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1. 개요
Dirichlet's convolution디리클레 합성곱은 두 수론적 함수 사이에 정의되는 이항연산으로, 다음과 같이 정의된다.
[math(f*g(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}))]
이 때 [math(f(1)\neq0)]인 모든 수론적 함수의 집합은 디리클레 합성곱 하에서 아벨군을 이룬다.
2. 성질
• 교환법칙 [math(f*g=g*f)]
• 결합법칙 [math(f*(g*h)=(f*g)*h)]
• 분배법칙 [math(f*(g+h)=f*g+f*h)]
2.1. 항등원
수론적 함수 [math(I(n))]은 다음과 같이 정의되는 함수이다.• [math(I(n)=[\frac {1}{n}]=\begin{cases} 1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases})]
이 때 [math(I(n))]은 모든 함수 [math(f)]에 대해 다음 성질을 만족한다.
• 항등원 [math(I*f =f*I=f)]
- [증명]
- ------
[math((f*I)(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)I(\frac {n}{d})=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)[\frac {d}{n}]=f(n))]
2.2. 역원
[math(f(1)\neq0)]을 만족하는 수론적 함수 [math(f)]에 대해 다음을 만족하는 수론적 함수 [math(f^{-1})]이 유일하게 존재한다.• 역원 [math(f*f^{-1}=f^{-1}*f=I)]
이 때 [math(f^{-1})]은 다음 점화식을 만족한다.• [math(f^{-1}(1)=\frac {1}{f(1)}, f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\displaystyle\sum_{d|n, d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d))][1]
- [증명]
- -------
우선 [math(n=1)]일 때에서 [math(f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)})]을 얻는다.
[math(n>1)]에 대해 [math(\displaystyle\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d)=I(n)=0)]임을 이용하자.
[math(좌변 =f(1)f^{-1}(n)+\displaystyle\sum_{d|n, d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d)=0)]
[math(\therefore f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\displaystyle\sum_{d|n, d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d))][2]
즉 수론적 함수 [math(f(1)\neq 0)]에 대해 [math(f^{-1})]의 함수값이 존재하며 유일하다.
예시로 [math(u(n)=1)]과 뫼비우스 함수 [math(mu(n))]은 서로 역원이다.[3]