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1. 개요
리 군 [math({\rm SU}(n))] 중에서 [math(n=3)]인 경우로, 표준 모형의 양자색역학에 해당하는 게이지 군이다. 강한 상호 작용의 색전하 대칭에 해당한다.2. 활용
[math({\rm SU}(3))](3차 특수 유니터리 군)은 쿼크의 [math(\rm u)], [math(\rm d)], [math(\rm s)] 맛깔 대칭이나 강한 상호 작용의 색전하 대칭의 설명에 사용되는 개념이다. 아래와 같은 [math(3\times3)] 에르미트 행렬인 '겔만 행렬'을 생성자로 가진다.[1][math(\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \; \lambda_2=\begin{pmatrix} 0&-i&0 \\ i&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \; \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \;)]
[math(\lambda_4=\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 1&0&0 \end{pmatrix}, \; \lambda_5=\begin{pmatrix} 0&0&-i \\ 0&0&0 \\ i&0&0 \end{pmatrix}, \;)]
[math(\lambda_6=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}, \; \lambda_7=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&-i \\ 0&i&0 \end{pmatrix}, \; \lambda_8 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-2 \end{pmatrix})]
처음 세 개의 행렬은 파울리 행렬의 확장이다. 행렬의 선형 결합을 통해 사다리 연산자(ladder operator)를 정의할 수 있으며, 초전하와 아이소스핀 공간 위에서 군 표현으로써 양자 상태를 나타낼 수 있다. 바리온이나 메손 같은 하드론은 [math({\rm SU}(3))]군의 유한차원 표현으로 이루어진다.
순수수학에서는 다른 맥락으로 쓰이는데, 리 대수에서 블랙레터로 쓴 [math(\frak{su}(3))]으로 표기하는 경우가 많다.
[1] 생성자가 8개이다. 일반적으로 [math({\rm SU}(n))]은 [math(n^2-1)]개의 생성자를 가진다. Adjoint 표현을 사용하면 생성자의 개수만큼의 차원으로 표현된다.