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1. 개요
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| f(x)=1/x의 개형 |
유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 대수함수다. 상수만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 다항함수도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 분수함수라고도 한다.
[math(f(x)=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}})]
여기서 [math(a_{k})], [math(b_{k})]는 상수이다.
유리함수의 분모가 0이 되는 [math(x)]값이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 잘 정의되지 않아 함수가 아니게 되기 때문.
이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
- 일반형: [math(y=\dfrac{cx+d}{ax+b})] (단, [math(\;ax+b\neq 0,\;ad\neq bc)])
- 표준형: [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0)])
분모가 0이 될 수 없으므로 [math(ax+b\neq 0)]이어야 한다. 한편, [math(k=0)]이면 [math(y=q)]라는 상수함수가 되고, [math(a=0)]이면 [math(y={(cx+d)}/{b})]라는 일차함수가 되고, [math(ad=bc)]이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가, [math(c=d=0)]인 경우 [math(y=0)]이라는 상수함수가 되는데 이는 마침 [math(ad=bc)]의 충분조건이므로 따로 기술할 필요가 없다.
분모가 이차식 이상이 되는 경우는 교육과정 상 미적분을 배워야 이해 가능하므로 유리함수의 이차 이상 분모의 경우는 미적분을 선택해야 배울 수 있다. 중국 교육과정에서는 미적분을 배우기 전에 분모가 완전제곱꼴 이차식인 유리함수까지는 공통과정에서 가르친다.
2. 정의역과 치역
2.1. 일반형
유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우 [math(ax+b\neq 0)]이어야 하므로 정의역은[math( \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \neq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} )]
를 만족시켜야 하고,
[math(\begin{aligned} f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\cfrac {\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{a^2}}{x+\dfrac{b}{a}}+\dfrac{c}{a} \end{aligned})]
- [ 펼치기 · 접기 ]
- 과정
에서
[math(\displaystyle \frac{d}{a}-\frac{bc}{a^2}\neq 0)]
이므로 치역은 다음과 같다.
[math( \displaystyle \left\{ f(x) \biggl. \biggr|f(x) \neq \dfrac{c}{a},\,f(x) \in \mathbb{R} \right\} )]
2.2. 표준형
유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우 [math(x-p\neq 0)]이어야 하므로 정의역은[math( \displaystyle \{ x |x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} )]
를 만족시켜야 하고, [math(k\neq 0)]이므로 치역은 다음과 같다.
[math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \neq q,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]
3. 그래프
[math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0)])
의 그래프의 성질은 다음과 같다.
- 한 쌍의 매끄러운 곡선[1]으로 그려진다. 유리함수는 대한민국 수학 교과 과정에서 처음으로 나오는 이차곡선이다. 이차함수와 원의 방정식은 유리함수 다음에 배우도록 돼 있기 때문.[2]
- [math(k>0)]이면 우상단과 좌하단에 그려진다.
- [math(k<0)]이면 좌상단과 우하단에 그려진다.
- 직선 [math(x=p)], [math(y=q)]와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 점근선이라 한다.
- [math(|k|)]가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다.
- 점 [math((p,\,q))]에 대하여 대칭이다.
- 직선 [math(y=(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.
- 직선 [math(y=-(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.
3.1. 대칭이동·평행이동
[math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0)])
의 그래프는 [math(y={k}/{x})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y={k}/{x})]를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다.
- [math(y=-\dfrac{k}{x})]
- [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축([math(y)]축)에 대하여 대칭이동
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]
- 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )]
- [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)]
- [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동
- 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} )]
- 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq q,\,y \in \mathbb{R} \} )]
3.1.1. 역함수
유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉,[math( \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{cx+d}{ax+b} \quad && \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{-bx+d}{ax-c} \quad (-bx+d\neq 0,\;ad\neq bc,\, a \neq 0) \\ f(x)&=\dfrac{k}{x-p}+q \quad && \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{k}{x-q}+p \quad (x\neq q) \end{aligned} )]
유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, 점근선의 교점이 직선 [math(\boldsymbol{y=x})]에 대칭이라는 관계가 있다. 다시 말해서 원래 함수의 점근선이 [math(x=p)] 및 [math(y=q)]이면, 역함수의 점근선은 [math(x=q)] 및 [math(y=p)]이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선 [math(y=x)]에 대하여 대칭이 된다.
단순 형태인 y=a/x(a는 실수인 상수)의 형태의 역함수를 구해보면, 역시 y=a/x임을 알 수 있다. 즉 기본 형태의 유리함수는 원함수(자기 자신)과 역함수가 일치한다.
3.1.1.1. 점근선
[math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0,\;p\neq 0)])
의 점근선 [math(x=p)]와 [math(y=q)]의 보다 자세한 성질은 다음과 같다.
- 두 점근선의 교점 [math((p,\,q))]에 대하여
- [math((p,\,q))]를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, [math(k)]와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. [math(k>0)]이면 -1이고 [math(k<0)]이면 1이다.
- 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다.
위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선 [math(l: y=(x-p)+q)]에 대하여
[math(\begin{aligned}\dfrac{k}{x-p}+q&=(x-p)+q\\\dfrac{k}{x-p}&=x-p\\k&=(x-p)^2 \quad \to \quad x=\sqrt k+p\end{aligned})]
두 그래프의 교점의 [math(x)]좌표 [math(x=\sqrt k+p)]를 도함수 문단을 참고하여
[math(f'(x)=-\dfrac{k}{(x-p)^2})]
에 대입하면
[math(-\dfrac{k}{(\sqrt k+p-p)^2}=-\dfrac{k}{k}=-1)]
따라서 [math(k>0)]이면 [math(f(x))]와 [math(l)]의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로, [math(k<0)]이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다.
3.1.2. 극한
[math(f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{k}{x-p}+q)]
의 극한은 점근선과 관련이 있다.
- 일반형
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{c}{a})]
- 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=\dfrac{c}{a})]에 한없이 가까워짐
- 표준형
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{k}{x-p}+q=q)]
- 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=q)]에 한없이 가까워짐
한편, 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 일반형
- [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-by+d}{ay-c}=-\dfrac{b}{a})]
- 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=-\dfrac{b}{a})]에 한없이 가까워짐
- 표준형
- [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{k}{y-q}+p=p)]
- 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=p)]에 한없이 가까워짐
4. 부분분수분해
유리함수는 다음을 만족하는 유리함수 [math( p(x)/\{q(x)\}^{n})]들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다.- [math( q(x))]는 일차함수이거나, 기약[3] 이차함수이다.
- [math( p(x))]의 차수는 [math( q(x))]의 차수보다 작다.
5. 오개념: 연속성
고등학생들의 연속함수에 대한 오개념을 다룬 논문에 따르면, 학문으로서 수학에서 공식적으로 정의하는 바에 따르면 [math(y=1/x)]와 같이 분모가 [math(0)]이 되는 [math(x)]의 값[4]이 있는 함수는 연속함수이며, 단 그 [math(x)]값에 대해서는 연속이나 불연속을 생각하지 않는다고 하고 있지만, 고등학교 교과서의 경우 교과서마다 연속함수의 정의가 달라 큰 혼란을 준다고 밝히고 있다. 결론부터 말하면 적어도 대한민국 고등학교 교육과정에서는 불연속이다.
위는 고등학교 수II 교과서(지학사)에 나와 있는 연속 및 불연속의 정의로, 연속의 정의는 학문으로서 수학(이하 전공수학)에서 연속의 정의와 배치되지 않지만, 불연속의 경우 전공수학에서 정의하는 바와 불일치한다. 전공수학에서는 함수 [math(f(x))]의 연속성은 가 [math(x=a)]에서 정의되지 않으면 연속인지 불연속인지를 따지지 않는다 (즉, 연속도 아니고, 불연속도 아니다.). 반면, 위 정의에 따르면 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 정의되지 않으면 불연속이므로, 이 부분에서 불일치가 발생하는 것이다.
또한, 전공수학에서는 함수가 정의역의 모든 원소에서 연속이면 연속함수라고 정의하므로[5], [math(y={1}/{x})]은 연속함수이다. [math(y={1}/{x})]의 정의역은 [math(x \in \mathbb{C}\backslash\{0\})][6]이고, [math(y={1}/{x})]는 정의역 상의 모든 점에서 연속이기 때문.
유리함수를 자연로그의 밑에 관한 식으로 나타내면 연속함수임이 더욱 명확히 나타남을 알 수 있다.[7][8]
[math(\begin{aligned} \dfrac{f(z)}{g(z)} &= e^{(\log \circ f)(z) - (\log \circ g)(z)} \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} \left[ \dfrac{1}{n!} \sum^{n}_{k=0} \binom{n}{k} [ (\log \circ f)(z) ]^{n - k} [ -(\log \circ g)(z) ]^{k} \right] \end{aligned})] |
나무위키 이전 버전에서는 다음 문제들이 마치 문제의 소지가 있는 것처럼 서술되어 있었지만, 이 예제는 전공수학의 관점에서 봐도 딱히 문제가 되진 않는다.
| |
| 2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 27쪽 6번 |
위 문제의 (다)는 [math(f(x)\neq0)]임을 알려주는 단서이다. 함수 [math({1}/{f(x)})]이 실수 전체의 집합에서 연속이라는 것은 실수 전체의 집합에서 정의된다는 뜻이고 (이는 전공수학에서의 정의와도 어긋나지 않는다.), [math(f(x)=0)]이 실근을 가지지 않음을 의미한다.
만약 (다)가 "함수 [math({1}/{f(x)})]은 연속함수이다."였으면 문제가 있었을 것이다. 함수 [math({1}/{f(x)})]의 연속성은 그 함수의 정의역에서만 따지므로 [math(f(x)=0)]이 되는 점 (정의역에 속하지 않는 점)은 고려할 필요가 없고, 따라서 [math(f(x)=0)]이 실근을 가지든 말든 [math({1}/{f(x)})]는 정의역의 모든 점에서 연속이기 때문. 이렇게 써있었다면 (다)는 다항함수 [math(f(x))]에 대해 아무 단서도 주지 않는 것이 된다. 고등학교 수학 과정에서는 "[math({1}/{f(x)})]는 [math(f(x)=0)]인 점에서 불연속이다."라고 해버릴 수도 있는데, 이는 앞서 말했듯이 전공수학과 배치되는 내용이므로 애초에 문제를 이렇게 내지 않는 것이 바람직하다.
2019학년도 수능에서도 비슷한 문제가 출제되었는데, 마찬가지로 [math(g(x))]가 "실수 전체의 집합에서 연속"이라고 했으므로 이는 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 정의됨을 내포하고 있다. 따라서 해설의 논리 ([math(x^2 + ax + 3 \neq 0)])가 성립하는 것. 이 역시도 전공수학의 관점에서 아무런 문제가 없다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
- 전공수학에서는 함수가 정의되지 않는 점에서는 함수의 연속 및 불연속을 따지지 않지만, 고등학교 수학에서는 불연속이라고 설명한다.
- "실수 전체의 집합에서 연속인 함수"와 같은 표현은 고등학교 수학에서나 전공수학에서나 같은 것[9]을 의미하므로, 문제가 발생할 여지가 없다.
6. 도함수
| [math(dfrac{rm d}{{rm d}x}dfrac{f(x)}{g(x)} = dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2})] |
| [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{cx+d}{ax+b} = \dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2})] |
표준형의 경우 [math(f(x)=k,\,g(x)=x-p)]라고 하면 [math(q)]는 상수이므로
[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\dfrac{k}{x-p}+q\right)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{k}{x-p}=-\dfrac{k}{(x-p)^2})]
여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 일반형
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0)]
- 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
- 표준형
- [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(x-p)^2}=0)]
- 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 일반형
- [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0)]
- 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[A]
- 표준형
- [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(y-q)^2}=0)]
- 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[A]
7. 역도함수
다음과 같이 조각적으로 정의된 함수를 생각해보자.| [math(f(x)=\begin{cases}\ln x +C& \quad (x>0)\\ \ln(-x)+D &\quad(x<0) \end{cases})] |
| [math(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,{\rm d}x=\ln|x|+ {\sf const.})] |
7.1. 특수한 경우
- [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x+a)^{n+1}}=-\dfrac{1}{n(x+a)^{n}}+C\quad (n\in\mathbb{N}))]
- [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x+a}=\ln |x+a|+C)]
- [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{|x|}= {\rm sgn}\,x \ln |x| + C)][13]
- [math(displaystyle int frac{{rm d}x}{x^2 +1} = arctan x + C)]
- [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x^2+a^2}= \frac{1}{a} \arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C)]
- [math(\displaystyle \int \frac{x^2 -1}{x^2 +1}{\rm d}x = x - 2\arctan x + C)]
- [math(displaystyle int -frac{{rm d}x}{x^2 +1} = {rm arccot}, x + C)]
- [math(displaystyle int frac{{rm d}x}{-x^2 +1} = begin{cases}{rm arcoth},x +C&{sf if};;|x|>1\ {rm artanh},x+C&{sf if};;|x|<1 end{cases})]
- [math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{\mp x^2 \pm a^2} = \begin{cases}\pm \dfrac{1}{a}{\rm arcoth}\!\left(\dfrac{x}{a}\right) +C& \quad (|x|>1)\\ \\ \pm \dfrac{1}{a}{\rm artanh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C&\quad (|x|<1) \end{cases})]
- [math(\displaystyle \int \frac{-x^2 -1}{-x^2 +1}{\rm d}x = \begin{cases}{x - 2\,\rm arcoth}\,x +C&\quad (|x|>1)\\ x-2\,{\rm artanh}\,x+C&\quad (|x|<1) \end{cases})]
- [math( \displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}{\rm d}x=\ln |f(x)|+C)] (단, [math(f(x))]는 다항식)
- [math( A_{n}=\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}})]이면, 점화식 [math( A_{n+1}=\dfrac{1}{2na^{2}}\!\left\{\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)A_{n}\right\})]이 성립한다. (단, [math( n\in\mathbb{N})]이고, [math( a\neq 0)])
(단, [math(C)]는 적분 상수이다.)
7.2. 일반적인 경우
주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단, [math( n\in\mathbb{N})], [math( b\neq 0)])- 다항함수
- [math( \dfrac{1}{(x-a)^{n}})]
- [math( \dfrac{x-a}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})]
- [math( \dfrac{1}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})]
1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서 [math( A_{n})]의 점화식을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다.
8. 정적분
- [math(\displaystyle\int^{a}_{1}\dfrac{{\rm d}x}{x}=\ln a)]
- [math(\displaystyle\int^{e}_{1}\dfrac{{\rm d}x}{x}=1)][14]
- [math(\displaystyle \int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = 2\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{2})][15]
9. 기타
- 중학교 수학에서 정비례와 반비례를 다루면서 처음 접하게 된다.
- 고등학교 교육과정상 수학의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 미적분에서는 몫의 미분법을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다.
- 미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[16], 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 계산 노가다가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 초등함수[17]와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다.[18] 따라서 Wolfram Alpha 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, 알고리즘을 이용해서 계산한다.
- 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다.
- 푸리에 변환을 하면 부호 함수를 얻을 수 있다.
[1] 실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형 [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1)] 로 변형할 수 있다. 유리함수를 45도 회전 변환하면 쌍곡선의 표준형이 나온다.[2] 중학교 수학 1학년 정비례와 반비례(쌍곡선) > 중학교 수학 3학년 이차함수(포물선) > 고등학교 수학 1학년 원의 방정식(원) 순이다. 타원은 타원 적분이라는 특수함수가 등장하므로 대학 수학에 가서야 다룬다.[3] 인수분해가 되지 않는[4] 여기서 분모가 [math(0)]이 되는 [math(x)]의 값을 고립 특이점(孤立特異點, isolated singular point)이라고 한다.[5] 출처: 해석개론(김성기, 김도한, 계승혁)[6] 즉, 0을 제외한 모든 복소수[7] 연속성의 증명은 복소미분, 정확히는 코시-리만 방정식의 해인지를 보면 된다. 유리함수를 비롯한 복소미분 가능한 함수는 항상 연속이고, 항상 테일러 급수 및 로랑 급수를 갖는다(holomorphic). 또한 닫힌 경로에서 복소선적분(contour integral)의 값이 항상 0이다.[8] 아래 식에서 [math(\binom{n}{k})]는 조합이다. 고등학교 과정에서 [math({}_n{\rm C}_k)]로 친숙할 것이다.[9] 실수 전체의 집합에서 정의되고, 모든 실수에서 연속인 함수[A] [math(y)]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.[A] [12] 하지만, 정의역 전체에서 생각해야하는 경우가 거의 없으므로 대부분 신경 안 쓰는 편. 부정적분을 활용하는 대표적인 예로는, 정적분을 계산하는 것인데, 이 경우에도 정의역에 포함되는 닫힌구간에서만 생각하는 것이다.[13] [math({\rm sgn})]은 부호 함수이다.[14] [math(e)]는 자연로그의 밑이다.[15] [math(\pi)]는 원주율이다.[16] 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.[17] 가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.[18] 수학적으로 모든 유리함수는 분모의 식이 대수학의 기본정리에 의해서 일차식의 곱으로 인수분해되고, 따라서 유리식의 표준 부분분수분해 성질에 의해서 부분분수분해되며, 그 때부터는 모든 항이 적분시 초등함수 형태가 되기 때문.