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최근 수정 시각 : 2024-08-01 22:38:45

행렬표현

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선형대수학
Linear Algebra
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1. 개요2. 정의
2.1. 좌표2.2. 행렬표현
3. 실수체에서의 행렬표현4. 예5. 기하학에서의 행렬표현
5.1. 평면기하 (2차원)5.2. 공간기하 (3차원)5.3. 성질
6. 합성변환의 행렬표현7. 역변환의 행렬표현8. 선형대수학의 기본정리9. 기저변환행렬10. 동차 좌표계11. 행렬의 닮음

1. 개요

선형변환의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 [math(V)], [math(W)]의 차원이 유한할 때, 선형변환 [math(T: V \to W)]를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 [math(T: V \to V)]의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다.

2. 정의

2.1. 좌표

유한차원 벡터공간 [math(V)]와 기저 [math(\beta=\{\beta_1,\cdots,\beta_n\})]이 주어져 있을 때, 임의의 [math(v\in V)]에 대하여,
[math(v=c_1\beta_1+\cdots +c_n\beta_n)]
을 만족하는 스칼라 [math(c_1,\cdots,c_n)]이 유일하게 존재하는데, 아래의 열벡터
[math([v]_\beta=\begin{pmatrix} c_1\\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix})]
를 [math(v)]의 좌표라고 한다. 주어진 벡터공간이 내적공간이며, 기저가 정규직교기저라면 기저열과 내적하는 것으로 좌표를 바로 산출할 수 있다.

2.2. 행렬표현

체 [math(F)]위의 두 유한차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(W)]가 주어져 있고, 그 기저가 각각 [math(\beta_V)], [math(\beta_W)]이라 하자. [math(\dim V=n)], [math(\dim W=m)]일 때, 함수 [math(L: [v]_{\beta_V}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_W})]은 [math(F^n)]에서 [math(F^m)]으로 가는 선형변환이다. 그러므로,
[math([T]_{\beta_V}^{\beta_W} [v]_{\beta_V}=[ T(v) ]_{\beta_W})]
를 만족하는 [math(m\times n)]행렬 [math([T]_{\beta_V}^{\beta_W})]가 존재하며 이를 선형변환 [math(T)]의 행렬표현이라고 한다.[1][2]
[math(T)]의 정의역과 공역이 같을 때, [math([T]_\beta)]는 [math([T]_\beta^\beta)]를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 [math([T])]라고 쓴다.

3. 실수체에서의 행렬표현

[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x_1,\,x_2,\cdots,\,x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\,a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n, \cdots,\,a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n))]에 대한 행렬표현은 표준순서기저를 가정하고 기저를 생략할 때 다음과 같다.
[math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}[D]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{pmatrix}\end{aligned})]
위와 같이, 변환되기 전의 벡터에 행렬표현을 곱하면 그 행렬표현이 나타내는 선형 변환에 의해 그 벡터가 변환된 후의 벡터가 되므로, 행렬표현은 일종의 함수 역할을 한다고 할 수 있다.

[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위의 벡터를 [math(m)]차원 실수체 [math(\mathbb R^m)] 위의 벡터로 변환하는, 즉 서로 다른 차원의 실수체 간에 변환하는 선형 변환 [math(D : (x_1,\,x_2, \cdots,\,x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\,a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n, \cdots,\,a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n))]의 행렬도 마찬가지로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix})]
이때 옮겨지기 전의 벡터는 [math(n\times1)] 행렬이고 선형변환의 행렬표현은 [math(m\times n)] 행렬이므로, 이 둘을 곱해서 얻어지는 변환된 벡터는 [math(m\times1)] 행렬, 즉 [math(m)]차원 실수체 위의 벡터이다.

4. 예

실수체 [math(\mathbb R)] 위의 [math(n)]차 이하의 다항식 집합 [math(\mathcal P_n(\mathbb R))]에 주어진 선형변환 [math(D : \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i \mapsto \sum\limits_{i=0}^n i a_i x^{i-1})]을 미분연산자라 한다. [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,\,x,\cdots,\,x^n\})]에 대한 행렬표현은
[math([D]_\beta =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix})]
이다.

예를 들어 3차 다항식의 경우 [math(D : a_0+a_1x+a_2x^2 \mapsto a_1+2a_2x)]이므로 [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,\,x,\,x^2\})]에 대한 행렬표현은
[math([D]_\beta=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix})]
이고 이때 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}[D]_\beta\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{pmatrix}\end{aligned})]

[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위에서의 선형 변환을 예로 들면 다음과 같다. 3차원 실수체 [math(\mathbb R^3)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x,\,y,\,z) \mapsto (x+y,\,2x-z,\,x-y+z))]에 대한 행렬표현은 다음과 같다.
[math([D]=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}[D]_\beta\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x+y \\ 2x-z \\ x-y+z \end{pmatrix}\end{aligned})]

[math(n)]차원에서의 항등변환의 행렬표현은 [math(n)]차 항등행렬이다.

5. 기하학에서의 행렬표현

기하학에서 점이나 도형을 이동시키는 선형 변환을 나타내기 위해 행렬표현이 자주 사용된다.

5.1. 평면기하 (2차원)

평면은 2차원이므로 2차원 실수체 [math(\mathbb R^2)] 위에서의 선형 변환이다. 기하와 벡터(2007)의 1단원 '일차변환과 행렬'에서 이 부분에 대해 다룬다.
180\degree &: \begin{pmatrix} \cos\pi & -\sin\pi \\ \sin\pi & \cos\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\
270\degree &: \begin{pmatrix} \cos\cfrac32\pi & -\sin\cfrac32\pi \\ \sin\dfrac32\pi & \cos\cfrac32\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned})] ||
특히 [math(180\degree)] 회전변환은 원점 대칭변환과 동치임을 알 수 있다.

5.2. 공간기하 (3차원)

3차원 공간이므로 [math(\mathbb R^3)] 위에서의 선형 변환이다.(x,\,y,\,z) \mapsto (-x,\,y,\,z) &: \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\
(x,\,y,\,z) \mapsto (x,\,-y,\,z) &: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned})] ||(x, y, z) \mapsto (-x, y, -z) &: \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \\
(x, y, z) \mapsto (-x, -y, z) &: \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned})] ||

5.3. 성질

6. 합성변환의 행렬표현

선형 변환 [math(f)], [math(g)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F)], [math(G)]일 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 행렬의 곱 [math(FG)]이다. 예를 들어 [math(f)]를 [math(y)]축에 대한 대칭변환, [math(g)]를 원점 기준으로의 [math(45\degree = \cfrac\pi4{\rm\,rad})] 회전변환이라고 할 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} FG &= \begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi4 & -\sin\cfrac\pi4 \\ \sin\cfrac\pi4 & \cos\cfrac\pi4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ \cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ -\cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix} \end{aligned})]
[math(f \circ g)]에 의해 점 [math((2,\,0))]은 점 [math((-\sqrt2,\,-\sqrt2))]로 옮겨지고, 이는 합성변환의 행렬표현 [math(FG)]를 통해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\begin{aligned} FG\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-\cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ -\cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\sqrt2 \\ -\sqrt2\end{pmatrix} \end{aligned})]

합성변환의 행렬표현이 합성변환을 이루는 각 변환의 행렬표현의 곱과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.[math(\begin{pmatrix} \cos\underline\alpha & -\sin\underline\alpha \\ \sin\underline\alpha & \cos\underline\alpha\end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} \cos k\underline\alpha & -\sin k\underline\alpha \\ \sin k\underline\alpha & \cos k\underline\alpha\end{pmatrix})]
[math(\begin{pmatrix} \cos\underline\alpha & -\sin\underline\alpha \\ \sin\underline\alpha & \cos\underline\alpha\end{pmatrix}^{2n\pi/\underline\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
[math(\biggl()]단, [math(n)], [math(\cfrac{2\pi}{\underline\alpha})]는 정수[math(\biggr))] ||(단, [math(n)]은 정수) ||

7. 역변환의 행렬표현

선형 변환 [math(f)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F)]일 때, 역변환 [math(f^{-1})]의 행렬표현은 역행렬 [math(F^{-1})]이다. 예를 들어 [math(f)]를 원점 기준으로의 [math(90\degree = \cfrac\pi2{\rm\,rad})] 회전변환이라고 할 때 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} F &= \begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi2 & -\sin\cfrac\pi2 \\ \sin\cfrac\pi2 & \cos\cfrac\pi2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\ F^{-1} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{aligned})]
이때 [math(F^{-1})]은 [math(-90\degree)] 회전변환의 행렬표현과 같다.

이때, [math(f)]에 의해 점 [math((1,\,2))]는 점 [math((-2,\,1))]로 옮겨지고, [math(f^{-1})]에 의해 점 [math((-2,\,1))]는 반대로 점 [math((1,\,2))]로 옮겨지는데, 이것을 각각 행렬표현을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} F\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} \\
F^{-1}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \end{aligned})]

역변환의 행렬표현이 그 변환의 행렬표현의 역행렬과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.
어떤 선형변환의 행렬표현의 역행렬이 존재하지 않는 경우, 역변환의 행렬표현이 존재하지 않는다는 의미이므로 역변환도 존재하지 않는다.

8. 선형대수학의 기본정리

체 [math(F)]위의 [math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(m)]차원 벡터공간 [math(W)]에 대하여, [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 [math(\mathfrak L(V,W))]이라 하자. 또한, 성분이 [math(F)]의 원소인 [math(m\times n)] 행렬을 모은 집합을 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]이라 하자. [math(V)]와 [math(W)]의 기저 [math(\beta_V)]와 [math(\beta_W)]가 주어졌을 때, 함수 [math(f: T\mapsto [T]_{\beta_V}^{\beta_W})]는 [math(\mathfrak L(V,W))]에서 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]으로 가는 동형사상[8]이다. 즉, [math(\mathfrak L(V,W))]와 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 선형대수학의 기본정리라고 한다.

9. 기저변환행렬

[math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]의 임의의 두 기저 [math(\beta=\{\beta_1,\cdots,\,\beta_n\})]과 [math(\beta' = \{\beta_1',\cdots,\,\beta_n'\})]에 대하여, 행렬 [math(P)]를
[math( P=\begin{pmatrix} [\beta_1]_{\beta'} & [\beta_2]_{\beta'} & \cdots & [\beta_n]_{\beta'}\end{pmatrix})]
라 정의했을 때, [math(P[v]_\beta = [v]_{\beta'})]이 성립한다. 즉, 선형변환 [math(Y=PX)]는 [math(v)]의 [math(\beta)]에 대한 좌표를 [math(\beta')]에 대한 좌표로 바꿔주는 선형변환으로 이해할 수 있다. 이러한 행렬 [math(P)]를 기저변환행렬, 좌표변환행렬 또는 추이행렬 등으로 부른다. 또한 기저변환행렬은 항등변환 [math(I)]의 행렬표현 [math([I]_\beta^{\beta'})]이다.

10. 동차 좌표계

동차 좌표계는 [math(\mathbb R^2)] 위의 벡터와 1을 [math(\mathbb R^3)]에 대응시킨 것으로, 이것을 이용해서 [math(\mathbb R^2)]에서의 이동 변환을 [math(\mathbb R^3)]에서의 선형 변환의 형태로 나타내는 등으로 응용할 수 있다.

[math(\mathbb R^2)]에서의 선형 변환 [math(T_2)]의 행렬표현을 [math(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix})]라고 하고, 도형의 이동 변환을 [math(T_M : (x,\,y) \mapsto (x+x_1,\,y+y_1))]라고 할 때, 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]인 선형 변환 [math(T_3)]에 의해서 이 도형은 [math(T_2)]에 의해 이동된 후 [math(x)]축 방향으로 [math(x_1)], [math(y)]축 방향으로 [math(y_1)]만큼 평행이동된다. 이때 도형이 점인 경우, 그 좌표를 [math((x,\,y)^T)]가 아니라 [math((x,\,y,\,1)^T)]과 같이 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by+x_1 \\ cx+dy+y_1 \\ 1\end{pmatrix})]

예를 들어 [math(T_2)]가 [math(60\degree = \cfrac\pi3{\rm\,rad})] 회전변환으로 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 \end{pmatrix})]이고 이동 변환이 [math(T_M : (x,\,y) \mapsto (x+2,\,y+4))]일 때, [math(T_3)]의 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 & 2 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이고, 이것에 의해서 점 [math((2,\,0))]는 다음과 같이 점 [math((3,\,4+\sqrt 3))]으로 옮겨진다.
[math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 & 2 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4+\sqrt 3 \\ 1\end{pmatrix})]

11. 행렬의 닮음

두 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]에 대하여, [math(P^{-1}AP=B)]를 만족하는 가역행렬 [math(P)]가 존재하면 두 행렬이 닮았다고 한다. [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)]에 대하여 선형변환 [math(L_A: F^n\to F^n)]을
[math(L_A(X)=AX)]
라고 하자. 그러면, [math(F^n)]의 표준순서기저에 대한 좌표를 임의의 기저 [math(\beta)]에 대한 좌표로 바꾸는 기저변환행렬 [math(P)]가 존재하여, 임의의 [math(X \in F^n)]에 대해
[math(P^{-1}[L_A]_\beta PX = AX)]
를 만족함을 알 수 있다. 즉, [math(P^{-1}[L_A]_\beta P = A)]가 성립한다. 또한, 닮은 행렬이란 어떤 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현임을 알 수 있다. 이를 이용하여, 행렬에 정의되는 여러 대상들이 닮음불변량인 경우, 선형변환에 그대로 정의할 수 있다. 예를들어 선형변환의 대각합이란
[math(\operatorname{tr}T = \operatorname{tr}[T]_\beta)]
으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하여도 문제되지 않는 이유는, 대각합이 닮음불변량이기 때문에, 서로 다른 기저에 대한 [math(T)]의 행렬표현이 같은 대각합을 갖기 때문이다.
[1] [math(v)]에 [math(\beta_j)]를 대입하면 알 수 있듯이 위 행렬의 [math( j )]열은 [math( [ T(\beta_{j}) ]_{\beta_W} )]이다. 즉, [math( j )]열은 [math(\beta_V)]의 [math(j)]번째 벡터가 [math(T)]에 의해 어디로 이동하는지를 [math(\beta_W)]에 대한 좌표로 나타낸 것이다.[2] 이는 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형변환 [math(T)]가 [math(V)]의 각 기저벡터들이 [math(T)]에 의해 어디로 이동하는지만 알면 결정된다는 것과 관련이 있다. (즉, 이 행렬표현들은 각 열에 각 기저벡터들이 어디로 이동하는지에 대한 정보를 좌표로 담고 있으므로 이는 해당 선형변환의 구조를 묘사하기에 충분하다. 위 행렬표현의 정의를 보면 알 수 있듯, 행렬표현과 벡터의 곱은 선형변환에 벡터를 넣은 것에 대응하고 행렬곱은 선형변환의 합성에 대응된다.)[3] [math(E)]로 나타내는 경우도 있다.[4] 혹은 [math(E)][5] 제1, 제2, 제3행이 각각 [math(x)], [math(y)], [math(z)]축과 관련되어있다.[A] [math(x)]축, [math(y)]축, 직선 [math(y=x)] 등에 대한 대칭변환 등을 의미한다. 단 [math(y)]축 대칭변환의 경우 [math(m)]이 정의되지 않는다.[A] [8] 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 [math(F)]-module isomorphism이며, [math(V=W)]일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 [math(F)]-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.

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