1. 개요
Rydbergs formel / Rydberg 方程式스웨덴의 물리학자 요한네스 뤼드베리(Johannes Robert Rydberg,1854~1919)는 원소의 스펙트럼 계열 및 주기율을 연구하여 분광학을 개척할때 경험적으로 완성 및 사용한 1888년의 뤼드베리 공식(Rydberg formula)으로 유명하다. 1913년 닐스 보어(Niels Bohr)가 뤼드베리 공식(뤼드베리 방정식)을 사용해서 원시적인 형태의 양자역학을 이론적으로 발전시킬때 다루는 기초로 언급하였다. 이 공식을 방정식으로 해서 일반화해 다루다 보면 수소 스펙트럼 계열의 파장을 계산하는데 사용할 수 있다. 뤼드베리 상수로도 잘 알려져 있는데 이는 크게 좀머펠트 미세구조항과 콤프턴 파장항으로 이루어져 있다. 기타 업적으로는 1876년에 뤼드베리(Rydberg)와 슈스터(Schuster, A.)가 제안한 뤼드베리-슈스터 규칙이 있다.
1.1. 1890년의 뤼드베리 공식
[math( \dfrac{n}{N_0} = \dfrac{1}{(m_1+\mu_1)^2}-\dfrac{1}{(m_2+\mu_2)^2} )][1][2]2. 뤼드베리 공식과 뤼드베리 상수
뤼드베리 상수는 물리학에서 수소와 알카리성 금속(Li,Na,K등)을 포함하는 금속원소들(Mg,Ca,Zn,Cd,Hg등)의 스펙트럼 계열식에서 보여지는 보편 상수이다.보어가 수소원자모델로 제안한 보어의 원자모형(보어 모델)에서 전자 에너지 값
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r_n} \right) )] -(1)
역시 보어가 수소원자모델로 제안한 보어 모델에서 전자의 궤도반지름(궤도 껍질,n)을 나타내는 보어반지름 [math( (r_{n}) )]
[math( r_{n} = \dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} )] -(2)
(1)에 (2)를 대입하면
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{\dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} } \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{kq_{1}q_{2} kq_{1}q_{2} m_{e} }{(n\hbar)^2} \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{c^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{n^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} )]-(3)
콤프턴 파장(Compton wavelength) [math( \Delta \lambda =\lambda '-\lambda )]으로부터
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E )]이므로
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E' - E )] - (4) 보어의 양자궤도 조건을 얻을수 있다.
(3)을 (4)에 대입하면
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right)' - \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right) \left( \dfrac{1}{n'^{2}} - \dfrac{1}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right)}{ch} \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{2\pi}{2\pi}\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2\pi2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 2\pi}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
뤼드베리 공식(Rydberg formula,역파장함수) [math( \dfrac{1}{\lambda} = R \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]을 얻을수 있다.
따라서 뤼드베리 상수항(constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) )]을 조사할 수 있다.
2.1. 뤼드베리 상수값 계산
뤼드베리 상수항(Rydberg constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \left( \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) \right) )]2.1.1. 파장항
파장항 [math( \left( \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) = \dfrac{1}{\dfrac{c\hbar }{m_{e}c^2}} =\dfrac{1}{W}= 2.589605 \times 10^{12}m )]환산 콤프턴 파장 [math((W)= \dfrac{c\hbar }{m_{e}c^2} = 3.861592 \times 10^{-13}m )]
2.1.2. 미세구조 항
좀머펠트 미세구조상수(Sommerfeld fine structure constant,기호는 [math({\alpha} )])기본전하량(elementary charge)의 제곱값을 플랑크-콤프턴 상수[math( (\hbar c ) )]로 나눈 값
[math( \dfrac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0)\hbar c}= {\alpha} = 7.297352\times 10^{-3} )]
진공에서의 유전율(permittivity of free space,[math({\varepsilon_0})])
[math({\varepsilon_0} = \dfrac{e^2}{2\alpha c h} = \dfrac{1}{c^2\mu_0} )],투자율[math({\mu_0}=\dfrac{1}{4\pi\times 10^{-7}} )]
[math( \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 = \left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{\hbar c} \right)^2 )]로 놓으면 [math( \left( k = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} , q_1 = e, q_2 = e \right) )]
[math( (\alpha)^2= \left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{\hbar c} \right)^2 =\left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{ c \dfrac{h}{2\pi}} \right)^2 =\left( \dfrac{e^2}{2 \varepsilon_0}\dfrac{1}{h c} \right)^2 = \left( \dfrac{e^2}{2 \dfrac{e^2}{2\alpha c h}}\dfrac{1}{h c} \right)^2 = \left( \dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{\alpha} } \right)^2 = (\alpha)^2 )]
좀머펠트 미세구조상수(Sommerfeld fine structure constant)라는 이름은 보어 원자모형에서 수소 원자 스펙트럼의 미세구조 사이의 간격을 설명하는 데서 유래하지만 다양한 물리적 해석이 존재한다.
특히 이처럼 유전율의 정의를 조사하는데 매우 중요한 정보를 제공한다.
2.1.3. 뤼드베리 상수값 계산
뤼드베리 상수항(Rydberg constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \left( \dfrac{c\hbar}{m_{e}c^2 } \right)^{-1} \right) )][math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left(\text{좀머펠트 미세구조항} \right)^2 \left(\text{콤프턴 파장항}\right)^{-1} \right) )]
[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left(7.297352\times 10^{-3} \right)^2 \left(3.861592 \times 10^{-13}m\right)^{-1} \right) )]
[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( 5.325134621\times 10^{-5} \right) \left( 2.589605 \times 10^{12}/m \right) \right) = 10973729.54 / m )]
3. 뤼드베리-슈스터 규칙
1876년에 뤼드베리(Rydberg)와 슈스터(Schuster, A.)가 제안한 뤼드베리-슈스터 규칙(Rydberg-Schuster rule)은 원자 스펙트럼 계열을 다룰때 주계열의 극한값과 부계열의 극한값 차이는 주계열 첫 줄의 진동수에 맞먹는 값으로 다루어 볼 수 있다는 규칙으로 스펙트럼 계열을 제안하였다.4. 관련문서
[1] J.R. RYDBERG, RECHERCHES SUR LA CONSTITUTION DES SPECTRES D'EMISSION DES ELEMENTS CHIMIQUES. §71 Formule generale du groupe nebuleux. P136 , 1890https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015039478303&view=1up&seq=402-Kungl. Svenska vetenskapsakademiens handlingar. n.s. v.23 pt.2 1888-1889[2] P335 (english-preliminary notice) Rydberg, J.R. (1890). Philosophical Magazine. 5th series. 29: 331–337.The philosophical magazine. ser.5 v.29 XXXIV "On the structure of the line-spectra of the chemical elements" Docent at the University of Lund https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015024088331&view=1up&seq=345