 만드는 특이점(유한한 질량이 무한히 작은 영역에 밀집된 것), 특히 블랙홀 중심의 특이점이나 태초 우주의 특이점을 물리학적으로 설명이 불가능하다는 것이 중요한 한계이다. 이것을 설명하기 위해선 매우 작은 요동을 설명하는 양자역학과의 결합이 필수적이지만 현재까지 그러한 시도 중 완벽히 성공한 사례는 보기 어렵다. 이것은 현대 이론 물리학의 최대 숙제 중 하나이다.
2.3. 해의 기하학적 해석
일반 상대론에서 중력장을 기술하는 메트릭 텐서의 기하학적 의미를 살펴보자. 메트릭 텐서는 미분 기하학에서 다루는 주요 개념 중 하나로, 두 벡터의 내적을 계산해준다.[math(\vec{v}\cdot\vec{w} = g_{\mu\nu}v^{\mu}w^{\nu})] |
두 벡터를 같은 것으로 두어, 시공간 상의 각 점에서 정의되어 있는 미소 벡터 [math((dt, dx, dy, dz))]의 크기 [math(ds)]를 계산하는 용도로도 쓰일 수 있다. [math(ds)]는 공간 꼴 벡터의 크기, [math(d\tau)]는 시간 꼴 벡터의 크기이다.
[math(ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = -c^2d\tau^2)] |
이처럼, 각 점에서 벡터의 길이가 구해지는 방식은 [math(g_{\mu\nu})]의 성분에 의존하게 된다. 이것을 선소(line element) 표현이라고 한다. 많은 경우, 아인슈타인 방정식의 해는 이렇게 선소 꼴로 주어진다. 하지만 이는 단순히 메트릭 텐서의 10개의 독립 성분을 나열한 것과 완전히 같은 정보를 보여준다.
이러한 개념을 바탕으로 고전 중력장에 대응되는 다음 뉴턴 극한(Newtonian limit) 해를 살펴보자. 여기에서 [math(\phi=-GM/r)]는 고전 중력 퍼텐셜이다.
| [math(\displaystyle ds^2 = - \biggl(1+\frac{2\phi}{c^2} \biggr)c^2dt^2+\bigg(1-\frac{2\phi}{c^2}\biggr)(dx^2+dy^2+dz^2) = -c^2d\tau^2)] |
가장 먼저, [math(g_{\mu\nu})]와 평평한 시공간 [math(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-c^2, 1, 1, 1))]의 차이 [math(\phi/c^2)]은 매우 작은 값이라는 것에 주목하면 좋다. 이러한 특성은 대부분의 중력 문제에서 중력장을 선형화할 수 있다는 것에 힘을 실어준다. 여기에서는 중심별이 태양이라고 생각할 수 있다.
그리고 앞서 언급했듯이, 이 공식으로부터 각 점에서 벡터의 크기를 계산할 수 있다. 가장 중요한 것은 기저 벡터의 크기를 계산하는 것이다. [math(\vec{e}_t)]는 시간 단위([math(dt=1)])의 크기를 알려주고, [math(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)]는 길이 단위([math(dx=1)] etc.)의 크기를 알려준다. 따라서, 시간 단위와 공간 단위의 크기는 각각 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} d\tau &= \sqrt{1 + 2\frac{\phi}{c^2}} \approx 1 + \frac{\phi}{c^2} \,\,(\text{s}) \\ ds &= \sqrt{1 - 2\frac{\phi}{c^2}} \approx 1 - \frac{\phi}{c^2} \,\,(\text{m}) \end{aligned})] |
이제, 시간 단위와 공간 단위의 크기를 서로 다른 점에서 비교해볼 수 있다. 태양에서부터의 거리, 즉 [math(r)]을 증가시켜보면 [math(\phi)]는 커지면서 [math(0)]에 수렴한다.
공간의 경우 태양으로부터 멀어질수록 좌표격자가 담고 있는 (공간 상의) 부피는 대략 [math((1 - \frac{\Phi}{c^2})^{3} \mathrm m^3)]으로 점점 작아진다. 한편 시간의 경우, 단위 시간이 [math(d\tau = 1 + \frac{\phi}{c^2})]으로 [math(r)]이 증가할수록 커진다. 이는 동일한 사건([math(dt)]가 동일)을 두고, 가까운 곳보다 먼 곳에서 시간이 오래 흐른 것으로 관측함을 의미한다.
궁극적으로는 [math(ds^2 \rightarrow -c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]이 되면서 공간 격자는 평범한 [math(1\mathrm m^3)]짜리 정육면체가 되며, 각 점에서 시간은 [math(1)]초씩 균일하게 흐르게 된다. 이는 특수 상대성 이론의 평평한 시공간에 해당한다. 즉, 태양에서부터 충분히 멀리 떨어지면 평평한 시공간으로 수렴한다.
이러한 논의로 메트릭 텐서의 대략적인 기하학적 의미를 살펴볼 수 있다. 대표적 엄밀해인 슈바르츠실트 시공간도 구조가 거의 같아서 동일한 방식으로 분석할 수 있다. 하지만 한 가지 주의할 점은, 어떤 시공간 지형을 기술하는 좌표계는 4개의 자유도를 가지므로 4차원 좌표계를 아무렇게나 선택할 수 있다는 점이다. 위와 같은 논의는 수많은 가능한 좌표계 중 일부 좌표계에서만 성립하는 것이다. 위의 경우 가장 물리적으로 직관적인 좌표계이기는 하지만 언제나 그렇지는 않음을 주의한다. 사실 당장 뉴턴 극한에서도 [math(r)]은 엄밀히 말해서 태양과의 실제 거리와는 약간 다르다. 좌표계는 각종 계산을 편리하게 만들어주지만 일반적으로 그 자체로 물리적 의미를 담고 있는 것은 아니다. 결국 시공간 상의 두 점 간에 이루어지는 상호작용을 정확하게 분석하는 데에는 단순히 좌표계의 눈금값을 읽는 것이 아니라 빛을 직접 전송시켜보거나, 입자의 경로(측지선)의 처음과 끝을 살펴보는 등의 구체적인 기법이 요구된다.
3. 표현
아인슈타인 방정식의 표현은 부호 설정, 단위계 선택, 우주 상수의 도입 여부에 따라 다양하게 나타날 수 있다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu})]
3.1. 부호 규약
연구자, 혹은 분야에 따라 계량 텐서, 리만 텐서, 아인슈타인 텐서의 부호를 다음과 같이 선택함(부호 규약, sign convention)으로써 일반 상대성 이론의 전반적인 표기 부호가 달라진다. 다음은 MTW의 Gravitation(1973)에서 정리한 방식이다. 문서의 표기는 전반적으로 MTW가 따르는 LLSC(Landau-Lifshitz Spacelike Convention, 1962), 즉 ( space-like / + / + )를 따르고 있다. [2](2) 리만 텐서 : [math(+\,R^{\alpha}_{\,\,\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\nu\beta} - \Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu})]
(3) 아인슈타인 텐서 : [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = + \kappa T_{\mu\nu})]
이때, (2)와 (3)은 [math(+\,R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\mu\alpha\nu})]로 상호 호환된다.
3.2. 단위계
어떤 단위계를 사용하느냐에 따라서도 모양이 달라질 수 있다. 원칙적으로, [math(\displaystyle \kappa = 8 \pi G / c^4)]이므로[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}T_{\mu\nu})]
이다. 다만, 실제 사용 시에는 거의 이렇게 쓰지 않는다. 특수 상대론에서처럼, 광속 [math(c)]의 존재는 매우 계산을 번거롭게 한다. 따라서 [math(c = 1)]이라 두고 나중에 단위를 맞춰서 [math(c^2, c^4)] 등을 곱하는 방식으로 후처리를 하는 방식을 사용할 수 있다.
[math(G_{\mu\nu} = 8 \pi G\,T_{\mu\nu})]
일반 상대론에서는 추가로 중력 상수 [math(G)] 역시 [math(c)]처럼 계산을 번거롭게 한다. 따라서 [math(G = 1 = c)] 라고까지 둘 수 있다. 이것을 기하학 단위계(Geometrized Unit system)라고 한다. 기하학 단위계까지는 가지 않더라도 광속을 생략하지 않는 경우는 드물다.
[math(G_{\mu\nu} = 8 \pi\,T_{\mu\nu})]
3.3. 우주 상수
마지막으로 우주 상수(cosmological constant) [math(\Lambda)]를 도입하면 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.[math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu})]
우주 상수는 방정식의 유도 과정(아래)에서 물질이 없을 때 시공간이 평평해야 한다는 조건을 걸지 않으면 자연스럽게 등장하는데, 그 이유는 다음과 같다. 좌변에 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]를 둘 수 있는 이유는 우변의 에너지-운동량 보존법칙에 잘 맞기 때문이다. 그런데, 좌변에 메트릭 텐서의 어떤 상수배를 더해도 이 조건(공변 보존)은 그대로 성립한다. ([math(\nabla_{\mu} g^{\mu\nu} \equiv 0)]) 이 상수가 바로 우주 상수이다.
우주 상수는 처음 방정식이 완성되었을 때에는 없었으나[5] 1917년 아인슈타인이 자신의 우주론을 펼치려는 목적 하에 처음 도입되었다. 그래서 이름도 우주 상수(정확히는 우주론적 상수)이다.[6] 정확히 말하자면, 우주 상수는 우주의 정적 상태를 유도하기 위해 도입되었다. 정적 상태의 해를 가정하고 기존의 아인슈타인 방정식에 대입하면 해가 존재하지 않는데, 우주 상수를 넣으면 해가 발생한다.
이 시도는 아인슈타인의 입장에서 실패적이었는데, 우주 상수로 '만들어낸' 정적 상태는 수학적으로 불안정한 평형인데다(시계추가 아래방향이 아니라 위방향으로 달려있는 것과 비슷하다.), 이후 1929년 에드윈 허블이 외부은하의 일관된 적색편이를 실제로 관측하였기 때문이다. 아인슈타인은 허블의 관측 사실을 듣고 우주 상수 가설을 폐기하였으나, 사실 우주 상수는 아인슈타인 방정식에 자연스럽게 추가할 수 있는 가장 간단한 수정항이기에 이론적 차원에서 그 의미에 대한 연구가 이루어졌고(물론 0이거나 있더라도 거의 없는 값으로 여겨졌지만), 더욱이 최근 관측 결과가 말해주는 가속 팽창은 우주 상수에 의한 효과와 굉장히 유사하기에 결국에는 물리적 정당성을 얻었다고 할 수 있다. 따라서 현재에는 우주 상수가 들어간 아인슈타인 방정식이 보다 일반적인 형태로 제시되고 있다. 하지만, 우주론 분야가 아닌 이상 우주 상수는 거의 무시할 수 있다. 한편,
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} \quad \Leftrightarrow \quad G_{\mu\nu} = \kappa \biggl(T_{\mu\nu} - \frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu} \biggr))]
로 우주 상수는 좌변의 기하학 항 혹은 우변의 물질 항으로 자유롭게 바꾸어 표현할 수 있다. 우주 상수를 물질적 양으로 볼 경우 [math(\displaystyle (T_\Lambda)_{\mu\nu} = - \frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu})]는 진공 에너지(vacuum energy)와 관련이 있다. 이 식을 완전유체 공식과 대응시켜보면[7] [math(\displaystyle \rho_\Lambda = -\frac{p_\Lambda}{c^2} = \frac{\Lambda}{\kappa c^2})]를 진공 에너지 밀도로 정의할 수 있다. [math(\Lambda>0)]일 경우, 이 에너지는 음압 [math(\displaystyle p_\Lambda = -\frac{\Lambda}{\kappa})]을 형성한다.
4. 유도 과정
아인슈타인 방정식(일반 상대론)의 목적은 중력을 상대론적으로 기술하되, 아인슈타인의 기하학적 해석으로 접근하는 것이다. 등가 원리가 중력장을 기하학으로 확장하는 이유에 대해서는 일반 상대성 이론, 등가 원리 문서 등에서 다루고 있으니 그곳을 참고한다. 따라서, 우리는 기하학에 기반한 새로운 방정식을 만들되 언제나 중력의 푸아송 방정식과 합치되도록 해야 한다. 추가로 다음 소제목들은 각각의 단계에서 우리가 중점적으로 고려해야 할 요소들을 말해주며, 이들은 방정식에 반영됨으로써 일반 상대론의 요소로 녹아들게 된다.4.1. 중력장 방정식의 재구성
고전 역학에서 중력장 방정식은 중력 퍼텐셜 [math(\phi(\mathbf{x}))]와 질량 밀도(mass density) [math(\rho(\mathbf{x}))]에 대하여[math(\nabla^2\phi = 4\pi G\rho)]
로 주어진다. 이제 이 방정식의 구조에 기대어 새로 방정식을 짜본다. 중력장의 원천이 되는 우변을 살펴보면 질량 밀도 [math(\rho)]는 상대론적으로 에너지 밀도(energy density) [math(\rho)]로 일반화되며, 에너지 밀도는 다시 특수 상대론에서 각각의 좌표계에 대하여 [math(\rho = T^{00})], 즉 관찰자의 4-속도 [math(\vec{u})]에 대하여
[math(\rho = T_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu})]
로 쓸 수 있다. [math(T_{\mu\nu})]는 스트레스-에너지 텐서이다. 그런데 이로부터 [math(\rho)] 자체는 좌표계에 의존하는 양임을 알 수 있다. 이것이 중력장의 원천이라면 원천이 좌표계에 따라 다르게 측정될 것이므로 바람직하지 않다. 따라서 우리는 이러한 문제를 피하기 위해
[math(\rho \rightarrow T_{\mu\nu})]
로 중력장의 원천을 일반화해야 한다. 이로써, 중력장의 원천은 (차수가 [math((0, 0))]인) 스칼라에서 차수가 [math((0, 2))]인 텐서로 확장되었다.
한편 중력장을 나타내는 좌변은 정확히 말해서 중력 퍼텐셜을 두 번 미분한 값이다. 앞서 설명한 대로 일반 상대론에서는 메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]를 중력 퍼텐셜로 보므로, [math(g_{\mu\nu})]와 그 일계/이계 미분으로만 구성된 텐서를 찾으면 될 것이다. 단, 이 텐서는 [math(T_{\mu\nu})]와 차수가 맞아야 하므로 마찬가지로 차수가 [math((0, 2))]인 어떤 텐서 [math(G_{\mu\nu})]가 되어야 한다. 그러면 우리가 찾는 방정식은
[math(G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu})]
라 쓸 수 있다. 이러한 텐서로는 다양체의 곡률을 측정하는 리만 텐서 [math(R^{\rho}_{\sigma\mu\nu})]가 사실상 유일하다. (따라서, 중력을 4차원 시공간의 곡률로 설명하려는 목적에 부합한다. 처음부터 이를 기준으로 좌변에 곡률 텐서를 도입한다고 보아도 좋다.) 그러나, 리만 텐서는 차수가 [math((1, 3))]이어서 우리가 찾는 차수와 맞지 않다. 리만 텐서로부터 선형 연산으로 유도되는 차수 [math((0, 2))]의 텐서로는 다음과 같은 양들이 있다.
[math(R_{\mu\nu}, \quad R g_{\mu\nu}, \quad g_{\mu\nu})]
따라서, 구하고자 하는 [math(G_{\mu\nu})]는 이들을 선형 결합한 다음 양으로 일반화할 수 있다.
[math(G_{\mu\nu} = \alpha R_{\mu\nu} + \beta R g_{\mu\nu} + \gamma g_{\mu\nu})]
4.2. 원천의 자동적 보존
[math(G_{\mu\nu})]를 결정하는 마지막 과정은 중력장의 원천 [math(T_{\mu\nu})]가 언제나 만족시키는 한 가지 조건, 즉 에너지-운동량 보존법칙(중력장의 원천은 보존.)[math(\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]
에 의존한다. 이 관계식은 자동으로 좌변에 4개의 방정식 [math(\nabla_{\mu}G^{\mu\nu} = 0)]을 강압한다. 우리는 이것이 항등식임을 원한다.
[math(\nabla_{\mu}G^{\mu\nu} \equiv 0)]
이것이 성립하면, 반대로 우변의 보존법칙은 방정식의 자연스러운 결과가 된다. 이를 요구함으로써 아인슈타인 방정식은 4개의 항등식(원천의 보존법칙)을 자동으로 품게 되어 [math(g_{\mu\nu})]의 10개 자유도 중 6개의 자유도만을 줄이게 되는데, 그 의미는 [math(g_{\mu\nu})]에는 언제나 4개의 자유도가 남아 4차원 좌표계의 설정에 있어서 완전한 자유도를 확보할 수 있게 된다는 것이다. 반면 이를 요구하지 않으면 4차원 좌표계의 설정에 어떤 제한이 따르게 된다.
일반적으로 원천의 보존법칙은 경험 법칙이지만, 이는 원천이 장과 짝지어지는 방식(장방정식)에 의한 따름 법칙으로 이해해야 한다. 거꾸로 장방정식은 원천의 보존법칙을 자동으로 포함하지만 이것을 실제로 세우는 과정은 전적으로 경험 법칙(보존법칙)의 형태에 의지한다. 상대론적 전자기학에서도 맥스웰 방정식을 구성하는 과정에서 같은 문제를 거치니 비교해보자.
비앙키 항등식을 사용하면 계수들을 쉽게 결정할 수 있다. 두 번 축약된 비앙키 항등식은
[math(\displaystyle \nabla_{\mu}\left(R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g^{\mu\nu} \right) \equiv 0)]
임을 말해주는데, 이로부터 [math(\displaystyle \beta = -\frac{1}{2}\alpha)] 임을 바로 확인할 수 있다. 편의상 [math(\alpha = 1, \,\, \beta = -1/2)] 라 둔다.
한편, 이 조건으로 [math(\gamma)] 값은 결정되지 않는다. ([math(\nabla_{\mu}g^{\mu\nu} \equiv 0)]) 이 틈을 이용해 아인슈타인은 1917년 우주 상수 [math(\gamma = \Lambda)]를 도입하였다. 이에 대해서 한 가지 고려할 점은, [math(\gamma \neq 0)]이면 [math(T_{\mu\nu}=0)]일 때 [math(R_{\mu\nu})]는 [math(0)]이 아니라는 것이다. 이는 물질이 없는 상황에도 시공간에 곡률이 있음을 뜻한다. 이것의 의미를 오늘날에는 진공 에너지, 특히 우주론에서 암흑 에너지로 해석하며 실제로 이쪽이 현실에 보다 가까운 것으로 여겨진다. 하지만 여기에서는 [math(\gamma = 0)]이라 두어 문제를 일단락짓자. 이 때에는 진공 조건에서 시공간이 평평하다는 비교적 직관적인 결과를 얻는다. 즉, 특수 상대론([math(g_{\mu\nu} \equiv \eta_{\mu\nu})])은 시공간이 완전 진공상태일 때의 특수한 경우가 된다.
이로부터 방정식
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu})]
를 얻는다. 이 [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]를 아인슈타인 텐서(Einstein Tensor)라 부른다. 즉 이 텐서는 시공간의 곡률을 측정하며, 자동으로 공변 보존되는 양을 나타내기 위해 도입된 것이다. [math(\kappa)]의 값은 이 방정식으로 고전 중력장을 유도하는 과정에서 결정된다.
역사적으로 볼 때, 아인슈타인은 처음에 리치텐서 [math(R_{\mu\nu})]에 대하여
[math(R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu})]
라는 식(즉, 위에서 [math(\beta=\gamma=0)])을 제안하였다. 이러한 항의 차이는 물질과 시공간이 서로 받는 영향에 대해 각기 다른 이론을 도출하는 결과로 이어진다.
여기에 에너지-운동량 보존법칙을 적용하면 [math(\nabla_{\mu}R^{\mu\nu}=0)]이 나오고, 이는 항등식이 아니며 [math(g_{\mu\nu})] 에 관한 어떤 등식이 도출된다.[8] 아인슈타인은 이를 두고 처음에는 이 방정식이 가능한 좌표계를 제한한다거나, 이를 제거하기 위해 모든 물질이 전자기장처럼 [math(T=0)]을 만족시키도록 강압한다고 생각하였다.[9] 마지막 단계에서 아인슈타인은 이 생각을 뒤집어서, 반대로 좌표계나 물질에 가해지는 조건을 없애기 위해 방정식을 수정해야 한다는 생각을 하게 된다.[10] 그렇게 해서 오늘날의 방정식이 탄생하였다.
이 과정은 전자기학에서 앙페르 법칙이 (연속 방정식에 의해) 앙페르-맥스웰 법칙으로 확장되는 과정과도 유사하다. 예를 들어, 앙페르 법칙에 연속 방정식을 적용하면 전류 밀도는 정상 전류(steady current)만이 가능하다는 결론을 얻는데, 맥스웰의 추가항은 이러한 제한을 제거한다.
4.3. 푸아송 방정식의 재유도
처음 방정식을 세우는 과정에서 고전 역학을 반영할 수 있도록 푸아송 방정식의 좌변과 우변의 특징을 고려하기는 했으나, 이건 어디까지나 대강의 유추로 가능성을 좁히기 위함이다. 현재로서는 각각의 항을 완전히 새로 만든 방정식을 가졌을 뿐이며 푸아송 방정식과의 직접적인 관련성을 살펴보지는 못한 상태이다. 이제, 이 과정을 수행할 차례인데 그 구체적인 방법은 아인슈타인 방정식을 고전적인 상황으로 근사하여 푸아송 방정식을 직접 유도하는 것이다. 이 과정에서 비례 상수 [math(\kappa)]의 값이 결정된다.가장 먼저 "고전적인 상황"이 무엇인지 분명히 해야 한다. 이는
① 중력원과 입자는 빛의 속력에 비해 느리게 움직인다
② 중력장의 크기가 작아 일차 근사를 할 수 있다
로 요약할 수 있다. 두 조건을 수식으로 쓰면 다음과 같다.② 중력장의 크기가 작아 일차 근사를 할 수 있다
| ① [math(\displaystyle t \approx \tau, \quad v^j = \frac{dx^j}{dt} \ll 1, \quad T_{\mu\nu} \approx \text{diag}(\rho c^4, 0, 0, 0))] ② [math(\displaystyle g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu}, \quad \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \ll 1)] |
이 때, 중력장을 일차 근사한다는 것은 [math(g\cdot g, \,\,\Gamma\cdot\Gamma)] 등 2차 이상의 양은 모두 영으로 취급할 수 있다는 뜻이다.
먼저, 측지선 방정식으로부터
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d^2x^i}{d\tau^2} &= -\Gamma^i_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d \tau}\frac{dx^{\nu}}{d \tau} \\ &\approx -\Gamma^i_{00} \approx -\frac{1}{2}\left(2\frac{\partial g_{i0}}{\partial t} - \frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}\right) \\ &\approx \frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}\end{aligned})]
을 얻으며, 고전적인 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x^i}{dt^2} = -\frac{\partial\phi}{\partial x^i})] |
과 비교했을 때 [math(g_{00})]과 중력 퍼텐셜 [math(\phi)]이 대응됨을 쉽게 알 수 있다. 메트릭 텐서가 중력 퍼텐셜을 일반화한다는 것은 바로 이것을 두고 말하는 것이다.
한편, [math(T_{\mu\nu} = \text{diag}(\rho c^4, 0, 0, 0))]으로부터 [math(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = g^{00}T_{00} = -\rho c^2)]이다. 아인슈타인 방정식에 의하면
[math(\displaystyle R_{00} = \kappa\left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx \frac{1}{2}\kappa\rho c^4)] |
을 얻으며, 중력장이 일차 근사됨을 고려하면 [math(\displaystyle R_{00} = \frac{\partial \Gamma^i_{00}}{\partial x^i})]로 간단화될 수 있다. 그런데 [math(\displaystyle \Gamma^i_{00} = -\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} R_{00} &= -\frac{1}{2}\left[\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial z^2}\right] \\ &= -\frac{1}{2}\nabla^2 g_{00} \end{aligned})] |
를 얻는다. 따라서
[math(\displaystyle \nabla^2 g_{00} = -\kappa\rho c^4)] |
이 된다. 이로부터
[math(\displaystyle \nabla^2 \phi = -\frac{1}{2}\nabla^2 g_{00} = \frac{1}{2}\kappa\rho c^4)] |
를 얻고, 푸아송 방정식 [math(\nabla^2 \phi = 4\pi G\rho\,)]와 비교하면
[math(\displaystyle \kappa = \frac{8\pi G}{c^4})] |
를 얻는다. 이로써 [math(\kappa)]의 값이 구해짐과 동시에 아인슈타인 방정식이 푸아송 방정식을 유도한다는 사실을 증명하였다.
5. 힐베르트 액션
수학자 다비드 힐베르트가 1915년 11월 20일 발표한 힐베르트 액션(Hilbert action)은 최소 작용의 원리에 따라 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle S = \frac{1}{2\kappa} \int R \sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x)]
우주 상수를 추가하기 위해서는 단순히 라그랑지언에 상수를 더하면 된다.
[math(\displaystyle S = \frac{1}{2\kappa} \int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x)]
6. 특수 형태
6.1. 진공 방정식
진공 환경(근방에는 물질이 있을 수 있다.)에서는 [math(T_{\mu\nu} = 0)]이다. 따라서, 아인슈타인 방정식은[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = -\Lambda g_{\mu\nu})]
이 된다. [math(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = -\Lambda g^{\mu\nu}g_{\mu\nu})]에서 [math(R = 4\Lambda)]이므로
[math(\displaystyle R_{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu})]
를 얻는다.[11]
우주 상수를 0으로 놓으면, 방정식은 다음과 같다. 일반적인 천체 문제에서는 다음 형태를 자주 사용한다.
[math(R_{\mu\nu} = 0)]
[math(R_{\mu\nu})]는 리만 텐서의 대각합(평균)이므로, 시공간의 곡률이 0임을 의미하지는 않는다. 만약 우주 상수가 존재하면, 완전 진공 환경에서도 시공간의 곡률은 0이 아니게 된다.
6.2. 선형화 방정식
시공간이 매우 평평하다고 가정할 경우, 메트릭 텐서는
[math(\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}|≪1)]
의 형태를 갖도록 좌표를 놓을 수 있다. 이처럼 섭동(perturbation)의 형태로 아인슈타인 방정식을 다루는 분야를 선형화 중력(linearized gravity)이라 한다. 선형화 중력은 중력파(gravitational wave) 이론의 근간이 되는데, 중력파는 시공간 곡률이 매우 작으나 시간에 따라 변하는 특수해로 볼 수 있기 때문이다.
선형화 이론(linearized theory)에서 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 선형 방정식, 특히 파동 방정식으로 근사된다.
[math(\displaystyle \square \left(h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\eta^{\sigma\tau}h_{\sigma\tau})\right)= - 2\kappa T_{\mu\nu})][12]
6.3. 아인슈타인-맥스웰 방정식
전자기장 텐서 [math(F_{\mu\nu})]는 다음과 같은 스트레스-에너지 텐서(electromagnetic stress-energy tensor)를 만들 수 있다.[math(\displaystyle T^{\mu\nu}_{(\text{EM})} = \frac{1}{\mu_0}\left[F^{\mu\sigma}F^{\nu}_{\,\,\,\sigma} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right])] |
따라서 아인슈타인 방정식의 우변에 이 텐서를 대입하면 순수 전자기장에 의한 진공 방정식이 만들어지는데, 이것을 보통 아인슈타인-맥스웰 방정식(Einstein-Maxwell equations)이라고 한다.
[math(\displaystyle G^{\mu\nu} + \Lambda g^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu}_{(\text{EM})} = \frac{\kappa}{\mu_0}\left[F^{\mu\sigma}F^{\nu}_{\,\,\,\sigma} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right])] |
일반적으로 우주 상수는 무시할 수 있다.
[math(\displaystyle G^{\mu\nu} = \frac{\kappa}{\mu_0}\left[F^{\mu\sigma}F^{\nu}_{\,\,\,\sigma} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right])] |
이 형태는 천체의 대전량을 무시할 수 없을 때 천체 외부의 진공 조건에서 적용할 수 있다.(라이스너-노르드스트룀 계량 등) 일반적으로 이 방정식으로 얻어지는 해를 전기진공해(electrovacuum solution)라고 부른다.
7. 특수해
| [math(displaystyle {color{white} G_{munu} + Lambda g_{munu} = frac{8pi G}{c^4} T_{munu}})] | ||||
| 아인슈타인 방정식의 해{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" | 특수 상대론 | 민코프스키 시공간 | ||
| 선형 근사 (선형화 중력) | 만유인력(푸아송 방정식) 중력파 | |||
| 천체 해 (블랙홀) | 회전하지 않음 | 회전함 | ||
| 대전되지 않음 | 슈바르츠실트 해 | 커 해 | ||
| 대전됨 | 라이스너-노르드스트룀 해 | 커-뉴먼 해 | ||
| 우주 해 | FLRW 해 | |||
아인슈타인 방정식은 고도로 비선형적인 편미분 방정식이며, 일반적으로 이 방정식을 적분하는 방법(일반해)은 존재하지 않는다. 또한, 특정 물리적 상황에 대응되는 메트릭 텐서는 언제나 4개의 자유도가 있으며 이 모든 해는 전부 같은 상황을 나타낸다. 따라서, 일반해를 구하는 것보다는 물리적으로 유의미한 상황을 고려하고 좌표를 고정하여 특수해를 다루는 것이 훨씬 편리하다. 사실 방정식을 푼 후에도 해를 구체적으로 분석하는 것 역시 굉장히 까다로운데, 좌표계의 의미가 불분명한 경우가 많아서 더욱 그렇다. 예를 들어 슈바르츠실트 해에서 궤도 문제를 풀 때에는, [math(r)]보다는 [math(\phi)]를 살펴야 한다.
여기에서 소개하는 특수해는 높은 중요성에 의해 대표적으로 잘 알려진 해들로, 이외에도 많은 특수해가 알려져 있다.
7.1. 고립 천체에 관한 해
이 유형의 해는 어느 한 곳에 물질이 집중된, 즉 천체 주변의 중력장을 나타낸다. 이들은 천체 주변에서 일어나는 중력 현상, 특히 궤도 관련 문제들을 해결하는 데 매우 유용하다. 태양부터 시작해서 중성자별, 블랙홀까지 이 유형의 해에 속한다. 이들 해가 가지는 특징은 무엇보다도, (원점으로부터) 무한히 먼 거리에서 시공간이 평평해진다는 점이다. 따라서 점근적으로 평탄한 (asymptotically flat) 해라고 부른다. 이 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다. 적당한 좌표계를 선택하면, 각각의 [math(\mu, \nu)]에 대하여[math(\displaystyle \lim_{r \rightarrow \infty} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu})] |
가 되도록 할 수 있다. 여기에서 [math(r)]의 의미는 구체적으로 지정하지 않았으나, 원점으로부터의 거리로 생각하면 된다.
물론 이런 경계 조건 하나만으로 아인슈타인 방정식을 풀 수는 없다. 일반적으로, 중심 천체가 빠르게 주변을 떠도는 것은 기대하지 않으므로 각각의 점근적 평탄해에는 정적(stationary) 조건, 즉 각각의 [math(g_{\mu\nu})]가 시간에 의존하지 않는다는 조건이 함께 부여되며[13], 현재 대표적으로 밝혀져 있는 특수해는 중심 천체의 기본적인 성질, 즉 대전량과 각운동량에 따른 다음 네 유형이다. 각각의 이름은 대체로 첫 발견자의 이름을 딴 것으로, 각각의 유형에 해당하는 블랙홀을 부르는 명칭으로도 쓰인다.
| 회전하지 않음[math((J = 0))] | 회전함[math((J \ne 0))] | |
| 대전되지 않음 [math((Q = 0))] | 슈바르츠실트 해 | 커 해 |
| 대전됨 [math((Q \ne 0))] | 라이스너-노르드스트룀 해 | 커-뉴먼 해 |
회전하지 않는 천체에 관한 해를 찾는 것은 그리 어렵거나 복잡하지 않으며, 이론이 발표되자마자 1915년, 1916년 모두 발견되었다. 이들은 정지(static), 즉 ([math(g_{0i} = g_{i0} = 0)])이라는 강력한 조건을 만족시키기 때문이다. 이들은 버코프 정리에 의해 모든 구형 대칭 천체를 기술할 수 있다.
그러나 회전하는 천체에 관한 해를 찾는 것은 훨씬 어려운 일이다. 사실, 일반적인 천체에 관한 엄밀한 외부해는 알려진 바가 없다. 커 해와 커 뉴먼 해는 회전하는 "블랙홀"만을 정확히 기술하는 해이다. 버코프 정리 같은 장치가 없어서 임의의 회전 천체가 이들 해를 따른다는 보장이 없기 때문이다. 그마저도 1963년, 1965년이 되어서야 발견되었다. 대전 상태를 고려하는 것은 그리 어렵지 않다.[14]
7.1.1. 슈바르츠실트 해
Schwarzschild metric. 회전하지 않고 대전되지 않은 구형 천체 주변의 중력장을 표현한다.
| [math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1 - \frac{r_s}{r} \biggr)c^2dt^2 + \biggl(1 - \frac{r_s}{r} \biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [15] |
7.1.2. 라이스너-노르드스트룀 해
Reissner-Nordström metric. 회전하지 않고, 대전된 구면기하상의 시공간을 기술한다.
| [math(\displaystyle ds^2 = -\Biggl(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \Biggr)c^2dt^2 + \Biggl(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \Biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [16] |
7.1.3. 커 해
Kerr metric. 회전하고, 대전되지 않은 블랙홀 주변의 시공간을 기술한다.| [math(\displaystyle ds^2 = -\frac{\Delta}{\Sigma}(cdt - a\,\mathrm{sin}^2\theta\,d\phi)^2 + \frac{\mathrm{sin}^2\theta}{\Sigma}\biggl((r^2 + a^2)\,d\phi - a c\,dt \biggr)^2 + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma\,d\theta^2)] [17] |
7.1.4. 커-뉴먼 해
Kerr-Newman metric. 회전하고, 대전된 구형 블랙홀 주변의 시공간을 기술한다. (발견된 해 중) 가장 일반적인 블랙홀 해이다. 사실 커 해와 동일한 식인데, 전하 때문에 [math(r_Q)]만 추가되었다. 마찬가지로, 라이스너-노르드스트룀 해에서 [math(r_Q)]만 없애면 슈바르트실트 해를 얻는다.| [math(\displaystyle ds^2 = -\frac{\Delta}{\Sigma}(c\,dt - a\,\mathrm{sin}^2\theta\,d\phi)^2 + \frac{\mathrm{sin}^2\theta}{\Sigma}\biggl((r^2 + a^2)\,d\phi - a c\,dt \biggr)^2 + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma\,d\theta^2)] [18] |
7.2. 우주론
7.2.1. FLRW 계량
아인슈타인 방정식의 균일해를 구하면 그 자체로 우주 해를 얻는데, 가장 기본이 되는 해를 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metric) 계량 또는 FLRW 계량이라고 한다.먼저, 현대 우주론에서는 우주가 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정하고 있다. 따라서 전 시간에 걸쳐 우주 공간 전체에 균일한 평균 밀도를 가정할 수 있다. 여기에 다음을 가정하자.
(1) 시공간을 각각의 시간에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면으로 나눌 수 있다.
(2) 그 동시성(즉, 동시로 측정되는 사건들의 집합)의 기준은 우주의 물질 전체가 평균적으로 정지해 있는 좌표계이다.[19]
이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다.
[math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})]
일단, 빅뱅 이론이 그렇듯이 닮은 꼴 좌표라도 시간좌표에 따라서 공간의 scale 자체가 커지거나 작아질 수 있다(각각의 좌표 격자에 들어가는 부피가 커진다). 따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][20]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[21] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다.
이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은
[math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)]
으로 주어진다. 여기에는 균일 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. (물질 분포가 균일하므로, 각 점에서의 곡률도 균일할 것이다.) 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면
[math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)]
라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다(딱봐도 스칼라 곡률의 배수이다. 아인슈타인 방정식의 비례상수 [math(\kappa)]와 혼동하지 말 것). 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.)
| [math(k)] | 치환 | 초곡면 계량 | 우주 모델 |
| [math(k = 0)] | - | [math(dl^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2 d\Omega^2))] | 평평한 우주 |
| [math(k = 1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 - r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sin}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 닫힌 우주 |
| [math(k = -1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 + r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sinh}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 열린 우주 |
여기까지는 우주가 등방하고 균일하다는 성질만 이용했지 아인슈타인 방정식은 사용되지 않았다. 여기에 우주의 평균밀도 [math(\rho)]를 이용해 [math(T_{\mu\nu})]를 구하고, 아인슈타인 방정식에 대입하여 scale factor [math(a(t))]를 구체적으로 정할 수 있으며, 이것의 시간에 따른 변화를 통해 우주 공간의 진화를 설명할 수 있다.
7.2.2. 프리드만 방정식
FLRW 해를 바탕으로, 우주 전체가 완전 유체로 채워져 있다고 가정하고 평균 밀도 [math(\rho)]와 압력 [math(p)]를 아인슈타인 방정식에 넣으면 우주의 진화, 혹은 우주의 미래를 설명하는 방정식이 나온다. 이를 프리드만 방정식(Freidmann equations)이라고 한다. 러시아/소련의 물리학자 알렉산드르 프리드만(Alexander Friedmann)이 1922년 처음 유도하였다.다음은 우주 상수 [math(\Lambda)]를 감안한 것이며, [math(a)]는 FLRW 해의 scale factor [math(a(t))]이다.
| [math(\displaystyle \frac{\dot{a}^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda c^2}{3})] [math(\displaystyle \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3}\biggl(\rho + \frac{3p}{c^2} \biggr) + \frac{\Lambda c^2}{3})] |
(1) 첫번째 방정식의 해석
첫번째 방정식의 양변에 [math(3/8\pi G)]를 곱하고 [math(H = \dot{a}/a)]라 하면(허블 상수라 부른다. 물론 식을 보면 알겠지만 시간에 대한 상수는 아니다.)
[math(\displaystyle \frac{3H^2}{8\pi G} + k\left(\frac{c}{a}\right)^2 = \rho + \frac{\Lambda}{8\pi G/c^4 \times c^2})]
를 얻는다. 여기에서, [math(\rho_{\Lambda} = \Lambda/\kappa c^2)]이라 둘 수 있었던 것을 상기한다. 또한, 임계 밀도(critical density) [math(\rho_c)]를 [math(\displaystyle \rho_c = \frac{3H^2}{8 \pi G})]라 정의하면 다음과 같이 정리된다.
[math(\displaystyle k\left(\frac{c}{a}\right)^2 = \left(\rho + \rho_{\Lambda}\right) - \rho_c)]
이 식의 의미는 다음과 같다.
(1) [math(\rho + \rho_{\Lambda} > \rho_c)] : [math(k>0)], 우주는 닫혀 있음. (구 모양)
(2) [math(\rho + \rho_{\Lambda} = \rho_c)] : [math(k=0)], 우주는 평평함. (평면)
(3) [math(\rho + \rho_{\Lambda} < \rho_c)] : [math(k<0)], 우주는 열려 있음. (안장 모양)
(2) [math(\rho + \rho_{\Lambda} = \rho_c)] : [math(k=0)], 우주는 평평함. (평면)
(3) [math(\rho + \rho_{\Lambda} < \rho_c)] : [math(k<0)], 우주는 열려 있음. (안장 모양)
조금 더 해석을 가해서 밀도 매개변수 [math(\Omega = \rho/\rho_c)]를 각각의 밀도 항에 대하여 정의하면 다음과 같다.
[math(1 = \Omega_k + \Omega + \Omega_{\Lambda})]
이는 우주를 구성하는 물질의 비율이 어느 정도인지를 보여준다. [math(\Omega_k)]는 우주 공간 자체의 에너지로 해석해볼 수 있다. 현재 우주의 곡률은 거의 0이므로 [math(\Omega_k = 0)]이고, [math(\Omega = 0.3, \, \Omega_{\Lambda} = 0.7)]이다. 이는 물질(일반 물질 + 암흑 물질)이 30%, 암흑 에너지가 70%임을 보여준다.
8. 관련 문서
[1] 양자적이라는 뜻이 아니다.[2] Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press: 501[3] 주로 상대론 분야에서.[4] 주로 입자물리학 분야에서.[5] A. Einstein (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichteder Preussischen Akademie der Wissenschaftenzu, Berlin, 844-847[6] A. einstein (1917), "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 142-152.[7] [math(\displaystyle T_{\mu\nu} = \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right)u_{\mu}u_{\nu} + pg_{\mu\nu})][8] 비앙키 항등식에 의해 [math(\displaystyle \nabla_{\mu}R^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\nabla^{\nu}R=0\left(=\frac{\kappa}{2}\nabla^{\nu}T\right))].[9] 한 때, 이는 모든 물질이 전자기 과정임이 설명되는 것이라고 통일장 이론 비슷하게 해석되었다.[10] [math(T = 0)]이므로 우변에 [math(\kappa T g_{\mu\nu})]를 더한 것과 같다는 것을 발견하였다.[11] 이와 같이 리치 텐서가 메트릭 텐서의 상수배인 다양체를 아인슈타인 다양체(Einstein Manifold)라고도 부른다.[12] [math(\displaystyle \square = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2})][13] "static"(후술)이라는 용어도 함께, 비스무리한 의미로 사용되기 때문에 헷갈릴 수 있다.[14] 각운동량이 있는 해는 stationary하지만 static하지는 않다. 즉, [math(g_{0i}, g_{i0})]는 [math(0)]이 아니다.[15] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2})]는 슈바르츠실트 반지름이다.[16] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})][17] [math(\displaystyle a = \frac{J}{Mc}\\quad \Delta = r^2 - r_sr + a^2 \\quad \Sigma = r^2 + a^2 \mathrm{cos}^2 \theta)][18] [math(\displaystyle a = \frac{J}{Mc}\\quad \Delta = r^2 - r_sr + a^2 + r_Q^2\\quad \Sigma = r^2 + a^2 \mathrm{cos}^2 \theta)][19] 따라서, 각각의 은하는 이 좌표계에서 정지해있다, 또는 고정된 공간 좌표 [math((x^{1}, x^{2}, x^{3}))]를 가진다고 가정할 수 있다. 이 때 이 좌표계의 시간 좌표는 각 은하의 고유시간으로 설정할 수 있다.[20] [math(a(t_0) = 1)][21] 공간 좌표 역할을 하는 은하들이 정지해 있으므로