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Einstein tensor
1. 개요
아인슈타인 텐서(Einstein tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 랭크(Rank)2-텐서장의 하나로, 리치 곡률 텐서에 대각합의 배수를 뺀 것이다. 비앙키 항등식에 따라 공변보존된다. 일반 상대성 이론에서는 아인슈타인 (장) 방정식에 따라 에너지-모멘텀 텐서와의 비례관계를 보여준다. 기호는 [math(G_{\mu\nu})]이다. [A] [나]2. 정의
아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]는 (준)리만 다양체(pseudo-riemmanian manifold)에서 정의되는 2차 대칭 텐서(Symmetric tensor)로, 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})], 리치 스칼라 [math(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu})]에 대하여 다음과 같이 정의된다.[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]
3. 아인슈타인 텐서의 대각합
아인슈타인 텐서[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]
의 양변을 축약하면
[math(\displaystyle g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}g_{\mu\nu})]
이 때 [math(G = g^{\mu\nu}G_{\mu\nu})]라 두면 (4차원의 경우)
[math(G = R - 2R = -R)]
을 얻는다. [math( \left( n 차원의 경우, \displaystyle G = \frac{2-n}{2}R \right) )]
따라서, 아인슈타인 텐서는 역대각합 리치 텐서(trace-reversed ricci tensor)라고도 부른다.
4. 비앙키 항등식과 아인슈타인 텐서
비앙키 항등식[math(\nabla_{\sigma}R_{\alpha\beta\mu\nu} + \nabla_{\alpha}R_{\beta\sigma\mu\nu} + \nabla_{\beta}R_{\sigma\alpha\mu\nu} = 0)]
을 두 번 축약해보면 다음과 같다.
[math(g^{\nu\beta}g^{\mu\sigma}(\nabla_{\sigma}R_{\alpha\beta\mu\nu} + \nabla_{\alpha}R_{\beta\sigma\mu\nu} + \nabla_{\beta}R_{\sigma\alpha\mu\nu}) = \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \nabla_{\alpha}R + \nabla^{\nu}R_{\alpha\nu} = 0)]
이는 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}\nabla_{\alpha}R = \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}\nabla^{\mu}Rg_{\alpha\mu} = \nabla^{\mu}\left(R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\mu}\right) = 0)]
따라서, 아인슈타인 텐서는 다음을 만족시킨다. 즉, 공변 보존된다.
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = 0)]
5. 일반 상대성 이론에서
아인슈타인 텐서는 물리학의 일반 상대성 이론에서 매우 중요하다. 일반 상대성 이론은 기하학적 중력이론으로, 2차 대칭 텐서 스트레스-에너지 텐서(에너지-모멘텀텐서) [math(T_{\mu\nu})]를 중력의 근원(source)으로 보므로 그에 의해 생성되는 중력장은 일차적으로 중력장을 만드는 [math(g_{\mu\nu})]에 대한 일련의 미분으로 이루어진 어떤 2차 대칭 텐서 [math(\Gamma_{\mu\nu})]로 표현되어야 한다.중력장 방정식, 즉 아인슈타인 방정식을 스트레스-에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]에 대하여
[math(\Gamma_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
라 표현했을 때, [math(T_{\mu\nu})]는 국소적 에너지-운동량 보존법칙 혹은 수학적으로 공변 보존이라는 매우 중요한 항등식을 만족시키므로 [math(\Gamma_{\mu\nu})] 역시 이러한 항등식을 만족시켜야 한다. 비앙키 항등식에서 살펴볼 수 있듯이 수학적으로 이에 대응되는 것은 아인슈타인 텐서이다.
[math(G_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = k\nabla^{\mu}T_{\mu\nu} = 0)]
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = k\nabla^{\mu}T_{\mu\nu} = 0)]
여기에서, 좌변은 수학적인 항등식이지만, 우변은 물리적 요구에 따른 텐서 성분의 관계식이다. 따라서, 수학적으로 보면 이 방정식은 엄밀히 말해 우변이 좌변의 원인이라기보다는 시공간과 물질이 얽혀 있는 방식을 나타낸다고 해석할 수 있다.
아인슈타인 방정식을 풀 때 접속 계수 계산과 함께 계산량을 상당히 많이 차지하는데, 정적이고 구형 대칭성을 띠는 시공간의 경우 형태가 단순하게 유도되는 일반 좌표계에 대한 계산값이 슈바르츠실트 좌표계 문서에 정리되어 있다. 형태에 따라 치환하여 사용할 수 있다.
6. 아인슈타인 텐서 계산
아인슈타인 장 방정식 [math( G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = kT_{\mu\nu})] 로부터 [math(T_{\mu\nu} = 0)]이라 두면 진공 조건 [math( G_{\mu\nu} =0)]을 얻을수있다.[math( G_{11} = - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right))]- (1)[다](10.15) [라]46.6,43.5 [마]95.13
[math( G_{44} = + 2\dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda^2} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )] - (2)[다](10.14)[마](95.3)
우선 (2)가 [math( \lambda)](람다) 자신에 대한 함수로 정리될수있다.
[math( 0 = \cancel{2}\dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda^2} + \dfrac{\cancel{2}}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
[math( 0 = \dfrac{\lambda'}{r \lambda\lambda} + \dfrac{1}{r^2}\left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
[math( 0 = \dfrac{\lambda'}{\cancel{r} \lambda\lambda} + \dfrac{1}{\cancel{r}r}\left( \dfrac{\lambda}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
[math( 0 = \dfrac{\lambda'}{ \cancel{\lambda}\lambda} + \dfrac{1}{r}\left( \dfrac{\lambda-1}{\cancel{\lambda}} \right) )]
[math( 0 = \dfrac{\lambda'}{\lambda} + \dfrac{1}{r}\left( \lambda-1 \right) )]
[math( 0 = \dfrac{\lambda'}{\lambda(\lambda-1)} + \dfrac{1}{r} )]
[math( 0 = \dfrac{d\lambda}{dr}\dfrac{1}{\lambda(\lambda-1)} + \dfrac{1}{r} )]
[math( \dfrac{d\lambda}{dr}\dfrac{1}{\lambda(\lambda-1)} = -\dfrac{1}{r} )]
[math( \dfrac{1}{\lambda^2-\lambda}d\lambda = -\dfrac{1}{r} dr )]
양변을 적분해보면
[math( \int \dfrac{1}{\lambda^2-\lambda}d\lambda = -\int \dfrac{1}{r} dr )]
[math( \ln\dfrac{\lambda-1}{\lambda} +C = -\left(\ln\,{r} +C \right) )]
[math( \ln\dfrac{\lambda-1}{\lambda} +C = -\ln \,{r} -C )]
[math( \ln\dfrac{\lambda-1}{\lambda} +C = \ln\dfrac{1}{r} -C )]
[math( \ln\dfrac{\lambda-1}{\lambda}-\ln\dfrac{1}{r} = -2C )]
[math( \ln \dfrac{\dfrac{\lambda-1}{\lambda}}{\dfrac{1}{r} } = -2C )]
[math( \ln \dfrac{r(\lambda-1)}{\lambda} = -2C )]
[math( e^{\ln \dfrac{r(\lambda-1)}{\lambda}} = e^{-2C} )]
[math( \dfrac{r(\lambda-1)}{\lambda} = e^{-2C} )]
상수값(constant value)[math( e^{-2C} )]를 [math(C_0)]로 놓으면
[math( \dfrac{r(\lambda-1)}{\lambda} = C_0 )]
[math( \dfrac{r(\lambda-1)}{\lambda} \dfrac{1}{r} = C_0\dfrac{1}{r} )]
[math( \dfrac{\lambda-1}{\lambda} = \dfrac{C_0}{r} )]
[math( \dfrac{\lambda-1}{\lambda} = 1-\dfrac{1}{\lambda})] 이므로
[math( 1-\dfrac{1}{\lambda}= \dfrac{C_0}{r} )]
[math( 1-\dfrac{C_0}{r}= \dfrac{1}{\lambda} )]
[math( \lambda= \dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}} )]
이렇게[math( \lambda)]를 조사할수있다.
6.1. 아인슈타인 텐서
계속해서 [math( \lambda)]를 (1)에 대입하면[math( G_{11} = - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) , \lambda= \dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}} )]
[math( 0= - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
[math(0 = -\dfrac{v'}{rv \lambda} + \dfrac{1}{r^2}\left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right))]
[math(0 = -\dfrac{v'}{v \lambda} + \dfrac{1}{r}\left( 1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}}} \right) )]
[math(0 = -\dfrac{v'}{v \lambda} + \dfrac{1}{r}\left(1-\left(1-\dfrac{C_0}{r}\right) \right) )]
[math(0 = -\dfrac{v'}{v \lambda} + \dfrac{1}{r}\left(1-1+\dfrac{C_0}{r}\right) )]
[math(0 = -\dfrac{v'}{v \lambda} + \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{C_0}{r}\right) )]
[math(\dfrac{v'}{v \lambda} = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{C_0}{r}\right) )]
[math(\dfrac{v'}{v \lambda} = \dfrac{C_0}{r^2} )]
[math(\dfrac{v'}{v} = \dfrac{C_0}{r^2}\lambda )]
[math(\dfrac{v'}{v} = \dfrac{C_0}{r^2}\dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}} )]
[math(\dfrac{v'}{v} = \dfrac{C_0}{r^2\left( {1-\dfrac{C_0}{r}} \right)} )]
[math(\dfrac{v'}{v} = \dfrac{C_0}{r^2-\dfrac{C_0 r^2}{r} } )]
[math(\dfrac{v'}{v} = \dfrac{C_0}{r^2- C_0 r } )]
[math(\dfrac{dv}{dr}\dfrac{1}{v} = \dfrac{C_0}{r^2- C_0 r } )]
[math(\dfrac{dv}{v} = \dfrac{C_0}{r^2- C_0 r } dr)]
양변을 적분해보면
[math(\int \dfrac{1}{v}dv = C_0 \int \dfrac{1}{r^2- C_0 r } dr)]
[math( \ln{v} = C_0 \dfrac{1}{C_0} \ln \dfrac{r-C_0}{r} )]
[math( \ln{v} = \ln \dfrac{r-C_0}{r} )]
[math( {v} = \dfrac{r-C_0}{r} )]
[math( {v} = 1-\dfrac{C_0}{r} )]
이렇게 [math( {v} )](역람다)를 얻을수있다.
[math( v^{-1} = \dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}}= \lambda )]를 조사할수있다.
6.2. 슈바르츠실트 해
[math(ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 )][나](38.33)로부터[math( ds^2 = -\lambda dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + v dt^2)]을 조사하고
[math( ds^2 = -\left( \dfrac{1}{1-\dfrac{C_0}{r}} \right) dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + \left(1-\dfrac{C_0}{r} \right) dt^2)]
이렇게 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)를 얻을수있다.
[math( C_0 )]을 조사함으로써 일반적으로 잘 알려진 슈바르츠실트 반지름을 얻을수있다.
7. 관련 문서
[A] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Presshttps://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229[나] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923 https://www.gutenberg.org/files/59248/59248-pdf.pdf[다] A First Course in General Relativity,Bernard F. Schutz 1985https://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis02012/FirstCourseGR.pdf[라] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL ,PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923#[마] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Press#[다] [마] [나]