| <colbgcolor=#efefef,#555555> 읽는 법 | 삼억 삼천삼백삼십삼만 삼천삼백삼십일 |
| 세는 법 | 삼억 삼천삼백삼십삼만 삼천삼백서른하나 |
| 한자 | 三億 三千三百三十三萬 三千三百三十一 |
| 일본어 | [ruby(三億三千三百三十三万三千三百三十一, ruby=さんおくさんぜんさんびゃくさんじゅうさんまんさんぜんさんびゃくさんじゅういち)] |
| 중국어 | 三亿三千三百三十三万三千三百三十一 (sānyìsānqiānsānbǎisānshísānwàn sānqiānsānbǎisānshísānyī) |
| 영어 | three hundred thirty-three million three hundred thirty-three thousand three hundred thirty-one |
1. 개요
333333331은 333333330보다 크고 333333332보다 작은 자연수이다. 3이 8개 계속되고 하나의 1로 끝난다.2. 특징
333333331은 17×19607843으로 소인수분해된다. 따라서 333333331의 진약수의 합은 1+17+19607843=19607861<333333331이므로 333333331은 부족수이다.3이 [math(n)]번 반복된 후 1이 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=1+3\cdot10\cdot\frac{10^{n}-1}{9})]로 나타낼 수 있다. 이 수열은 [math(n=1,\cdots,7)]일 때는 소수지만 [math(n=8)]일 때에는 333333331=17×19607843으로 합성수가 된다.
한때 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331이 모두 소수임이 검증된 후, 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 자연수가 모두 소수일 것[1]이라는 추론이 나오기도 했다.[2] 숫자가 커지면 소수라는 걸 손으로 확인하는 것이 오래 걸릴 수 있지만 333333331이 위와 같이 매우 작은 소수인 17로 나누어 떨어지는 것이 밝혀지면서 상황은 간단하게 종료되었다. 따라서 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 가장 작은 합성수.
일반적으로 [math(b)]진법에서 0이 아닌 [math(d)]자리수 [math(x)]가 [math(n)]번 반복된 후 0이 아닌 [math(e)]자리수 [math(y)]가 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1})]으로 나타낼 수 있다. [math(p)]가 [math(x)], [math(y)], [math(b)], [math(b^{d}-1)], [math(y(b^{d}-1)-xb^{e})]의 약수가 아니고(서로소이고), [math(b^{d})]를 원시근으로 하는 소수라고 가정하자. [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1}=0~(\mathrm{mod}~p))]는 [math((b^{d})^{n}=1-y(xb^{e})^{-1}(b^{d}-1)~(\mathrm{mod}~p))]으로 나타낼 수 있으므로, 무한히 많은(법 [math(\phi(p)=p-1)]로 같은) [math(n)]에 대해 [math(\alpha_{n})]은 [math(p)]의 배수가 된다.
예를 들어, 333333331은 17이 1, 3, 10, 9, 9-30=-21의 약수가 아니고 10을 원시근으로 하므로, [math(10^{n}=1-9\cdot30^{-1}=16~(\mathrm{mod}~17))]에 의해 [math(n=16k+8)]([math(k)]는 음이 아닌 정수)일 때 [math(x_{n})]이 17의 배수가 된다는 사실에서 합성수임을 증명할 수 있다. 더불어 [math(x_{24}=3333333333333333333333331=17×821593951×238656128290493)] 역시 17의 배수일 것이란 것도 직접 계산하지 않고 알 수 있다.
3. 다른 진법
10진법이 아닌 다른 진법에서도 한 숫자 y 앞에 y가 아닌 똑같은 숫자 x를 연달아 계속 붙여나가면서 일의 자리가 y이고, 나머지 자리(오른쪽에서 2번째 이후의 자리)는 모두 x로 되어있는 형태의 수 [3]로 소수를 최대한 길게 만들 수 있는지 알아볼 수 있는데 본 문서처럼 8번째가 되었을 때 처음으로 합성수가 나오는 사례는 드물다. 1000진법 이하에서 8번째 혹은 그 이후에서 처음으로 합성수가 나오는 경우는 아래와 같은데, 1000개 진법의 333,833,500가지 경우의 수 중에선 33가지의 경우만이 7번째까지 소수가 나오고 단지 하나의 경우만이 무려 8번째까지 소수가 이어진다.| 진법([math(b\le1000)]) | 첫자리수([math(x)]) | 끝자리수([math(y)]) | 첫 합성수([math(n_{\mathrm{min}})]) |
| 10 | 3 | 1 | 8 |
| 38 | 30 | 31 | 8 |
| 56 | 15 | 23 | 8 |
| 69 | 10 | 37 | 8 |
| 195 | 156 | 11 | 8 |
| 290 | 42 | 277 | 8 |
| 310 | 249 | 47 | 8 |
| 314 | 1 | 209 | 8 |
| 320 | 91 | 281 | 8 |
| 340 | 111 | 113 | 8 |
| 342 | 205 | 271 | 8 |
| 350 | 117 | 233 | 8 |
| 399 | 232 | 391 | 8 |
| 410 | 11 | 37 | 8 |
| 509 | 340 | 299 | 8 |
| 510 | 434 | 157 | 8 |
| 542 | 70 | 113 | 8 |
| 551 | 500 | 499 | 8 |
| 552 | 380 | 517 | 8 |
| 687 | 14 | 683 | 8 |
| 735 | 358 | 491 | 8 |
| 740 | 552 | 641 | 8 |
| 752 | 273 | 331 | 8 |
| 774 | 495 | 137 | 9 |
| 819 | 750 | 643 | 8 |
| 830 | 261 | 577 | 8 |
| 875 | 858 | 509 | 8 |
| 905 | 306 | 491 | 8 |
| 917 | 642 | 179 | 8 |
| 958 | 114 | 701 | 8 |
| 961 | 570 | 593 | 8 |
| 980 | 447 | 359 | 8 |
| 984 | 667 | 743 | 8 |
| 1000 | 213 | 281 | 8 |
[1] 한층 더 수학적인 표현으로 나타내면 '[math(3\displaystyle\sum_{k=1}^n 10^k+1)]이 [math(n)]의 값에 관계없이 소수인가'가 된다.[2] 다음으로 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 소수는 333333333333333331(33경 3333조 3333억 3333만 3331)로 3이 17개나 있다. 이처럼 수열의 초반부에만 소수가 계속되지 뒤로 갈수록 소수의 간격이 다른 수열들처럼 띄엄띄엄해진다. 예를 들어 3333333331=673x4952947, 33333333331=307x108577633이다.[3] xx...xxy의 꼴로 표현되는 수