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1. 개요
물리학에서 등가 원리(等價 原理 / equivalence principle)란, 중력이 일으키는 보편적 가속에 대해 설명하며 서로 밀접하게 연관된 여러 원리들을 지칭한다. 좁은 의미로는 1907년 이론 물리학자 알베르트 아인슈타인이 도입한 등가 원리를 말하며, 이는 일반 상대성 이론의 핵심 원리 중 하나이다. 등가 원리는 물리학에서 가장 특징적이고 정밀하게 검증된 주요 원리 중 하나로[1], 일반 상대성 이론을 비롯한 다양한 중력 이론의 기반임과 동시에 실험적 검증의 대상이 된다. 잘 알려지고 중요한 실험에는 대표적으로 헝가리 물리학자 외트뵈시(Roland Eötvös)가 19세기 말 ~ 20세기 초에 수행한 비틀림 저울 실험이 있다.2. 자유 낙하의 보편성
현재 여러 형태로 제시되어 있는 등가 원리는 공통적으로 중력의 근본적 특성인 자유낙하의 보편성(Universality of Free Fall, UFF)을 설명한다. 고대 그리스의 아리스토텔레스(Ἀριστοτέλης, 384~322 BC)는 중력에 대해 체계적으로 사유한 거의 최초의 과학자이자 철학자이다. 그는 무게에 따라 떨어지는 속도가 다르다고 생각했지만, 이후 다양한 과학자들이 실험적으로 아리스토텔레스의 주장을 반박하면서 자유낙하의 보편성 개념이 선명해지기 시작했다. 예를 들어, 네덜란드의 시몬 스테빈(Simon Stevin, 1548 ~ 1620)이 1586년에 다양한 무게를 가진 물체로 자유 낙하 실험을 수행했다.자유 낙하의 보편성은 대체로 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564~1642)가 체계화했다고 알려져 있다. 당시 피사 대학의 수학 교수였던 그는 1591년 전후로 피사의 사탑에서 서로 다른 질량이나 구성을 가진 물체를 떨어뜨려 대중 앞에 이것을 증명했다고 널리 알려져 있으며, 이 이야기는 갈릴레이의 제자였던 빈센조 비비아니(Vincenzo Viviani, 1622~1703)이 저술하여 1717년 출판한 전기에 수록되어있다.[2] 그러나 (뉴턴의 사과 우화처럼) 역사적 사실과는 거리가 있는 것으로 보이며, 일반적으로는 갈릴레이는 다음 사고 실험에 보다 큰 비중을 두었다고 받아들여진다. 이 사고 실험은 갈릴레이의 저서 운동에 관하여(De Motu, 1591년 경)와 새로운 두 과학(Due Nuove Scienze, 1638)에 실려 있다.
살비아티. 두 물체의 속도가 다르다면, 둘을 합한 물체는 더 빠른 것이 느린 것에 의해 당겨질 것이고, 느린 것은 앞선 것에 끌려나갈 것이네. 이 의견에 동의하는가? 심플리치오. 자네의 의견이 전적으로 맞네. 살비아티. 이것이 맞다면, 거대한 바위는, 예를 들어 8의 속도로 움직이고, 작은 것은 4의 속도로 움직인다고 했을 때 이 둘이 결합한다면 이 계는 8보다 느린 속도로 움직일걸세; 그러나 두 바위를 합한다는 건 8의 속도로 움직이는 큰 바위보다 커진다는 것을 말하지. 따라서, 더 무거운 물체가 가벼운 물체보다 느리게 움직이게 되네. 이 것은 자네의 주장에 반하네. 따라서 무거운 물체가 가벼운 것보다 빠르게 움직인다는 자네의 가정으로부터 나는 더 무거운 물체가 더 느리게 움직인다는 결론을 얻었네.(갈릴레오 갈릴레이, 《새로운 두 과학》 61~70p 중 발췌. #) |
이와 같은 방식으로, 갈릴레이는 무게와 관계없이 물체는 동일한 가속도로 자유낙하를 해야한다는 결론을 유도했다. 갈릴레이는 경사면을 따라 공을 굴리는 방식으로 실제 실험 또한 수행했는데, 이에 대해서는 후술한다.
아래에 나열되는 등가원리는 자유낙하의 보편성을 각자의 역학적 체계 안에서 설명하는 근본 원리들이다. 약한 등가 원리는 뉴턴 역학에서 비롯되며, 아인슈타인 등가 원리는 일반 상대성 이론에서 비롯된다. 기반 역학 체계를 어디에 두느냐에 따라 형태가 달라지며, 따라서 서로는 매우 강하게 관련되어 있지만 세세하게 따지면 차이가 발생한다.
3. 약한 등가원리
관성질량과 중력질량은 동일하다.
뉴턴 역학에서는 약한 등가원리(Weak Equivalence Principle; WEP) 혹은 갈릴레이 등가원리(Galilean Equivalence Principle)를 통해 자유낙하의 보편성을 설명하며, 관성질량과 중력질량이라는 서로 다른 성질의 질량의 관계에 의존한다. 뉴턴 역학에서 약한 등가원리는 자유낙하의 보편성과 동치이기 때문에, 일반적으로는 둘을 같은 것으로 본다. 즉 WEP = UFF이다. 그러나 상대성 이론에서는 관성 질량의 개념이 분명하지 않기 때문에 UFF로 대체하는 것이 좋다.- 관성 질량(inertial mass)
[math(\displaystyle a=\frac{F}{m_i})] |
- 중력 질량(gravitational mass)
[math(F_g = m_g\,g)] |
중력 질량을 측정하기 위해서는 용수철 저울(spring balance)을 사용할 수 있다. 용수철 저울 위에 올려놓은 물체는 아랫방향으로 중력을, 윗방향으로 탄성력을 받게 된다. 이 물체가 진동 운동을 하다가 정지했을 때, 중력과 탄성력은 평형을 이룬다. 따라서
[math(\displaystyle m_g g = k \Delta x \quad \Leftrightarrow \quad m_g = \frac{k}{g} \Delta x)] |
라는 관계식으로부터 중력 질량을 구할 수 있다.
뉴턴 역학에 따라서 자유낙하의 보편성을 유도해보자. 물체가 중력만을 받는다고 가정했을 때, 물체의 가속도는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle a = \frac{F_g}{m_i} = g\,\red{\frac{m_g}{m_i}})] |
여기에서, [math(m_g \propto m_i)], 혹은 [math(m_g = m_i)]라면 주어진 중력장에서 물체는 질량에 관계없이 동일한 가속도를 갖게 될 것이다. 반대로 자유낙하의 보편성이 성립한다면 이 관계가 성립하게 된다. 따라서, (비례 상수를 무시한다면)
[math(m_i = m_g)] |
라 두어야 한다. 이것이 약한 등가 원리이며, 자유낙하의 보편성과 완벽하게 동치이다.
한편 뉴턴의 중력 법칙에 따르면, 질량이 [math(m_1, m_2)]인 두 물체 사이에 작용하는 중력의 크기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle F = -G\frac{m_1m_2}{r^2})] |
여기에 뉴턴의 제 2법칙을 적용하면 질량이 [math(m_1)]인 물체가 받는 가속도는
[math(\displaystyle a = \frac{F}{m_1} = -G\frac{m_2}{r^2})] |
이며, [math(m_2)]를 고정시키면 이 가속도는 [math(m_1)]의 크기에 관계없이 일정하다는 것을 알 수 있다.
등가 원리는 중력의 매우 특징적인 성질이다. 예를 들어서 비슷하게 역제곱법칙을 갖는 정전기력은 등가 원리가 성립하지 않는다. 정전기력에서 중력 질량에 대응하는 개념으로는 전하(electric charge)가 있는데, 전기장 [math(E)]가 주어져 있을 때 전하 [math(q)]가 받는 전기력은
[math(\displaystyle F = qE)] |
이고, 전하 [math(q)]가 대전된 질량 [math(m)]의 물체가 받는 가속도는 다음과 같다.
[math(\displaystyle a = \frac{q}{m}E)] |
그런데, 전하와 질량(관성 질량, 혹은 등가 원리에 따라 중력 질량)은 서로 별개의 개념이며 동일한 물체에 양극 또는 음극으로 대전시킴으로써 가속 방향을 바꿀 수 있다. 따라서, 주어진 전기장에 다양하게 대전된 동일 물체를 올려놓으면, 혹은 동일하게 대전된 다양한 물체를 올려 놓으면 가속도는 달라지게 된다.
3.1. 약한 등가원리의 검증
- 중력 가속도 실험
| [math(\displaystyle a = g\sin\theta\red{\frac{m_g}{m_i}})] |
가 아니다. 리처드 파인만이 브라질 과학계의 문제점을 지적할때도 나온 일화지만 위치에너지 일부가 회전 운동에너지로 바뀌기 때문에 공이 회전없이 미끄러져 내려오지 않고서야 가속도는 이보다 훨씬 작다, 미끄러짐이 없고 균일한 밀도의 구라 가정하면 무려 28.6%가 작게 나온다. 경사면의 각도를 조절하여 물체가 굴러 떨어지는 속도를 조절할 수 있으므로 보다 실험이 용이해진다.
- 뉴턴의 단진자 실험
| [math(\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\red{\frac{m_i}{m_g}}\frac{l}{g}})] |
이다. 여기에 다양한 질량을 가진 추를 매달았을 때, 만약 약한 등가 원리가 성립한다면 그 주기는 언제나 일정할 것이다. 뉴턴은 금, 은, 납, 유리 등 다양한 물질을 사용하여 이 실험을 수행하였고 이로부터 뉴턴은 1000 분의 1 정도의 오차 수준으로 약한 등가 원리를 검증하는 데에 성공하였다.[3] 독일 천문학자 프리드리히 베셀(Friedrich Bessel, 1784 ~ 1846)도 1832년에 동일한 실험을 수행하였고 유의미한 오차가 검출되지 않았다.
- 외트뵈시 실험
| |
| 외트뵈시의 비틀림 저울[4] |
외트뵈시는 비틀림 저울(torsion balance)을 이용한 실험을 진행하였다. 지구에 대하여 정지한 좌표계(실험실 좌표계; lab frame)에서 막대 양쪽에 추 [math(\mathrm{A, B})]를 고정시킨 다음 실에 막대를 매달면, 두 추는 지구와 주고받는 중력(만유인력, [math(\mathbf{F}_g)])과 지구의 자전에 의한 겉보기 힘(원심력, [math(\mathbf{F}_f)]), 그리고 실에 의한 장력이 막대에 나뉘어 들어간 힘([math(\mathbf{T})])를 함께 받게 된다. 이 때 원심력은 자전축에 수직이며 지구 바깥을 향한다. 힘의 평형 상태에서 장력이 상쇄시키는 힘(만유인력 + 원심력)은 다음과 같이 표현된다.
[math(\mathbf{-T} = \mathbf{F}_g + \mathbf{F}_f)]
만약 이 계가 역학적 평형을 이루려면, 다시 말해 비틀림 저울이 회전도 하지 않으려면 힘의 평형을 이룬 후 [math(\mathbf{T}_\mathrm{A})]와 [math(\mathbf{T}_\mathrm{B})]는 나란해야만 한다.
[math(\mathbf{F}_{g, \mathrm{A}} + \mathbf{F}_{f, \mathrm{A}} \propto \mathbf{F}_{g, \mathrm{B}} + \mathbf{F}_{f, \mathrm{B}})]
그런데 [math(F_g)]는 [math(m_g)]에 비례하며, [math(F_f)]는 관성력이므로 [math(m_i)]에 비례한다. 이로부터 다음을 얻는다. ([math(\mathbf{g, a})]는 고정된 벡터이다.)
| [math(m_{g, \mathrm{A}}\mathbf{g} + m_{i, \mathrm{A}}\mathbf{a} \propto m_{g, \mathrm{B}}\mathbf{g} + m_{i, \mathrm{B}}\mathbf{a})] [math(\displaystyle \frac{m_{g, \mathrm{A}}}{m_{i, \mathrm{A}}} = \frac{m_{g, \mathrm{B}}}{m_{i, \mathrm{B}}})] |
따라서, 비틀림 저울에 거울을 달아놓고 이 거울이 반사시킨 빛이 (거울이 회전하면서) 움직이는 정도를 정밀하게 측정함으로써 약한 등가 원리를 검증할 수 있다. 만약 등가 원리가 맞다면, 거울은 회전하지 않아야 한다. 이 실험은 1890년 처음 수행된 후, 몇 번의 개선을 거쳐 [math(10^{-9})] 수준의 정밀도로 약한 등가 원리를 검증하는 데 성공하였다.[5]
4. 아인슈타인 등가원리
균일한 중력장이 존재하는 정지계와 균일하게 가속하는 좌표계는 물리적으로 완전히 동등하다(실험적으로 구분할 수 없다).
현대적인 등가 원리는 1907년 알베르트 아인슈타인(1879~1955)에 의해 도입되었다. 명백히도, 그 동기는 1905년에 자신이 정립했던 새로운 역학 체계인 상대성 이론으로부터 나왔다. 아인슈타인이 수정한 등가 원리는 이후 중력에 대한 이해체계를 완전히 뒤바꾸는 중요한 계기를 마련했다. 아인슈타인의 등가 원리와 그 결과들을 다루기 전에, 아인슈타인이 새로운 등가 원리를 도입한 동기를 살펴보자. 다음 내용은 1912년 독일 물리학자 막스 아브라함(Max Abraham, 1875~1922)과의 논쟁[Einstein(1912b)]에서 아인슈타인이 밝힌 견해를 바탕으로 하였으므로 참고할 수 있다.1. 뉴턴의 중력 이론과 상대성 이론의 충돌
상대성 이론은 뉴턴의 중력이론에 어떤 방식으로든 수정을 요구했다. 기존 중력 법칙은 질량(분포)의 변화가 중력장을 변화시키는 데에 시간이 필요하지 않기 때문에, 빛보다 빠르게 정보가 전달될 수 없는 상대성 이론과 맞지 않았다. 자세히 설명하자면 빛보다 빠른 정보는 원인과 결과가 뒤바뀔 수 있다. 예를 들어 태양이 갑자기 사라졌을 때 지구가 어떻게 반응하는지에 관한 문제를 살펴보면, 태양이 사라짐과 동시에 지구가 즉각 반응하는 좌표계도 가능하지만, 어떤 좌표에서는 태양이 사라진 뒤 지구가 반응하고, 어떤 좌표에서는 지구가 반응한 뒤 태양이 사라져버린다!이에 따라 아인슈타인이 중력을 상대성 이론에 맞게 수정하는 과정에서, 1907년 이전까지 아인슈타인을 가장 괴롭혔던 문제는 다름아닌 질량과 에너지의 등가([math(E=mc^2)])였다. 이에 따르면, 물체는 (운동이든, 열이든) 에너지가 가해지면 물체는 관성 질량이 증가하게 된다. 문제는 이 공식이 중력 질량에 대해서는 설명하는 바가 없다는 것이다. 연직 방향으로 균일한 중력장 [math(g)]에 물체를 놓으면, 이 물체가 받는 가속도는 이미 설명했듯이
[math(\displaystyle a = \frac{m_g}{m_i}g)] |
가 된다. 약한 등가 원리에 따르면 [math(m_i = m_g)]이다. 그런데 물체가 수평 방향으로 [math(v)]의 속력을 갖는다면, 이 물체의 가속도는
[math(\displaystyle a \approx \frac{m_g}{\displaystyle m_i + \frac{m_iv^2}{2c^2}}g)] |
가 되어 가만히 놓은 물체에 비해 작다(개념적으로만 받아들일 것.). 이는 중력 질량이 관성 질량에 맞춰서 증가하지 않았기 때문이다. 등가 원리는 외트뵈시 실험 등에 의해 매우 정확하게 검증된 법칙인만큼[7] 아인슈타인은 중력 질량이 상대성 이론에서도 관성 질량과 같아야 한다고 생각했다. 그러기 위해서는 에너지에도 무게(중력 질량)가 존재해야 한다. 질량이 [math(m)]인 물체에 에너지 [math(e)]를 추가하면 관성 질량이 [math(m + e/c^2)]이 되므로 에너지 자체가 [math(e/c^2)]에 해당하는 만큼의 무게를 갖고 있어야 한다는 것이다. 하지만 아인슈타인은 이것을 설명할 수 있는 뚜렷한 방법을 찾지 못하고 있었고, 에너지의 중력 작용에 대해서도 합리적으로 설명할 수 있도록 등가 원리에 대해 보다 일반화된 표현을 찾아내려 하였다.
2. 상대성 원리의 확장
뉴턴의 중력 이론과 상대성 이론이 잘 맞지 않는다는 것은 꽤 많은 물리학자들이 어렵지 않게 깨달은 점이었으나 아인슈타인을 특별하게 만든 점은 상대성 원리를 일반화하는 문제를 함께 고민하고 있었다는 것이다. 상대성 이론이 기반으로 하고 있던 상대성 원리는 이론의 적용 범위를 관성계에 한정하는 결과를 낳는다. 함부로 상대성 원리를 가속계에 확장할 수 없는 이유는 비관성계에서는 가만히 놓은 물체가 정지해있다는 뉴턴의 제1법칙이 성립하지 않기 때문이다. 따라서 뉴턴 역학은 비관성계를 "적절하지 않은 좌표계"라며 차별했다. 하지만 아인슈타인은 상대성 원리가 물리학의 매우 본질적인 법칙이라고 보았으며 이 원리가 특정 좌표계에만 적용될 이유가 없다고 생각했다. (이 문제는 다소 난해하며, 일반 상대성 이론이 나온 뒤에도 아인슈타인의 주장에 대한 해석이 분분하다.)이렇게 아인슈타인에게는 두 가지의 문제 의식이 있었으며, 이 둘은 같은 문제의 서로 다른 측면이거나, 전혀 다른 문제를 나란히 세워둔 것일 수 있다. 게다가 물리학에서 매우 중요한 중력의 문제와 달리 상대성 원리 문제는 철학적 고찰에 가까웠으며, 아인슈타인 스스로도 물리학적 관점에서 얼마나 진지하게 고민하고 있었을지는 알 수 없다. 그러나 1907년 떠오른 한 아이디어로부터 아인슈타인은 자신이 가졌던 두 문제를 하나의 문제로 통합하여 볼 수 있었으며, 매우 강력한 동기를 얻었다. 이 작은 아이디어를 등불 삼아 차근차근 길을 개척한 끝에 아인슈타인은 1915년 일반 상대성 이론이라는 거대한 중력 이론을 제 손으로 완성하고야 만다.
1907년 베른의 특허청 사무실에서 특수 상대성 이론의 그간 연구 성과를 정리하던 아인슈타인은 어느날 지금까지 설명한 문제점을 단번에 해결할 수 있는 단순하지만 기발한 아이디어를 떠올렸고, 그것을 자신이 쓰던 논문의 마지막에 과감히 삽입하였다.
지금까지 우리는 상대성 원리, 즉 물리법칙들이 좌표계의 운동상태에 독립적이라는 가정을 오직 가속하지 않는 기준계에만 적용해왔다. 상대성 원리가 서로에 대해 가속하는 계에도 적용될 수 있을까? (...) 두 계 [math(\Sigma_1)]과 [math(\Sigma_2)]를 생각하여 [math(\Sigma_1)]는 [math(X)]축 방향으로 가속시키고, [math(\gamma)]를 (순간적으로 일정한) 가속도의 크기라고 하자. [math(\Sigma_2)]는 정지해있으나 균일한 중력장에 놓아 모든 물체들이 [math(X)]축 방향으로 [math(-\gamma)]의 가속도를 갖도록 하자. 우리가 아는 한, [math(\Sigma_1)]에 대한 물리법칙은 [math(\Sigma_2)]에 대한 것과 다르지 않다. 따라서 현재까지의 경험 속에서 우리는 두 계 [math(\Sigma_1)]과 [math(\Sigma_2)]가 어떤 면에서도 서로 다르다고 할 이유가 없으며, 그러므로 앞으로의 논의에서 우리는 중력장과 그에 대응되는 기준계의 가속이 완벽하게 물리적으로 동등하다고 가정할 것이다. 이 가정은 상대성 원리를 일정하게 병진 가속운동하는 기준계로 확장시킨다. 이 가정의 발견법적(heuristic)인 가치는, 균일한 중력장을 (이론적 접근이 어느 정도 가능한) 일정하게 가속하는 기준계로 교체할 수 있다는 데에 있다. [Einstein(1907)] |
등가 원리란 용어도 사실 아인슈타인이 도입하면서 정립된 용어이다. 1912년 아인슈타인이 "빛의 속력과 중력장의 정역학"이라는 논문에서 "등가 가설"(Äquivalenzhypothese), "등가 원리"(Äquivalenzprinzip)이라는 용어를 처음 사용하였다.[Einstein(1912a)] 사실 "등가"보다는 "동등"에 가까운 의미로, 아인슈타인의 표현대로 중력장과 가속도의 어떤 동등성을 나타낸다. 등가 원리와 관련된 사고 실험을 통칭 아인슈타인 엘리베이터(Einstein Elevator) 등이라 부르는데, 임의로 추상화된 실험실을 이용해 사고 실험을 재현해보자.
이 사고 실험은 기존 역학에서 완전히 다르게 보았던 두 현상에서 공통점을 찾아내기 위한 것으로, 몇가지 제한 조건이 필요하다. 첫번째로, 실험실 내부에서는 바깥을 볼 수 없다. 자신이 현재 지구 위에 있는지, 텅 빈 공간 속에서 가속하고 있는지 눈으로 확인하는 순간 편견이 개입될 것이다. 실험실 내부의 관측자는 두 상황에서 실험을 모두 수행한 후, 데이터를 분석하는 과정에서 (차이점이 있다면) 각각이 어떤 상황이었는지 알게 될 것이다. 두번째로, 실험실 내부에서 중력장이 균일해지도록 내부 공간을 충분히 작게 만들어야 한다. 실험을 오래 끌어서도 안된다. 지구가 자전하면서 중력장을 변화시킨다. 한마디로, 매우 작은 4차원 영역 안에서 실험을 진행해야 한다. 물리 현상은 대부분의 상황에서 국소적으로 이루어지기 때문에, 큰 문제를 만들지 않는다(이 문제는 등가 원리가 정립된 후 중요해진다). 일반적으로 문제를 국소적으로 분석하는 것은 상황의 변수를 줄이고 단순하게 만드는 매우 유용한 스킬이면서도 상황의 본질을 파악하는 지름길 중 하나이다.
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이것을 수학적으로 설명하는 것은 매우 단순하다. 바깥의 관성 좌표계 [math((x, y, z))]와 실험실 좌표계 [math((x', y', z'))]를 준비한 다음 실험실의 원점에 실험자를 위치시키고, [math(t = 0)]에 두 기준계의 좌표축이 완전히 일치하며 실험실은 바깥 기준계에 대해 정지해 있다고 정한다. 실험실 좌표계의 [math(z')]축을 실험실의 가속방향으로 둔다. 이 좌표계는 [math(+z)] 방향으로 [math(g)]의 가속도로 움직인다. 그러므로, 두 좌표계 사이의 변환 규칙은
[math(\displaystyle x' = x, \quad y' = y, \quad z' = z - \frac{1}{2}gt^2)] |
이 된다. 바깥 관성 좌표계에서 공의 운동 방정식은 관성의 법칙에 의해 [math(d^2x/dt^2 = d^2y/dt^2 = d^2z/dt^2 = 0)]이다. 따라서, 실험실 좌표계에서 공의 운동 방정식은
[math(\displaystyle \frac{d^2x'}{dt^2} = 0, \quad \frac{d^2y'}{dt^2} = 0, \quad \frac{d^2z'}{dt^2} = -g)] |
가 된다. 이는 중력장 위에 놓인 실험실에서 실험한 결과와 완벽하게 같다. 이것은 가장 간단한 운동학적 실험만 분석한 결과이지만, 두 상황이 운동학적으로만 동등하다고 하는 건 큰 교훈을 주지 않는다. 이 결과를 확장하여 모든 물리적 실험에 대해서도 동등하다고 해야만 보다 근본적인 통찰을 얻을 수 있으며, 에너지가 중력을 받는지에 대한 문제 등 설명하기 어려웠던 부분에 대해 답을 할 수 있다. 우리는 이로부터 두 계를 (무한히 작은 4차원 영역에서 고려한다는 전제 조건 하에) 어떤 방법(물리적 실험)으로도 구별할 수 없다는 강력한 가정을 할 수 있다. 이로써 아인슈타인의 등가 원리를 얻는다.
고전 역학에서는 가속하는 좌표계에서 나타나는 이러한 중력과 유사한 현상을 관성력이라고 불렀다. 뉴턴의 운동 법칙에 따르면 가만히 놓은 물체는 관성에 따라 어느 힘에 대응하는 가속도가 존재하지 않아야 하는데, 가속계에서는 이것이 성립하지 않는다. 따라서, 고전 역학에서 가속계를 다룰 수 있도록 이 가속도에 대응하는 가상의 힘을 관성력이라고 한 것이다. 이 표현을 빌리면, 아인슈타인의 등가 원리는 "중력과 관성력은 같다"고 표현할 수 있다.(고등학교 과정의 등가 원리에서는 이 표현이 보다 유용하다.)
아인슈타인은 자신의 초기 연구 철학에 맞게 자신이 발견한 등가 원리에 대하여 일차적으로 발견법적인 가치를 무엇보다 강조했다. 즉, 등가 원리는 중력장에서의 물리법칙을 알려진 방식(가속 운동)으로 설명하기 위한 보조 장치라 할 수 있다. 하지만 상대성 원리가 그랬듯, 서로 구분할 수 없는 것은 같다고 하는 것이 가장 합리적이란 것 또한 잘 알고 있었다. 예를 들어 중력장이 좌표계의 가속을 만든다면 반대로 좌표계를 가속시켜도 중력장을 만들 수 있다.
마지막으로 아인슈타인은 등가 원리가 가속 운동에 대한 상대성 원리를 시사한다고 설명했는데(중력이 없는 가속계를 중력이 있는 정지계로 바꿀 수 있으므로), 이 설명은 결론적으로 중력이 시공간의 기하학을 바꿔버리기 때문에 일반 상대성 이론의 관점에서는 틀렸다. 중력장으로 인해 지구가 있는 곳과 실험실이 있는 곳에 좌표를 일관성있게 놓지 못하기 때문에 한쪽은 관성계, 한쪽은 가속계가 되는 것이다. 기존 개념에서는 기준계의 운동 상태가 점에 따라 달라진다는 것 자체가 불가능하기 때문에, 아인슈타인 역시 연구 초기에는 실험실이 멀리 떨어진 지구 원점에 대하여 (좌표 상에서) 정지해 있는 것을 좌표계 전체가 정지한 것으로 해석했다. 하지만 등가 원리가 국소적으로만 성립한다는 것과 중력이 공간의 기하학을 바꾼다는 것을 차례로 깨달으면서 이러한 설명은 점차 중요도가 떨어졌다.
4.1. 주요 결과
아인슈타인은 1911년 논문 『중력이 빛의 진행에 미치는 영향』[Einstein(1911)]을 통해 등가 원리를 정식으로 도입하고 관련 결과들을 다음과 같이 제시하였다. 크게 ① 에너지의 중력 작용을 통한 약한 등가 원리의 유도, 그리고 실험적으로 확인이 가능한 중력에 의한 ② 적색 편이와 ③ 빛의 굴절 현상의 예측으로 나눌 수 있다.등가 원리가 예측하는 적색 편이와 빛의 굴절은 현대 천문학에서 없어서는 안 될 도구이다. 중력 렌즈 효과, 암흑 물질, 퀘이사의 발견, 우주의 곡률 계산 등이 이 현상들을 기반으로 하고 있다. 하지만 일반 상대성 이론이 검증된 가장 중요한 실험들임에도, 둘 다 효과 자체는 등가 원리에 의존하기 때문에 일반 상대성 이론에 특징적이지는 않은 실험으로 본다. 특히, 중력 적색 편이는 등가 원리의 중요한 검증 수단 중 하나로 간주된다.
4.1.1. 중력 적색 편이
에너지가 중력을 받는지에 관한 문제가 아인슈타인의 가장 중요한 논점이라 볼 수 있다. 뉴턴 중력은 일반적으로 에너지에 대한 중력의 영향을 설명하지 못하기 때문이다. 에너지를 다루는 가장 쉬운 방법은 빛(복사)을 이용하는 것이다.지구에 대해 정지한 좌표계 [math(K)]를 준비하여 [math(z)]축을 중력장 방향과 일치시킨 다음 빛을 방출하고 인식하는 두 개의 동일한 장치 [math(S_1)]과 [math(S_2)]를 준비한다. 이들을 떨어뜨려 [math((0, 0, 0))]에 [math(S_1)]을, [math((0, 0, h))]에 [math(S_2)]를 설치한다. 중력장의 크기를 [math(\gamma)]라 하면, [math(S_1)]과 [math(S_2)]의 중력 퍼텐셜은 [math(\gamma h)]만큼 차이나게 된다.
다음으로, 중력장에 놓이지 않은 두 개의 좌표계 [math(K_0)]과 [math(K')]을 준비한다. 두 좌표계는 [math(t=0)]에 좌표축이 모두 일치하며, [math(K_0)]에 대하여 정지해 있다. 그리고 [math(K_0)]은 특수 상대성 이론이 성립하는 관성계이며, [math(K')]은 [math(K_0)]에 대하여 [math(+z)] 방향으로 [math(\gamma)]만큼 가속한다. (이러한 논의는 순간적으로만 가능하다.) 이 때 [math(K)]와 [math(K')]은 물리적으로 동등하므로, [math(K')]에도 동일한 위치에 [math(S_1)]과 [math(S_2)]를 고정시킨다.
이제, [math(S_2)]에서 [math(S_1)]로, 즉 [math(-z)] 방향으로 빛을 쏘는 과정을 [math(K_0)]에서 살펴본다고 하자. [math(S_2)]에서 에너지 [math(E_2)]로 발사된 빛은 [math(S_1)]까지 도달하는 동안 (1차 근사로) [math(h/c)]의 시간이 걸린다. 그동안, [math(S_1)]은 [math(+z)] 방향으로 [math(v = \gamma h/c)]라는 속력을 얻게 된다. 상대론적 도플러 효과를 이용하면, [math(S_1)]에 도달한 빛은 (1차 근사로)
[math(\displaystyle \begin{aligned} \nu_1 &= \nu_2\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}} \approx \nu_2\left(1 + \frac{v}{c}\right) \\ &= \nu_2\left(1 + \frac{\gamma h}{c^2}\right) \end{aligned})] |
로 진동수가 증가하게 된다. 등가 원리에 따라, 중력장에 정지한 [math(K)]에서도 [math(S_2)]에서 [math(\nu_2)]로 방출된 빛은 [math(S_1)]에서 [math(\nu_1)]로 진동수가 증가하게 된다. 만약, [math(\gamma h = \Phi)]라 두면
[math(\displaystyle \nu_1 = \nu_2 + \frac{\nu_2}{c^2}\Phi)] |
가 된다. 한편, 파장 [math(\lambda)]는 [math(\lambda = c/\nu)]를 만족시키므로, 다음과 같이 청색편이 공식을 얻을 수 있다. 이것을 아인슈타인 편이(Einstein Shift)라고도 한다.
[math(\displaystyle \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 1 + \frac{\gamma h}{c^2} \left(= 1 + \frac{\Phi}{c^2}\right))] |
이로부터 빛은 [math(S_2)]에서 [math(S_1)]으로 이동하면서 청색편이되고, 진동수가 증가한다는 사실을 알 수 있다. 반대로, 빛이 [math(S_1)]에서 [math(S_2)]로 이동한다면 빛은 적색편이되고, 진동수가 감소한다.
적색편이를 이용하면 아인슈타인의 의도대로 약한 등가 원리를 확장할 수 있다. 다시 말해, [math(E)]만큼의 에너지를 얻으면 관성 질량이 [math(E/c^2)]만큼 증가하듯이 중력 질량도 [math(E/c^2)]만큼 증가하는지를 보일 수 있다. 먼저, 양자역학의 플랑크 공식 [math(E=h\nu)]을 활용하면 적색편이 공식을 에너지에 대한 공식으로 바꿀 수 있다.[11]
[math(\displaystyle E_1 = E_2\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right))] |
따라서, 중력 질량 [math(M)]을 가진 물체가 [math(E)]만큼의 에너지를 흡수한 후, 중력장에 대하여 일을 하면 추가된 에너지는 중력에 대하여 [math(\displaystyle \frac{E}{c^2}\Phi)]만큼의 일을 하게 된다. 따라서 물체의 총 중력 퍼텐셜은
[math(\displaystyle M\Phi + \frac{E}{c^2}\Phi = \left(M + \frac{E}{c^2}\right)\Phi)] |
가 되며, 중력 질량은 [math(M)]이 아니라 [math(\displaystyle M + \frac{E}{c^2})]가 된다. 다시 말해, 중력 질량 또한 관성 질량처럼 질량 에너지 등가 원리를 따르게 된다.
파운드-레브카 실험
아인슈타인 편이는 1959년 로버트 파운드(Robert Pound; 1919~2010)와 글렌 레브카(Glen Rebka; 1931~2015)가 계획한 실험에 의해 정밀하게 검증되었으며, 이를 파운드-레브카 실험이라고 부른다([Pound&Rebka(1959)]). 아인슈타인 편이의 예측이 1911년(1907년에 보다 복잡한 방법으로 유도) 등장한 것을 고려하면 상당히 늦게 검증된 편이며, 이로써 아인슈타인이 제기한 3대 고전 예측(수성의 근일점 이동, 빛의 굴절, 적색 편이)이 모두 검증되어 당시에는 중력파 발견에 못지 않게 주목을 받았다. 이는, 일반 상대성 이론 관련 다른 실험과 달리 지상에서 엄격히 통제되어 이루어졌을 뿐만 아니라 중력에 의한 시간 지연 효과도 함께 검증했다는 의의가 있다. 이 실험은 1958년 발견된 뫼스바우어 효과(Mössbauer effect)에 의해 가능했다.
원리는 다음과 같다. 철 등의 고체 원소에 에너지를 가해 들뜬 상태를 만들면 감마선이 방출되는데, 감마선이 방출되는 순간 에너지의 일부가 방출 핵을 뒤로 밀어내 반동을 일으키며 나아가고, 이 과정에서 약간의 에너지를 잃게 된다. 따라서, 동일한 상태의 고체에 감마선을 통과시키면 공명이 감소한다. 만약 시료의 온도가 충분히 낮아서 고체 격자가 뒤로 반동되지 않게 한다면, 감마선은 그만큼 에너지 소모가 줄어들고, 검출기가 감마선을 흡수하는 정도도 증가한다. 뫼스바우어는 1958년 이리듐-191(191Ir)로부터 방출된 129 keV의 감마선을 동일 조건의 이리듐에 통과시키는 실험에서 90K 조건에서 공명하는 감마선의 양이 증가하는 것을 확인함으로써 이 현상을 실증할 수 있었다.
뫼스바우어 효과는 아인슈타인 편이의 검증에서 온도 및 방출기의 속도 조절을 통해 감마선의 파장을 통제하는 데에 핵심적 역할을 수행했다. [Pound&Rebka(1960)]에서는 방출 시료와 검출 시료를 22.5m 높이로 떨어뜨리고, 철-57(57Fe)과 14.4 keV의 감마선을 이용했다. 이 때 아인슈타인 편이가 예측하는 효과는
[math(\displaystyle \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 2.5 \times 10^{-15} (\mathrm{m}))] |
이다. 첫번째 실험은 오차가 10% 정도였으나, [Pound&Snider(1964)]에서 실험을 개선한 결과 아인슈타인 편이와의 오차를 1% 이내로 줄일 수 있었다.
이 실험 직후 Schild(1960, 1962, 1967)가 제시한 논의는, 아인슈타인 등가 원리를 매우 설득력 있게 만들어준다. 특수 상대성 이론이 성립하는 관성 좌표계에서는 적색 편이를 예측할 수 없기 때문이다. 만약 지표면에 대해 정지한 관성 좌표계가 존재한다면 [math(S_1)]과 [math(S_2)] 또한 관성 상태에 있다. 이 때 [math(S_2)]에서 [math(S_1)]을 향해 일정한 진동수 [math(\nu_2)]의 신호를 방출하고, [math(S_1)]은 진동수 [math(\nu_1)]로 신호를 받아들인다. 이렇게 신호가 [math(N)] 개의 주기만큼 방출되었다고 가정하면, [math(S_1)]과 [math(S_2)]에서 각 마루(crest) 사이의 시간 간격을 [math(\delta \tau_1, \, \delta \tau_2)]라 했을 때
[math(N = \nu_1\delta\tau_1 = \nu_2\delta\tau_2)] |
가 된다. 정밀하게 수행된 파운드-레브카 실험으로부터 우리는 [math(\nu_1 > \nu_2)]임을 알 수 있다. 따라서, [math(\delta\tau_1 < \delta\tau_2)]를 얻는다.
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특수 상대성 이론에 따르면, 빛의 마루로 구성된 각 신호는 첫번째 그림처럼 [math(1/c)]의 기울기로 일정하게 뻗어 나간다. 여기에 중력이라는 외부 힘을 도입하여, 두번째 그림처럼 어떤 방식으로든 각 신호의 기울기에 영향을 주었다고 하자. 그러나, 중력장이 시간에 따라 변하지 않는다면 이 기울기 왜곡은 각각의 신호가 모두 똑같아야 하므로, 각 신호가 그리는 궤적은 서로 합동이다. 이는 특수 상대성 이론이 직교 좌표계 상에서 이루어지기 때문이다. 따라서 [math(S_1)]과 [math(S_2)]에서 신호의 방출 간격 [math(\delta\tau_2)]와 도달 간격 [math(\delta\tau_1)]은 서로 같아야만 한다. 그런데 파운드-레브카 실험은 이 결론을 부정한다. 따라서 특수 상대성 이론은 지표면 좌표계를 정확히 설명할 수 없으며, 특수 상대성 이론이 틀렸거나 적어도 지표면 좌표계가 직교 좌표계라는 결론이 틀린 것이다. 여기에서 지표면 좌표계가 가속계라 가정하여 적색 편이를 예측하는 아인슈타인 등가 원리는 매우 설득력있는 해석이 된다.
몇몇 교과서에서는 아인슈타인 편이를 약한 등가 원리와 에너지 보존 법칙만을 이용해서 유도한다.([Schutz(2009)], [Misner(1973)] 등 참고.) Schild의 논의는 아인슈타인 등가 원리에 대한 반대의 가능성, 즉 지표면 좌표계가 관성계라는 기존 관념을 차단해주기 때문에 아인슈타인 등가 원리를 보다 매끄럽게 받아들일 수 있는 여지를 제공한다. 그런데 아인슈타인 등가 원리를 먼저 받아들이면 순서가 꼬이기 때문인지 Schild의 논거를 받아들이는 교과서에서는 보통 약한 등가 원리를 기반으로 적색 편이를 유도하고 Schild의 논의를 살핀 다음 아인슈타인 등가 원리를 도입한다. 이 문서의 흐름은 S.Carroll의 Spacetime and Geometry (2004)와 유사하다.
어느 쪽이든, 약한/아인슈타인 등가 원리로부터 중력 적색 편이를 유도하기 위해서는 특수 상대성 이론이 필수적이다. 뉴턴 역학만을 이용했을 때 중력 적색 편이가 유도되지 않는다는 것은 [Florides(2013)] 등에서 다룬 바 있다. 아인슈타인 등가 원리에서는 광속 불변 원리가 전제되어야 하며, 약한 등가 원리에서는 질량-에너지 등가성이 필요하다. 결과론적으로 보자면 적색 편이는 동기를 제공하기 위한 발견법적인 장치에 지나지 않기 때문에 이 논의를 선호하지 않는 교과서에서는 일절 인용하지 않기도 한다.
4.1.2. 빛의 굴절
위에서 살펴보았듯이, 중력 적색 편이는 중력 퍼텐셜 차이에 따라 시간의 흐름이 상대적으로 달라진다는 것을 시사한다. 즉, [math(\Phi)] 만큼의 중력 퍼텐셜이 차이날 경우 높은 곳은 낮은 곳보다 [math(1 + \Phi/c^2)] 배 빠르게 흐른다. 이를 이용하면 빛의 속력 또한 높은 곳에서 보다 빛의 속력이 빠르다고 생각할 수 있다. 다시 말해 어느 기준 점에서의 빛의 속력을 [math(c_0)]이라 두면 퍼텐셜이 [math(\Phi)]만큼 차이나는 곳에서 빛의 속력은[math(\displaystyle c = c_0\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right))] |
이 된다. 이 사실과 하위헌스의 원리(Huygens' Principle)를 이용하면 빛의 굴절량을 계산할 수 있다. 다만 이 방식은 중력의 영향을 지나치게 단순화한 방식이며 결과적으로 틀린 값이 나온다.
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어떤 시각 [math(t)]에 빛의 위상이 동일한 면을 설정하고, 이 위에 거리가 [math(1)]인 두 점 [math(\mathrm{P_1})]과 [math(\mathrm{P_2})]를 잡는다. [math(\mathrm{P_1})]과 [math(\mathrm{P_2})]은 화면 상의 두 점이고, 화면에 수직한 방향으로는 퍼텐셜이 변화하지 않도록, 즉 빛의 속력이 변하지 않도록 한다. 이제 [math(t + dt)]에서 [math(\mathrm{P_1})]에서는 [math(c_1dt)]만큼, [math(\mathrm{P_2})]에서는 [math(c_2dt)]만큼 위상이 이동하게 되며, 이 두 위상의 공통 접선을 설정하면 이것이 곧 [math(t + dt)]에서 빛의 위상이 된다. 이 경우, [math(cdt)]만큼 이동하는 동안 빛이 꺾이는 각도는 다음과 같이 계산된다. ([math(n')]은 퍼텐셜이 감소하는 방향(빛이 꺾이는 방향)이다.)
[math(\displaystyle d\theta = \frac{c_1 - c_2}{1}dt = -\frac{\partial c}{\partial n'}dt)] |
이로부터, 단위 길이 당 빛의 굴절량은 [math(\displaystyle -\frac{1}{c}\frac{\partial c}{\partial n'})]임을 알 수 있다. [math(c)]를 [math(c_0(1+\Phi/c^2))]으로 교체하면, [math(n')] 방향으로 빛이 꺾이는 양은 다음과 같이 계산된다.
[math(\displaystyle \alpha = -\frac{1}{c^2}\int\frac{\partial\Phi}{\partial n'}ds)] |
구형 천체를 빛이 통과할 경우 그 결과는 다음과 같다. 이 때, [math(M)]은 천체의 질량, [math(\Delta)]는 천체 중심과 광선의 수직 거리이다.
[math(\displaystyle \alpha = \frac{1}{c^2}\int^{\theta = +\frac{\pi}{2}}_{\theta = -\frac{\pi}{2}}\frac{GM}{r^2}\cos\theta ds = \frac{2GM}{c^2\Delta})] |
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이 때 광선이 최대로 접근할 수 있는 거리 [math(\Delta)]는 별의 반지름과 같다. 태양의 반지름과 질량을 여기에 대입하면 빛은 최대 [math(0.83)] 각초(arc second) 만큼 굴절된다는 결과를 얻는다.
빛의 굴절은 흥미롭게도, 뉴턴 역학에서도 예측할 수 있다. 빛이 다른 입자와 동일한 중력 가속도를 받는다고 가정하면 되는데, 실제로 독일 물리학자 요한 졸트너(Johann Soldner, 1776~1833)가 계산을 해냈었다.[18] 그리고 그 결과값은 아인슈타인과 거의 동일하다. 광전효과와 관련된 연구로 유명한 필립 레나르트(Philipp Lenard, 1862~1947)[19]는 나중에 아인슈타인이 이 결과를 알고 있었다고 공격했으나, 아인슈타인이 이것을 알고 있었는지, 혹은 얼마나 영향을 받았는지는 분명하지 않다. 그러나 졸트너의 계산은 빛의 파동성이 분명해지기 전이었고(1801년), 풀이 과정 또한 크게 다르다.
사실 더 중요한 것은 이 값이 틀렸다는 것이다. 아인슈타인은 1915년 일반 상대성 이론을 완성한 뒤 다시 계산한 결과 자신의 기존 예측값이 틀렸다는 것을 발견했으며, 예측값을 정확히 두 배로 수정했다.[Einstein(1915)] 그 이유를 대략적으로 말하자면 1911년의 계산은 공간의 곡률을 고려하지 않았기 때문이다. 아인슈타인이 이 때 발견한 것은 퍼텐셜에 따른 시간의 곡률이며, 등가 원리가 국소적으로만 성립하므로 공간이 휘어진다는 생각은 하지 못했다.
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| 1919년 5월 29일 개기일식 지도 저작권 : NASA/GSFC # |
개기일식 실험
역사적으로 보자면 빛의 굴절은 일반 상대성 이론이 공식적으로 검증된 최초의 실험이다. 아인슈타인은 중력 적색 편이의 검출 가능성은 높게 보지 않았지만, 빛의 굴절은 가능성이 분명히 있다고 여겼다.
빛의 굴절을 포착하기 위해서는 반드시 태양의 도움이 필요하다. 태양 다음으로 큰 중력장을 거느리는 것은 목성인데, 목성은 태양이 만드는 효과의 1/100 밖에 되지 않는다. 한편 이 실험이 성공하려면 별이 (중력장의 영향을 최대한 받기 위해) 태양에 가까이 붙어있어야 하는데, 이러면 낮 동안 태양빛 때문에 별이 보이지 않게 된다.[21]
아인슈타인의 아이디어는 개기일식을 활용하자는 것이었다. 개기일식 동안 햇빛은 달에 가려 마치 밤처럼 되고, 달은 태양을 아슬아슬하게 가리기 때문에 태양 근처의 별이 보일 수 있게 된다. 하지만 개기일식의 지속시간은 1초에서 8분으로 매우 짧으며, 약 18개월에 한 번씩 일어난다. 더구나 각각의 개기일식이 나타나는 공간의 범위는 최대 [math(270\text{km})] 정도로 매우 좁다. 따라서 아인슈타인의 실험이 성공적으로 수행되기 위해서는 최적의 시간과 장소를 바탕으로, 1각초 수준까지 정확하게 측정하는 최첨단 장비가 필요하다. 물론, 그 찰나의 시간동안 기상도 매우 좋아야 한다. 이처럼 아인슈타인의 이론을 검증하기 위해서는 상당한 수준의 인력, 장비, 자금과 함께 행운이 따라줘야 했으며, 실제로 실험이 성공할 때까지는 8년의 세월이 필요했다. (심지어 그 사이에는 1차 세계대전도 있었다.)
아인슈타인은 자신의 요구가 무모함에 가깝다는 것을 알고 있었으나, 뜻밖에도 두 달만에 그의 학설에 큰 관심을 보이는 젊은 천문학도 프로인틀리히(Erwin Freundlich, 1885~1964)[22]가 나타났고(#), 수 년 간 프로인틀리히는 아인슈타인이 제안했던 실험(적색편이, 개기일식 등)들을 하나하나 수행하려 노력하였다.[23] 그는 적색 편이 실험에 있어서 어느 정도 성과를 보였으며, 빛의 굴절을 증명하기 위해 개기일식 관측을 1912년과 1914년에 시도하였다. 하지만, 프로인틀리히에게는 불행하게도 기상이나 전쟁으로 인해 두 시도 모두 실패했고(두번째 실험은 자금을 지원받고 러시아에서 시도되었으나 전쟁이 터지면서 실험 도중 억류되었다.), 그를 못마땅하게 보던 천문대장 스트루브(Hermann Struve)는 잡무를 시키면서 일을 방해했다. 아인슈타인은 프로인틀리히의 일에 실망하면서도[24] 그의 열정을 높이 사며 안타까워했다.[25]
하지만 이러한 실패는 결과적으로 아인슈타인에게 행운이었다. 프로인틀리히가 관측에 성공했다면 아인슈타인과 뉴턴이 사이좋게 틀렸을 것이다. 프로인틀리히의 불행은 잔인하지만 아인슈타인이 예측값을 수정하는 데까지 시간을 벌어다주었다. 결국 전쟁이 끝나고 1919년 다이슨(Dyson), 에딩턴(Eddington)이 본격적으로 대규모의 관측단을 꾸려 실험에 나섰다. 그들은 1919년 5월 29일의 개기일식을 선택했는데, 그 이유는 그 때 태양 근처에 있는 히아데스 성단이 밝았기 때문이다. 일식 날 촬영팀은 둘로 나뉘어 브라질 소브랄(Sobral)과 아프리카 프린시페 섬(Príncipe)에서 촬영을 시도했다. 결과는 성공이었으며, 아인슈타인 이론의 승리(고전 역학 [math(0.87'')]/ 일반 상대론 [math(1.75'')])가 공식적으로 선언되었다. 이 실험에 대한 자세한 논의나 후속 분석에 대해서는 다음 자료들을 참고.[Dyson(1920)] [Harvey(1979)]
4.2. 일반 상대성 이론에서의 역할
아인슈타인이 등가 원리를 응용하여 보였던 중력 적색 편이와 빛의 굴절에 대한 증명은 아름답지만, 단편적이며 논의가 고전적이다. 예를 들어, 상대성 이론에서 완전한 강체는 존재하지 않으며 서로 떨어져 있는 질점(시계)을 동일하게 가속시키면서 거리를 유지시킨다는 것은 일반적으로 불가능하다. 이처럼 앞선 논의들은 고전 역학과 상대성 이론의 결과들을 섞어서 쓰기 때문에 문제가 있다. 더욱이, 이와 같은 방식으로 중력의 가장 대표적인 응용인 궤도 문제를 해결하는 것은 요원해보인다. 등가 원리를 만족시키는 체계적인 중력 이론을 만들기 위해서는 완전히 새로운 포말리즘이 필요하다.먼저, 등가 원리에서 일반 상대성 이론으로 넘어가기 위해서는 아인슈타인의 표현을 다시 한 번 수정해야 한다. 일반적으로 상대성 이론에서 가속계를 직접적으로 다루는 것은 매우 번거로운 일이므로, 가속이라는 표현을 지우고 싶다. 그런데 국소적으로 중력과 관성력이 같다는 말은 국소적으로 적당한 좌표계를 선택하면, 다시 말해 자유 낙하를 하면 이 좌표계는 관성 좌표계가 된다는 것을 의미한다. 따라서, 자유 낙하 좌표계는 특수 상대성 이론과 완벽하게 동일한 물리 법칙을 제공한다고 가정할 수 있다. 아인슈타인은 이 내용을 다음과 같이 표현하였고, 오늘날 아인슈타인 등가 원리라 하면 보통 이 방식의 표현을 의미한다.
무한히 작은 4차원 영역에서 좌표를 적당히 선택하면 특수 상대성 이론이 성립한다.
Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend.[Einstein(1916)]
Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend.[Einstein(1916)]
중력장 내에서 자유낙하하는 관찰자의 국소적인 근방에는 중력장이 존재하지 않는다. 따라서, 우리는 시공간 연속체의 무한히 작은 영역이 언제나 갈릴레이 시공간[29]이라고 간주할 수 있다.
Für einen in einem Gravitationsfelde frei fallenden Beobachter existiert in seiner unmittelbaren Umgebung das Gravitationsfeld nicht. Wir werden also ein infinitesimal kleines Gebiet des raumzeitlichen Kontinuums stets als ein galileisches betrachten können.[Einstein(1922)]
이 표현은 정확한 논의가 어려운 중력에 대한 언급을 피하고, 잘 구축된 특수 상대성 이론이 이론에서 어떤 방식으로 유효한지 말해준다. 우리는 국소적으로 좌표계를 잘 선택함으로써 중력장이 존재하지 않는 것으로 간주하고 안전하게 특수 상대성 이론을 사용할 수 있다. 이러한 좌표계를 국소적 관성계(locally inertial frame)라 부르는데, 수학적으로는 우리가 주목하는 점 [math(\text{P})]에 대하여Für einen in einem Gravitationsfelde frei fallenden Beobachter existiert in seiner unmittelbaren Umgebung das Gravitationsfeld nicht. Wir werden also ein infinitesimal kleines Gebiet des raumzeitlichen Kontinuums stets als ein galileisches betrachten können.[Einstein(1922)]
[math(g_{\mu\nu}(\text{P}) = \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1))] [math(\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}(\text{P}) = 0)] |
를 만족시키는 좌표계를 의미한다. 이러한 좌표계가 어느 점에서나 존재함은 증명되어 있다. 그 이상의 미분에 대해서 일반적으로 성립하지 않는 것은 아인슈타인 등가 원리에 대해서 보다 깊게 살펴보면 이해할 수 있다. 등가 원리를 세울 때 가장 중요한 전제조건은, 중력장이 균일해야 한다는 것이었다. 그 때는 상황을 단순하게 만들기 위해서 이러한 조건을 붙였지만, 이번에는 등가 원리를 보다 넓은 영역에서도 적용시킬 수 있는지 확인해보자.
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그러나 아인슈타인의 생각은 이러하다. 일반적인 영역을 덮는 관성 좌표계가 존재하지 않는 것이 바로 중력장의 본질이라는 것이다. 만약 중력장이 있는 경우에도 관성계를 찾을 수 있다면, 중력장이 있는 경우와 중력장이 없는 경우(즉, 질량이 있는 경우와 없는 경우)를 실질적으로 구별할 방법이 없다는 문제가 생길 것이다. 좌표 변환은 아인슈타인의 상대성 원리가 말해주듯 일반적으로 물리 법칙의 본질적인 역할을 차지할 수 없다. 따라서, 중력장에 의미있는 물리 법칙을 부여하기 위해서라도 이러한 가정이 훨씬 자연스럽다. 이제 중력을 어떤 방식으로 기술해야하는지를 바로 설명할 수 있다. 일반적으로 모든 영역을 뒤덮는 관성 좌표계, 즉 직교 좌표계가 존재하지 않는다는 것은 공간에 곡률이 존재한다는 것과 같으므로, 중력은 시공간의 곡률로 기술해야 한다는 결론을 얻을 수 있다.
이러한 이유로, 4차원 시공간 위에 완전히 일반적인 좌표계를 도입하는 것은 불가피해진다. (수학적으로는 [math(g_{\mu\nu})]가 완전히 상수가 되도록 만들 수 없다.) 이렇게 일반화된 좌표계에서 물리법칙을 다루기 위해서는 물리방정식들의 일반화가 필요하다. 이 부분은 미분 기하학에서 정의하는 여러 선형 함수(텐서)들을 활용하면 된다. 전반적인 내용은 일반 상대성 이론의 기초 수학 참고.
방정식을 일반화하는 문제에 대해 아인슈타인 등가 원리가 말하는 해답은 간단하다. 메트릭 텐서 [math(\eta_{\mu\nu})]를 [math(g_{\mu\nu})]로 바꾸고, 미분 연산자 [math(\partial_{\mu})]를 [math(\nabla_{\mu})]로 교체한다. 예를 들어, 에너지 보존법칙 [math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]을 확장하기 위해서는 먼저 시공간 상의 임의의 국소적 영역에서 중력장이 사라지도록 자유 낙하 좌표계를 선택한다. 이 좌표계에서는 등가 원리에 따라
[math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)] |
이 그대로 성립한다. 이 좌표계에서는 [math(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1))] 및 [math(\partial_{\sigma}g_{\mu\nu} = 0)]이 성립하므로, 접속계수 [math(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta})]가 모두 사라진다. 즉, 이 식은
[math(\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = \partial_{\mu}T^{\mu\nu} + \Gamma^{\mu}_{\mu\sigma}T^{\sigma\nu} + \Gamma^{\nu}_{\mu\sigma}T^{\mu\sigma} = 0)] |
과 똑같다. 그런데 이 식은 임의의 변환에 대해 공변적이므로, 이제부터는 아무 좌표를 사용하더라도 식의 형태를 그대로 유지할 수 있다. 같은 방식으로, 전자기장 텐서는
[math(F_{\alpha\beta} = \partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha} \rightarrow \nabla_{\alpha}A_{\beta} - \nabla_{\beta}A_{\alpha})] |
로 일반화된다.
보다 엄밀히 말하자면 이런 과정은 자명하지 않다. 특수 상대성 이론에서는 시공간의 곡률을 고려한 적이 없었는데, 일반 상대성 이론에서는 중력 때문에 곡률이 개입된다. 이 때 각 점에서의 곡률은 아인슈타인 방정식
[math(\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})] |
에 의해 결정된다. 그러면 임의의 벡터장 [math(A^{\mu})]에 대하여
[math(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}A^{\alpha} - \nabla_{\nu}\nabla_{\mu}A^{\alpha} = R^{\alpha}_{\,\,\beta\mu\nu}A^{\beta})] |
이므로, (편미분과 달리) [math(\nabla_{\mu})]와 [math(\nabla_{\nu})]의 순서를 바꾸는 데에는 곡률 텐서가 관여하게 된다. 예를 들어 맥스웰 방정식
[math(\partial_{\alpha}F^{\mu\alpha} = \eta^{\mu\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A^{\alpha} - \eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A^{\mu} = \mu_0J{^\mu})] |
을 일반화하면
[math(g^{\mu\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\alpha} - g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\mu} = \mu_0J{^\mu})] [math(\Updownarrow)] [math(\nabla_{\alpha}F^{\mu\alpha} = \mu_0J{^\mu})] |
을 얻을 것이다. 그런데, 특수 상대성 이론에서는 편미분을 임의로 교환할 수 있었으므로 편미분 순서를 바꾼 뒤 등가 원리를 적용하면 다음과 같다.
[math(g^{\mu\beta}\nabla_{\red{\beta}}\nabla_{\red{\alpha}}A^{\alpha} - g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\mu} = \mu_0J{^\mu})] [math(\Updownarrow)] [math(g^{\mu\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\alpha} - g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\mu} - \red{g^{\mu\beta}R^{\alpha}_{\nu\alpha\beta}A^{\nu}} = \mu_0J{^\mu})] [math(\Updownarrow)] [math(\nabla_{\alpha}F^{\mu\alpha} - \red{R^{\mu}_{\,\,\nu}A^{\nu}} = \mu_0J{^\mu})] |
아인슈타인 등가 원리 자체는 두 식 중 어떤 것이 맞는지 답을 할 수 없으며 외부적인 고려가 필요하다. 예를 들어, 전하량 보존법칙을 바꾸지 않으려면 첫번째 식을 선택해야 할 것이다. 하지만 일반적으로는 오로지 실험적으로만 이 문제를 완전히 해결할 수 있다. 이렇게 공변도함수의 순서를 결정하는 문제는 양자 역학에서 연산자들을 배열하는 문제와 대응된다. 이 문제에 대한 자세한 내용은 [Misner(1973)] 등 참고.
4.3. 약한 등가 원리와의 관계
아인슈타인은 기존 등가 원리가 "운동학적인 측면만 봤을 때" 자신의 등가 원리를 시사하며, 이것을 모든 물리 법칙에 대한 것으로 확장하면 아인슈타인 등가 원리를 얻는 것으로 보았다. 한편, 약한 등가 원리가 필연적으로 아인슈타인 등가 원리로 확장되는지에 대해서는 그간 학계의 논란의 대상이 되었다.미국 물리학자 Leonard Schiff(1915~1971)는 1959년 논문에서 모든 상대론적 이론에 약한 등가 원리를 접목시키면 아인슈타인 등가 원리를 얻는다고 주장하였다.[Schiff(1959)] 이것을 보통 Schiff's Conjecture라고 하는데, 엄밀히 증명된 적은 없다. [Lightman&Lee(1973)]에서는 몇가지 제한 조건을 추가하여 제한된 증명을 내놓았고, 일부에서는 반례를 제시하였다. [*Ohanian(1974) Hans C. Ohanian, 1974, "Comment on the Schiff conjecture", Phys. Rev. D 10, 2041#]
5. 강한 등가 원리
자유 낙하 좌표계에서의 (중력을 포함한) 모든 물리법칙은 좌표계의 (시공간 내에서의) 속도와 위치에 상관없이 동일하다.
간혹, 아인슈타인 등가 원리와 강한 등가 원리를 구분하는 경우가 있다. 이 때 아인슈타인 등가 원리는 "중력을 제외한" 모든 물리법칙에 한정되는 것으로, 강한 등가 원리는 "중력을 포함한" 모든 물리법칙에 대한 것으로 용어의 범위가 바뀌게 된다.이 용어에 대한 논의로는 Brans와 Dicke의 관련 논문 및 이론이 출발점이자 대표적이다. [Brans,Dicke(1962)]에서 Brans와 Dicke는 일반 상대성 이론이 아인슈타인의 등가 원리, 즉 중력과 가속도의 국소적 등가를 넘어 보다 강한 가정을 하고 있다고 지적하였다. 실험실의 시공간 상에서의 위치에 관계 없이 물리 법칙이 똑같다는 것이다. 즉, 이 물리 법칙에는 물리 상수들이 포함된다. Brans, Dicke는 이것을 기존의 등가 원리와 구분하여 강한 등가 원리(Strong Equivalence Principle; SEP)라 불렀으며, 고전적 등가 원리와 아인슈타인의 등가 원리를 통합하여 약한 등가 원리라 불렀다.
이들은 약한 등가 원리가 외트뵈시 실험에 의해 매우 정확하다는 것이 증명된 반면, 강한 등가 원리는 마흐의 원리(Mach's Principle)의 관점에서 봤을 때 약한 등가 원리보다 근거가 떨어진다고 주장하였다. 마흐의 원리에 의하면 우주의 천체 분포에 따라서 물체의 관성을 객관적으로 정의하는 무언가가 필요한데, 일반 상대성 이론은 시공간에 전체 좌표가 놓이는 과정에서 물체의 관성과 천체 분포의 연관성이 드러나지만 국소적으로 좌표를 선택하여 이것을 임의로 완전히 없앨 수 있으므로 마흐의 원리와 어긋난다는 것이다. 이것을 피하기 위해, 논문에서는 각각의 점에서 물질 분포를 알 수 있는 어떤 (좌표에 의존하지 않는) 중력과 강하게 연관된 어떤 스칼라장이 필요하다는 결론을 얻었다. 이것을 바탕으로 Brans, Dicke는 현재 브랜스-디키 이론(Brans-Dicke Theory)이라고 부르는 대안(확장) 이론을 제안하였다.
Brans-Dicke Theory는 한마디로 중력 상수를 스칼라장으로 대체한 이론이다. [Brans,Dicke(1962)]에서는 다음과 같은 논의를 제시하였다. 먼저 일반 상대성 이론의 라그랑지언을
| [math(\displaystyle \mathfrak{L}_{\text{GR}} = R + \frac{16\pi G}{c^4} \mathfrak{L}_{\text{matter}})] |
와 같이 표시하면, [math(G)]를 상수라 두었을 때 아인슈타인 방정식이 유도된다. 이 상태에서 양변을 [math(G)]로 나눈 다음 [math(G^{-1})]을 어떤 스칼라장 [math(\phi)]로 바꾸고, [math(\phi)]에 관한 라그랑지언을 추가하면 다음과 같이 라그랑지언이 수정된다.
| [math(\displaystyle \mathfrak{L}_{\text{BD}} = \phi R + \frac{16\pi}{c^4}\mathfrak{L}_{\text{matter}} + \mathfrak{L}_\phi(\phi, \phi_{,\mu}))] |
[math(\mathfrak{L_{\phi}})]를 도입하는 가장 간단한 방법은 어떤 상수 [math(\omega)]에 대하여 [math(\mathfrak{L}_{\phi} = -\omega(\phi_{,\mu}\phi^{,\mu}/\phi))]라 두는 것이다. 결과적인 중력장 방정식은 다음과 같다.
| [math(\begin{cases}\displaystyle G_{\mu\nu} = \frac{8\pi}{c^4 \phi}T_{\mu\nu} + \frac{\omega}{\phi^2}\biggl(\phi_{,\,\mu}\phi_{,\,\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\phi_{,\,\alpha}\phi^{,\,\alpha} \biggr) + \frac{1}{\phi}(\phi_{,\,\mu;\,\nu} - g_{\mu\nu}\square\phi) \\ \\ \displaystyle \square\phi = \frac{8\pi c^{-4}}{3 + 2\omega}T \end{cases} \,)] |
우변의 첫 항만 살펴보면 [math(1/\phi)]이 바로 중력 상수에 해당함을 알 수 있다. Brans-Dicke Theory는 약한 등가 원리를 충족시키기 위해서 등장한 이론이지만, 아이러니하게도 스칼라 장의 도입은 약한 등가 원리를 깨트린다는 것을 Nordtvedt가 증명하였다.[36]
6. 응용
6.1. 빛은 휘어진다
등가원리는 빛 역시 중력의 영향을 받는다고 말한다. 중력과 중력가속도 중 더 근본이 되는 건 중력가속도다. 따라서 중력이 빛에 끼치는 영향은 가속운동으로 설명할 수 있다.위 그림은 가속하는 엘리베이터에 빛이 수평으로 들어가는 모습을 나타낸 것이다. 관성좌표계에서는 빛은 직선으로 나아가고 엘리베이터가 위로 올라간다. (연한 노란색 선은 수평을 강조하기 위해 나타낸 것이며, 주황색 화살표가 빛을 나타낸다.) 엘리베이터 중간에 세로로 칸막이 표시가 있다. 벽과 이 칸막이를 통과하는 지점을 네모로 체크하면 네모 표시의 배치는 위로 볼록한 포물선 모양으로 나타난다.
그렇다면 이 상황을 엘리베이터 안(비관성 좌표계)에서 보면? 분명 빛은 네모 표시를 모두 통과했다. 엘리베이터 안의 관찰자가 볼 때에도 마찬가지로 지나가야 한다. 만약 빛이 수평으로 나아가거나, 직진을 한다면 어떤 방법으로도 모든 지점을 다 지날 수 없다. 결국 빛은 휘어진다는 결론을 얻게 된다. 빛(혹은 광자)에 어떤 힘을 준 것도 아닌데, 순수한 기하학적 효과로 휘어지는 빛을 관측하는 것이다!
6.2. 중력장과 시간 지연
중력장이 있는 공간에서는 위치에 따라 시간이 다르게 흐른다. 이는 중력을 가속하는 엘리베이터로 상황을 옮김으로써 알아낼 수 있다.[출처]위 그림은 A에서 빛 신호를 보내고 B에서 받는 상황을 묘사한 것이다. 왼쪽 그림은 가속도 [math(g)]로 위([math(+z)]방향)로 가속하는 엘리베이터를 나타내었다. 오른쪽 그림은 중력가속도가 아래([math(-z)]방향)로 [math(g)]이며 A와 B가 정지해 있는 장면이다. 위의 등가원리에 따르면 두 상황은 동일하다. 정확히 말하자면 A에서의 물리법칙과 B에서의 물리법칙은 두 그림에서 각각 같다.
만약 오른쪽 그림에서 A에서 간격[math(\Delta t_A)]로 빛 신호를 보내고 B에서 간격 [math(\Delta t_B)]로 받는다고 하면, 이는 왼쪽 그림에서도 마찬가지 시간간격이 나와야 한다. 여기서도 광속 불변의 원리는 여전히 성립한다. 따라서 A에서 보낸 두 빛 신호는 왼쪽 그림에서 평행하게 나아가야 한다.
여기서 오른쪽 그림은 위치마다 시간이 흐르는 빠르기가 다르다. 그래서 오른쪽 그림에서 [math(t)]축과 A, B의 각 고유시간은 같은 [math(t)]좌표에서 다르게 표시된다. 시간축과 빛의 진행을 제대로 알아보기 위해서는 왼쪽 그림과 같이 관성좌표계에서 그릴 필요가 있다. 또한 여기서는 충분히 약한 중력장, 즉 [math(gH\ll c^2, g\Delta t \ll c)]라 잡고 A와 B가 고전적인 궤적 [math(z={1\over 2}gt^2+h)]꼴로 움직이며, 시간 지연이나 길이 수축의 영향은 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다.
우선 첫 번째 빛 신호가 (바깥의 시간 기준)[math(t_1)]만큼 걸려서 B에 도달했다고 하면, 두 번째 빛 신호는 [math(t_1 + \Delta t_B - \Delta t_A)]만큼 소요된다.
- 첫 신호: [math(z_A(0)-z_B(t_1)=H-{1 \over 2}gt_1^2=ct_1)]
- 두 번째 신호: [math(z_A(\Delta t_A)-z_B(t_1+\Delta t_B)=\left(H+{1 \over 2}g(\Delta t_A)^2 \right)-{1 \over 2}g \left(t_1+\Delta t_B \right)^2=c(t_1 + \Delta t_B - \Delta t_A))]
[math(({1\over 2}g\Delta t_A + c)\Delta t_A = ({1\over 2}g\Delta t_B + \sqrt{c^2+2gH})\Delta t_B)]
또한 위에서 가정한 근사를 이용하면 아래 결과를 유추할 수 있다. 이는 처음에 알아보고자 했던 (충분히 약한) 중력장에서도 거의 맞아떨어진다.
[math(\displaystyle \Delta t_A = \left(1+ \frac{gH}{c^2} \right)\Delta t_B,\ gH \ll c^2)]
혹은 두 번째와 같이 단위질량당 중력 퍼텐셜 에너지를 이용해 나타내기도 한다. 중력가속도가 위치별로 달라져도 약한 중력장[38]에서 잘 들어맞는 식이다. 시간이 빨리 흐르는 쪽은 A이다.
[math(\displaystyle \Delta t_A = \exp\left(\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2} \right)\Delta t_B, \Phi_A-\Phi_B \ll c^2)]
위 계산으로부터 알 수 있는 사실은 중력은 시간의 흐름이 빠른 쪽에서 느린 쪽으로 향한다는 것이다.[39] 정확한 값은 도출 과정이 복잡하지만 중력의 이 특성은 엄연히 성립한다.
사실 위 상황은 물체나 관측자가 움직이지 않을 때를 나타낸 것으로, 순수하게 중력장 효과만을 고려한 것이다. 시간 지연은 이 중력장의 효과와 움직이는 물체의 특수상대론에 의한 효과가 중첩되어 나타난다.
7. 기타
"허공에서 자유낙하를 하는 스카이다이버는 자신의 몸무게를 느낄 수 있을까?" 이 질문에 대한 등가원리의 답은 '몸무게를 느끼지 않는다'이다. 물론 여기서 공기저항은 배제하고 이야기하는 것이다. 한편 지표면에 정지해 있는 상황은 무중력 공간에서 가속도를 일으키면 재현할 수 있다. 우주정거장과 같은 곳에서 중력을 만들기 위해서는 일정한 각속도로 우주정거장이 회전을 하면 된다. 그러면 정거장 내부의 사람들은 중력과 같은 원심력을 느끼게 된다.영화 인셉션에서는 꿈에서 등장인물에게 작용하는 관성력이 꿈 속의 꿈에서는 등가 원리에 의해 중력으로 작용해서 중력의 방향이 계속 바뀌게 된다.
8. 관련 문서
[1] J. Hartle, 2003, "Gravity: An introduction to General relativity" , Addison-Wesley. p.109[2] Vincenzo Viviani, 1717, "Racconto istorico della vita di Galileo Galilei", p. 606 : ..dimostrando ciò con replicate esperienze, fatte dall'altezza del Campanile di Pisa con l'intervento delli altri lettori e filosofi e di tutta la scolaresca... (...갈릴레이는 (모든 물체는 무게에 관계 없이 동일한 속도로 떨어진다는) 이것을 다른 교수와 학생들이 지켜보는 앞에서 피사의 사탑 위 높은 곳에서 반복적인 실험을 함으로써 증명해냈다...) #[3] 참고 : https://www.mathpages.com/home/kmath582/kmath582.htm#[4] 출처 : https://link.springer.com/article/10.1007/s40328-015-0126-4[5] R. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8, 65, 1890[Einstein(1912b)] A.Einstein, "Relativität und Gravitation. Erwiderung auf eine Bemerkung von M. Abraham", Annalen der Physik 38 (1912) pp.1059–1064 #[7] 사실, 아인슈타인은 1912년 7월까지 외트뵈시 실험에 대해 모르고 있었다. 빌헬름 빈(1911년 노벨상 수상자)에게 이 문제에 대해 상의하면서 '독립적으로' 외트뵈시의 것과 동등한 비틀림 저울 실험을 구상해서 빈에게 의견을 묻는 편지가 남아있다.1912년 7월 10일 편지 빈의 답장은 남아있지 않으나 아인슈타인에게 이 때 외트뵈시 실험에 대해 알려주고, 아인슈타인은 그때서야 그 결과를 안 것으로 추측된다. (Éva Kilényi (2019), "The Eötvös Experiment in Its Historical Context", Unicus Műhely, Budapest # 아인슈타인은 1913년 논문에서부터 외트뵈시 실험을 언급하기 시작한다.)[Einstein(1907)] A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen.", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4 : 411–462. 독문(512p)영문(315p)[Einstein(1912a)] A.Einstein, "Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes", Annalen der Physik 38 (2012) : p. 355–369[Einstein(1911)] A. Einstein, "Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes", Annalen der Physik 35 (1911): 898–908 독문[11] 아인슈타인의 논문에서는 플랑크 공식 [math(E = h\nu)]를 이용하지 않고 진동수는 도플러 공식, 에너지는 강도 공식을 개별적으로 적용했는데, 그 이유에 대해서는 [Earman&Glymour(1980)]에서 분석하였다. 쉽게 말해 아인슈타인은 뉴턴 역학을 배제하기 위해 빛을 오로지 에너지(파동)로만 다루려 한 것이다. 양자 역학을 이용하면 빛을 알갱이로 보겠다는 의미가 되기 때문에 본질이 흐려져 버릴 수 있다. 더구나, 당시 광양자 가설은 물리학계에서 매우 회의적으로 여겨지고 있었다.[Pound&Rebka(1959)] Pound, R. V.; Rebka Jr. G. A. (November 1, 1959). "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance". Physical Review Letters. 3 (9): 439–441.[Pound&Rebka(1960)] Pound, R. V.; Rebka Jr. G. A. (April 1, 1960). "Apparent weight of photons". Physical Review Letters. 4 (7): 337–341.[Pound&Snider(1964)] Pound, R. V.; Snider J. L. (November 2, 1964). "Effect of Gravity on Nuclear Resonance". Physical Review Letters. 13 (18): 539–540.[Schutz(2009)] Bernard Schutz (2009), "A First Course in General Relativity Second Edition", Cambridge University Press[Misner(1973)] Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press[Florides(2013)] PS Florides, 2013, "Einstein's Equivalence Principle and the Gravitational Red Shift II", School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland[18] 졸트너의 계산에 대해서는 [Jaki(1978)] 참고.[19] 그는 열렬한 민족주의자(Nationalist)였고 상대성 이론을 유대인 물리학(Jewish Physics)이라며 멸시했다.[Einstein(1915)] A.Einstein, "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie", Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (Berlin). Sitzungsberichte (1915) : 831–839. #[21] 아인슈타인은 빛의 굴절을 자신의 이론(등가 원리)에 대한 가장 중요한 검증 수단으로 여겼다. "목성보다 큰 행성이 있었더라면!" 하고 아쉬움을 토로하기도 하였다. #[22] 베를린 천문대의 조수였다.[23] Otto Naumann에 대한 편지, 1915.12.7.# 등 참고.[24] 스트루브에게 일을 덜어달라고 설득했으나 거절당했다. #[25] 슈바르츠실트에 대한 편지, 1916/1/9 #[Dyson(1920)] F.W.Dyson, A.S.Eddington & C.Davidson, 1920, "A Determination of the Deflection of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919", Phil.Trans.R.Soc.Lond.A1920 220#[Harvey(1979)] G. M. Harvey, ‘Gravitational deflection of light: a re-examination of the observations of the solar eclipse of 1919’, Observatory 99, 195 (1979). #[Einstein(1916)] A. Einstein, 『Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie』, Annalen der Physik 49 (1916) : 769–822 독일어영어[29] 현재의 민코프스키 시공간[Einstein(1922)] A. Einstein, 1922, "Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie gehalten im Mai 1921 an der Universität Princeton", Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn Akt.-Ges. Braunschweig #[Misner(1973)] [Schiff(1959)] L.I.Schiff, (1959), "On Experimental Tests of the General Theory of Relativity" #[Lightman&Lee(1973)] Light&Lee, 1973, "Restricted Proof that the Weak Equivalence Principle Implies the Einstein Equivalence Principle", Phys. Rev. D 8, 364 #[Brans,Dicke(1962)] C. Brans, (1962b), Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation, Phys. Rev. 125, 2194 #[Brans,Dicke(1962)] [36] K. Nordtvedt, "Equivalence Principle for massive bodies", I I Phys. Rev. D 169, 1017. (1968) #[출처] James B. Hartle, 《Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity》, Pearson New International Edition, pp.115-117[38] 블랙홀, 중성자별, 백색왜성 등 밀도가 높은 천체가 아닌 이상 적용할 수 있다. 태양계 내에서도 쓸 수 있다.[39] 흔히 중력이 셀수록 시간이 느리게 흐른다고 알고 있다. 보통 중력이 센 곳이 약한 곳보다 퍼텐셜 에너지가 낮아서 어느 정도 맞는 이야기지만, 정확하지 않은 표현이다. 만일 지구 중심으로 파고 들어가는 게 가능하다면, 중심에서는 지표면보다 중력이 약하지만 낮은 지대이므로 시간은 지표면보다 더 느리게 흐른다.