1. 개요
돈을 잃으면 잃은 돈의 두 배를 다시 베팅하는 카지노의 베팅전략 중 하나로, 니콜라 베르누이가 제시한 상트페테르부르크의 역설을 실제 전략으로 구사한 것이다.
2. 이론
승률은 50%이고 배당이 2배, 즉 이길 확률이 50%고 돈을 걸어서 이기면 건 돈의 2배를 받는 게임이 있을 때, 다음과 같은 베팅을 실행하는 것이다.- a원을 건다. 성공하면 a원 이득을 보고, 실패하면 a원 손해인 상태로 다음 단계로 넘어간다.
- 2a원을 건다. 성공하면 2a원의 이득을 보지만 앞서 a원 손해를 봤기에 결국 a원 이득이 된다. 실패하면 2a+a=3a원 손해인 상태로 다음 단계로 넘어간다.
- 4a원을 건다. 성공하면 +4a-3a=a원 이득을 보고, 실패하면 4a+3a=7a원 손해인 상태로 다음 단계로 넘어간다.
- 8a원을 건다. 성공하면 +8a-7a=a원 이득을 보고, 실패하면 8a+7a=15a원 손해인 상태로 다음 단계로 넘어간다.
...... - 2n-1a원을 건다. 성공하면 + 2n-1a - (2n-1-1)a = a원 이득을 보고, 실패하면 2n-1a + (2n-1-1)a = (2n-1)a원 손해인 상태로 다음 단계로 넘어간다.
......
이상의 과정을 성공할 때까지 무한 반복한다.
설령 11단계까지 넘어가서 1024a원을 걸어 그 판에 1024a원의 수익을 올린다 해도, 그때까지의 누적 손실액이 1023a원이기에 총 이익은 a원이 되는 것이다. 하지만 달리 말하면, 10단계까지 1023a원이라는 손해를 봤더라도 11단계에서 이기기만 하면 순식간에 모든 손해를 만회하고 a원 이득을 보게 된다.
이렇게 몇 번을 잃었든 단 한 번만 성공하면 최초 베팅 금액만큼의 돈을 따게 되는 것이 마틴게일 베팅법이다. 확률이 2분의 1인 게임의 경우 한 번이라도 이길 확률은 시행 수에 따라 50%, 75%, 87.5%...로 100%로 수렴하게 된다. 다만, 매 시행에서의 승률은 증가하지 않고 항상 50%임을 명심해야 한다.[1] 즉 베팅할 수 있는 기회와 재산이 무한할 경우 이론상 마틴게일 베팅법은 베팅하는 사람에게 처음 건 돈만큼의 금액을 확실하게 벌 수 있도록 보장해준다.
3. 한계
환급률이 1보다 작으면 돈을 잃는다.[2] 그리고 모든 도박장은 환급률이 1보다 작게 설정해 놓았다. 그게 도박장이 버는 비결이다. 세팅된 확률과 기대값이 돈을 벌고 못 벌고를 결정하는 것이지 판돈을 어떻게 거느냐가 결정하는 것이 아니다. 현실에서 마틴게일 베팅법이 손해를 보는 시행인 이유를 자세히 설명하자면 다음과 같다.- 현실의 도박 중 승률*배당이 1 이상인 게임은 없다.
도박업체도 이익업체인지라 승률*배당이 1 이상인 업소는 없다. 엄청 잘 쳐주는 업소도 땅 파서 장사하는 게 아니니 최소한 유지비와 인건비를 필요로 하므로 승률 50% 기준 배당은 약 1.9, 매우 안 쳐주는 한국 공인 프로토는 약 1.5다. 결국 2.0에 모자라는 만큼 잃게 될 것이다. 즉 2배당이 아닌 1.9배당 게임의 경우 마틴게일 식으로 하려면 2배가 아닌 2.1배씩을 걸어야 한다. 그것이 아니라면 승률 48~49%짜리 2배당 게임을 하다가 언젠가 파멸을 맞는 것일 뿐.[3] - 현실의 재산은 유한하다.
마틴게일 베팅법은 실패하는 횟수가 많을수록 걸어야 하는 돈의 액수도 기하급수적으로 늘어난다. 큰 수의 법칙이 따르려면 시행 횟수가 충분히 많아야 하는데(대체로 약 50회 이상), 돈이 유한하면 결국 잃을 확률은 0%보다 크다. 1913년 8월 18일 몬테카를로의 한 호텔에선 승률 50%의 게임에서 26번 연속으로 같은 것이 나와 도박사의 오류에 빠진 게이머들을 여럿 탕진시켰다고 한다. a*225[4]만큼의 돈이 있다면 이때도 돈을 벌었겠지만 이정도의 돈을 가진 사람은 거의 없을 것이다. 위의 동영상에서도 주인공은 계속 지다가 결국 각설탕을 다 잃고 끝났다. - 카지노의 게임엔 베팅 가능한 한도가 정해져 있다.
2번째 이유와 같은 방법으로 설명 가능하다. 카지노의 테이블은 베팅의 최소액과 상한액이 정해져있기 때문에 10회 이상 걸 수 있는 곳조차 극히 드물다. - 시간 대비 효율이 낮고, 그에 따라 인내심에 한계가 올 수 있다.
설령 '승률*배당=1 + 재산 무한 + 무한정 베팅'이라는 비현실적인 조건들이 완벽히 갖추어져 있더라도, 마틴게일 베팅법은 약간의 안정성이 있는 대신 시간적인 측면으로 봤을때 손해가 큰 베팅법이다. 거는 금액이 얼마고 시간이 얼마나 지났건 간에 성공만 하면 지금까지의 손해를 전부 만회할 수 있는 대신, 얻을 수 있는 건 딱 처음 건 돈뿐이다. 그래서, 실패한 횟수가 많을수록 시간적 측면에서의 손해는 더욱 커진다. 예를 들어 1만원으로 시작해 14번이나 실패한 이후 15번째 라운드에서 성공해 8,192만 원을 땄더라도, 누적 손실이 8,191만 원이기에 결국 순이익은 1만 원에 불과하다는 것이다. 한 게임 당 소요 시간이 1분이라고 하고 이러한 상황이 4번 연속 일어났을 경우 1시간 했을 때의 수익은 고작 4만 원이다. 이에 더해 수십 수백만의 돈이 왔다갔다 하는 도박장에서는 이런 감질나는 방식에 지칠 가능성이 높아서, 카지노에 들어온 이상 사람의 인내심이 바닥나기 마련이다. 내가 마틴게일 베팅법으로 겨우겨우 1만 원씩 따는데 옆 테이블은 과감하게 최대 금액인 몇백 만원을 걸어 승리한 후 즉시 한 판만에 자리를 뜨며 익절해 버리는 걸 보면 '그냥 한 번만 이기면 저렇게 많이 따가는데 굳이 이렇게 해야 하나?' 하는 회의감이 들기 쉽다. 이 정도면 굳이 도박사가 아니어도 메리트가 없다는 것 누구나 느낄 수 있을 것이다. 게다가 그 낮은 시간 대비 효율을 대신할 안정성이라는 것도 위에서 설명한 것처럼 완벽하지 않고 말이다.
4. 여담
현실의 도박이 아닌 게임 내 도박의 경우엔 마틴게일 베팅법이 유용한 경우가 종종 있다. 물론 게임 내 도박도 실제 도박처럼 승률*배당이 1이 넘지 않게 하는 경우가 대부분이지만[5], 플레이어가 현실의 돈을 과금하지 않거나 다른 플레이어와 경쟁하지 않는 싱글 게임의 가상 도박의 경우엔 플레이어의 승패가 현실의 손익으로 이어지지 않으므로 그냥 재미를 위해 플레이어에게 유리하게 세팅해놓기도 하는 것이다. 예를 들어 스타듀 밸리의 가을 축제 이벤트 때는 룰렛으로 축제토큰을 벌 수 있는데, 배당이 2배인데다가 승률도 언뜻 보면 1/2지만 실제로는 한쪽이 무려 75%나 되기 때문에 마틴게일 베팅법을 쓰면 무조건 딸 수 있고 증가폭도 크다. 심지어 역-마틴게일 베팅법, 즉 매번 가진 돈의 절반을 거는 방식을 써도 벌 정도다.[1] 하지만 동시에 큰 수의 법칙이 적용되므로 시행 횟수가 늘어날수록 실제로 돈을 따는 확율은 50%에 근접해진다. 즉 많이 시도하면 시도할수록 결국 시도한 횟수의 절반은 돈을 따게 된다.[2] 이는 수학적으로 증명되었다. 마팅게일 수렴 이론 참고[3] 예를 들어 카지노의 인기 게임 룰렛을 보자. 룰렛의 숫자는 1~36이니 홀수나 짝수, 혹은 검정이나 빨강, 1~18이나 19~36 중 어디에 속할지에 걸면 승률 50%에 배당은 2배라서 마틴게일 베팅법이 성립한다고 생각할 수 있다. 하지만 실제로는 여기에 녹색의 0이 있기에 승률은 50%가 조금 안되고, 이로인해 마틴게일 베팅법은 필승이 아니게 된다. 0은 수학적으로는 짝수이니 홀짝에 걸면 되지 않느냐 하지만, 최대한 돈 벌려고 드는 카지노에서는 0을 짝수로 안 쳐준다. 0 계열 칸을 짝수로 쳐주면 승률이 최소 19/37 = 약 51.35%로 올라가고 2칸 이상이면 더 많이 오르는데 당연 해줄 리가 없다. 이것도 그나마 0이 1개면 양반이고 초록색 00이나 심지어 000이 추가로 있는 경우도 있다. 보통 0과 00이 마주보는 식으로 초록 칸이 2개가 있는 경우가 많다.[4] 처음 100원을 걸었다면 33억 2천만원 가량을 걸어야하는 수준이며 33억을 걸고 고작 100원을 버는 것이다. 만약 큰 돈을 벌고자 첫 배팅이 컸다면 마지막 배팅금은 그만큼 기하급수적으로 커진다.[5] 만약 배당이 1이 넘는 경우 이 사실이 다른 플레이어들에게 알려지게 되면 거기서 나오는 아이템의 가치가 하락해 결국에는 배당이 1이 넘지 않게 조정이 된다.