1. 개요
gravitational constant · 重力常數고전역학에서 뉴턴의 만유인력의 법칙에 나타나는 보편 상수인 중력의 상수를 말한다. 이는 곧, 단위 질량의 두 질점이 단위 거리만큼 떨어져 있을 때 작용하는 만유인력의 값으로 구체적인 값은 아래와 같다.
[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{-11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}} )]
일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에서도 값의 변화 없이 그대로 등장한다
또한 중력 상수는 플랑크 상수, 태양 질량 등 아주 작은 미시세계부터 매우 거대한 태양계의 별 질량에 이르기까지 가장 기본이 되는 상수 값이다. 따라서 직접 실측을 통하지 않고서는 따로 계산해 낼 수 없는 값이다.
2. 캐번디시 실험
Cavendish experiment18세기 말에 영국의 과학자 존 미첼(John Mitchell)이 고안하고 헨리 캐번디시(Henry Cavendish)가 실행한 과학 실험.
비틀림 저울을 사용한 본 실험은 최소한 1783년부터 존 미첼이 계획하고 있었으나 1793년에 그가 사망했다. 존 미첼의 사후 존 미첼의 비틀림 저울은 프란시스 존 하이드 울라스턴을 거쳐서 캐번디시에게 넘어갔고, 캐번디시는 미첼의 계획을 토대로 미첼의 실험을 수행하였다. 캐번디시는 1797년부터 1798년까지 실험과 측정을 하였고, 1798년에 기고한 논문에 실험 결과를 보고했다.
2.1. 의미
중력 상수, 지구 밀도를 실측하는 인위적인 장치를 고안하고 설계 및 구현하였다는 점에서 인류 역사상 최초의 성공적인 중력 실험장치로 평가받는다. 중력 상수를 위한 2개의 서로 다른 질량의 실험 모델을 축소판으로 구현하고 설계하였다는 점에서 캐번디시 실험은 그 결과의 정확성만큼이나 중요한 의미를 갖는다고 할 수 있다. 이보다 앞선 1774년 스코틀랜드에서의 시할리온 실험은 지구밀도와 관련된 최초 실험으로 알려져있으나 당시로서는 이 실험에 적합한 시할리온산이라는 자연 환경에 의존해야하는 아이디어였다.2.2. 분석
비틀림 계수가 [math(\kappa)]인 비틀림 꼬임 줄에 길이가 [math(L)]인 막대의 중심을 수직으로 연결하고, 질량이 [math(m)]인 2개의 물체를 각각 양끝에 연결한다. 그리고, 질량이 [math(M \gg m)]인 물체 2개를 각각의 질량이 [math(m)]인 물체 가까이 놓으면, 비틀림 저울은 회전한다. 이때, 막대가 회전한 각을 [math(\theta)]라 하고, 질량이 [math(m)]인 물체와 질량이 [math(M)]인 물체의 사이의 거리를 [math(R)]이라 하자.
이때, 각각의 질량이 [math(m)]인 물체와 질량이 [math(M)]인 물체의 사이의 중력에 의한 토크와 복원 토크는 평형을 이룬다.[1]
이상에서 다음의 등식을
[math( \displaystyle \frac{GMm}{R^2} \frac{L}{2} \times 2 =\kappa \theta \quad \cdots \, \small{(\ast)} )]
한편, 비틀림 진자의 주기는 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle T= 2\pi \sqrt{ \frac{I}{\kappa}} )]
[math(I)]는 계의 관성 모멘트로, 다음과 같이 주어진다. 이때, 막대의 질량은 무시한다.
[math( \displaystyle I=2 \times m \biggl(\frac{L}{2} \biggr)^{2}=\frac{mL^{2}}{2} )]
이상에서 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \kappa=\frac{2\pi^2 mL^{2}}{T^2} )]
이것을 식 [math(\small{(\ast)})]에 대입하고, [math(G)]에 대하여 정리함으로써 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle G=\frac{Lr^{2}\pi^{2}}{T^{2}M} )]
3. 불확도
이 상수는 다른 물리 상수에 비해 유효숫자가 적은데 고작 5개밖에 되지 않는다. 이는 중력이 터무니없이 약한 힘이기 때문이다.[2] 이 문제 때문에 킬로그램을 더 밀접한 중력 상수가 아닌 플랑크 상수를 이용해 정의했다.4. 지구 밀도
지표면에서 물체의 중력은 다음과 같다.[math( \displaystyle F=mg )]
한편, 근사를 적용하지 않은 중력은
[math( \displaystyle F=\frac{GMm}{R^{2}} )]
[math(R)]은 지구 반지름이다. 이것을 위해 대입함으로써 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle G=\frac{gR^{2}}{M} )]
한편, 밀도는 질량을 부피로 나누는 것이므로
[math( \displaystyle M=\rho \times \frac{4}{3}\pi R^{3} )]
이것을 대입하면 지구의 밀도를 얻는다.
[math( \displaystyle \rho=\frac{3g}{4\pi R G} )]
각종 상수를 이용하면,
[math( \displaystyle \rho=5.4987940 \times 10^{3} \,{\rm kg/m^3} )]
으로 계산된다.
5. 태양 질량
지구의 질량을 [math(m)], 태양의 질량을 [math(M)]이라 놓으면, 지구의 운동 방정식은[math( \displaystyle m \frac{v^{2}}{r} =\frac{GMm}{r^{2}} )]
[math(r)]은 지구와 태양 사이의 거리이다.
따라서 태양 질량은
[math( \displaystyle M=\frac{v^{2}r}{G} )]
으로 계산할 수 있다.
한편, 공전 주기를 [math(T)]라 하면,
[math( \displaystyle \frac{2 \pi r}{v}=T )]
이므로
[math( \displaystyle M=\frac{r^{3}}{G} \biggl( \frac{2\pi }{T} \biggr)^{2} )]
로 구할 수 있다.
각종 상수를 이용하면,
[math( \displaystyle M=1.988487005 \times 10^{30} \,{\rm kg} )]
이 된다.
6. 다른 표기
6.1. 다인 표기
[math(1\,{\rm dyn}=10^{-5}\,{\rm N})]임을 이용하면,[math( G=6.664 \times 10^{-8}\,{\rm dyn \cdot cm^2 \cdot g^{-2}} )]
6.2. 가우스 중력상수
가우스 중력상수(gaussian gravitational constant, 기호는 [math(K)])는 천체단위에서 태양 질량 [math(M)], 태양일 [math(T)], AU [math(L)]을 단위로 갖는다[math( K = 0.017\, 2020\, 9895\,M^{-1} T^{-2}L^3 )]
7. 관련 문서
[1] 다른 힘들은 막대로 연결 돼있는 상황과 [math(L\ll R)]을 가정한다면 무시할 수 있다.[2] 대놓고 약한 힘이라는 이름인 약한 상호작용보다도 어마어마한 차이로 약하다.[3] 사실 모티브를 고려해 보면 중력 상수를 염두에 둔 것이긴 하다.
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