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Rank theorem
1. 개요
차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.2. Rank와 Nullity
Rank는 계수, 차수로도 불린다.2.1. 행렬의 경우
행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]한 벡터공간을 행공간(row space), 열벡터들로 생성한 벡터공간을 열공간(column space) 또는 상(image)이라고 하고, 행렬 [math(A)]의 행공간을 [math(\mathrm{row}(A))], 열공간을 [math(\mathrm{col}(A))] 또는 [math(\mathrm{im}(A))][3]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.[math(\dim \left(\mathrm{row} \left(A\right) \right)=\dim(\mathrm{col}(A)) )] [4]
이 때 이 값을 행렬 [math(A)]의 Rank라고 하고, [math(\mathrm{rank}(A))]로 표기한다.행렬 [math(A)]에 대해 [math(A\mathbf{x}=\mathbf{0})][5]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라고 하며 [math(\mathrm{null}(A))] 또는 [math(\ker(A))]라고 표기한다. 영공간의 차원을 Nullity라고 하며[6] [math(\mathrm{nullity}(A))]로 표기한다.
2.2. 선형 변환의 경우
선형 변환 참고.3. 행렬 버전
- m×n 행렬 A에 대해 [math( \mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n)]
이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[7]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.
3.1. 증명
3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수
이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.A와 B가 행동치(Row Equivalent)[8]인 행렬이라고 하자. 이때 [math(row(A)=row(B))]이다.
[math(A)]는 기본행연산을 통해 [math(B)]로 변환될 수 있다. 다시 말해, [math(B)]의 각 행은 [math(A)]의 각 행의 선형결합(Linear Combination)이다.
이는 [math(B)]의 각 행의 임의의 선형결합이 [math(A)]의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 [math(row(B) \subset row(A))].
마찬가지로, [math(A)]의 각 행의 모든 선형결합을 [math(B)]의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로 [math(row(A) \subset row(B))].
위 두 결과에 의해, [math(row(A)=row(B))]. ■
3.1.2. 본정리의 증명
[math(A)]가 [math(m \times n)] 행렬일 때 [math(\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n)]이다.
4. 선형 변환 버전
- [math(V, W)]가 유한차원 벡터공간이라고 하면, 선형 변환 [math(T:V\to W )]에 대해 [math( \mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\dim V)]
4.1. 증명
5. 같이 보기
[1] 영어로는 Dimension Theorem, Rank Theorem, Rank-Nullity Theorem 등으로 부른다.[2] 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.[3] 대소문자에 주의할 것. [math(\mathrm{Im}(A))]라고 쓰면 허수부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를 [math(\Im \left(A\right))]로 쓰기도 한다.[4] 벡터공간 V에 대해 V의 차원을 [math(\dim(V))]로 표기한다.[5] 영벡터[6] 즉 dim(null(A))=nullity(A)[7] free variables의 개수[8] 기본행연산을 통해 서로 변환될 수 있는 관계