Euler's identity / Euler's equation
1. 개요
[math(e^{i \pi}+1=0)]오일러의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(Introductio in analysin infinitorum, 1748)에 수록된 등식 중 하나다.
2. 유도
오일러의 공식인 [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]에 [math(x=\pi)] 또는 [math(x=\tau=2\pi)] 를 대입하면 유도 끝.[math(\pi)] 이용: [math(\cos\pi=-1)], [math(\sin\pi=0)]이므로[A] [math(e^{i\pi}=-1)]. 우변의 [math(-1)]을 이항하면 [math(e^{i\pi}+1 = 0)].
[math(\tau)] 이용: [math(\cos\tau=1)], [math(\sin\tau=0)]이므로[A] [math(e^{i\tau}=1)].
[math(2\pi)]마다 값이 반복되는 각도의 특성상 [math(e^{i\pi} = -1)]은 사실 특수해에 불과하고 본래는 [math(e^{i(\pi+2n\pi)} = -1)]이다(단, 이때 [math(n)]은 정수). 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를테면 [math(\ln(-1) = i(2n+1)\pi)]로 [math(i\pi)]뿐만 아니라 [math(3i\pi)], [math(-i\pi)] 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다.
| 3Blue1Brown의 영상. |
| DMT PARK의 조금 더 심화적, 직관적으로 이해할 수 있게 도와주는 영상 |
물리학에서는 [math(e^{ix})]를 변위로 놓고 미분하여 속도와 변위의 관계를 분석하여 규명할 수도 있다. [math(\dfrac {\rm d}{{\rm d}x}e^{ix} = ie^{ix})]가 되는데, 복소 평면에서 [math(i)]를 곱한다는 건 복소 벡터를 [math(90\degree)] 반시계 방향으로 회전하는 것과 같다. 변위 벡터와 속도 벡터가 직각을 이루면 원운동을 하는 것이므로 [math(e^{ix})]의 자취는 원을 그리게 되는데, [math(x)]란 복소 평면에서 양의 실수축을 기준으로 반시계방향으로 얼마나 많은 각도(라디안)로 회전했는가를 나타낸다. 따라서 [math(x=\pi)]면 [math(180\degree)] 돈 셈이며, 여기에 있는 건 다름 아닌 [math(-1)]이다.
3. 응용
아래에 있는 식 중 [math({\rm Log}\,z)]는 밑이 [math(e)]이면서 복소수 [math(z)]의 편각 [math(\arg z)]의 범위가 [math((-\pi,\,\pi])]인 복소로그함수이다.[3] 이에 관한 내용은 해당 문서 참조.[math(\tau = 2\pi)]이므로 아래에는 [math(\pi)]를 사용한 식만 썼다.
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4. 평가
오일러 수라고 불리는 [math(e)]는 미적분을 대표하는 수이고, 허수 [math(i)]는 복소수를 대표한다 할 수 있습니다. 원주율 [math(pi)]는 기하를 대표하고, [math(0)]과 [math(1)]은 어떤 정보를 나타내는 데 필요한 최소 단위에 해당합니다. 이 중요하고 대표적인 숫자들이 단지 [math(+)]와 [math(=)]만으로 연결되어 하나의 수식을 이룬다는 것은 마치 한 줄의 시가 수많은 상황과 감정을 함축하고 있듯이, 이것은 자연의 신비를 가장 함축적으로 나타낸 한 줄의 시와 같이 느껴집니다.
― DMT PARK, 세상에서 가장 아름다운 수식을 이해해보자 영상의 말미에서
[math(e^{i \pi}+1=0)]― DMT PARK, 세상에서 가장 아름다운 수식을 이해해보자 영상의 말미에서
수학계에서 '이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식'이라는 평가를 받는 등식이다. 별 상관이 없어 보이는 원주율과 허수 단위와 자연로그의 밑 [math(e)]가 더하기, 곱하기, 거듭제곱으로 만나 딱 떨어지는 정수를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다. 한마디로 아름답다. 심지어 이 식에 사용된 연산 중 덧셈과 덧셈의 항등원, 곱셈과 곱셈의 항등원이 둘 다 이 식에 포함되어있다.
수학 사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 [math(0)], [math(1)](산술)[6], 자연로그의 밑 [math(e)](해석학), 원주율(기하학), 그리고 허수 단위 [math(i)](대수학)가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 사칙연산, 지수 그리고 등호가 모두 쓰인 대범한 등식이다. 바꿔 말하면 근대 수학의 뿌리가 되는 굵직한 분야들이 이 등식으로 비로소 직관적으로 통합된다. 한마디로 위대하다.
즉 위대하고, 아름답다. 수학자들을 대상으로 MRI 스캔을 통해 조사한 결과 수학자들의 뇌는 이 수식을 예술품처럼 가장 아름답다고 느꼈다.#
물리학자 리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.
카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.
21세기 기준 현존하는 최고의 SF 소설가로 평가받는 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.
5. 기타
아름다움은 주관적인 개념이므로 얼마든지 다른 수식이 더 아름답다고 생각할 수도 있다. 일단 오일러의 공식 자체부터 지수와 삼각함수를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견이 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 [math(1+1=2)]가 가장 아름답다는 의견도 많다.[math(\pi)]보다 [math(\tau=2\pi)]가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 새원주율 지지자들은 식 [math(e^{i\tau}=1)] 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 [math(e^{i\pi}=-1)]보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 [math(e^{i\tau}=1)] 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 [math(e^{i\pi}=-1)]에서 억지로 [math(-1)]을 이항하여 [math(0)]과 [math(1)]을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 [math(0)]과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 [math(e^{i\tau}=1+0)]을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. 2.3 Euler's identity
Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.
영화 박사가 사랑한 수식의 제목 역시 이 등식을 가리킨다.
니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. 오와리모노가타리에서 등장하는데, 아라라기 코요미와 오이쿠라 소다치 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러.
CASIO의 공학용 계산기(특히 자주 쓰는 350, 570, 991 계열)는 [math(e^{i \pi})] 부분이 복소수 모드에서조차 에러나기 때문에 이 등식을 계산할 수 없다(...). 2024년 기준 최신형인 CW도, 가성비 최고인 EX도...
6. 관련 문서
[A] 여기서 각 [math(x)]의 단위는 라디안.[A] [3] 복소함수론에서는 복소수 [math(z)]를 [math(z = re^{i\theta})]로 나타낼 수 있다는 특징으로부터 밑이 [math(e)]인 자연로그만을 취급하기 때문에 상용로그를 볼 일이 정말 없다. 그래서 관례적으로 밑이 [math(e)]여도 [math(\ln)]을 쓰지 않고 [math(\log)]를 쓴다.[4] [math(k=0)]인 경우 [math(e^{-\frac\pi2} = 0.207879576\cdots\cdots)]라는 근삿값이 나온다. 여기서 [math(k)]는 정수이다.[5] 이때, [math(n=0)]일 경우 값은 [math(4.810477380965\cdots\cdots)]이 된다.[6] 각각 덧셈, 곱셈의 항등원이기도 하다