푸앵카레 군

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1. 개요2. 정의3. 성질4. 원소와 연산5. 분류 및 특징

1. 개요

푸앵카레 군은 로런츠 군의 등거리변환적 특성을 설명하기 위한 군이다.

2. 정의

푸앵카레 군은 로런츠 군과 평행이동의 반직접곱(semidirect product)으로 다음과 같이 정의된다.

[math( R^4 \rtimes SO(1,3))]

위 정의를 로런츠 변환을 사용하여 나타내면 아래의 푸앵카레 변환을 만족하는 군이 된다.

[math({x^{\prime}}^{\mu}=\Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu)]

여기서, 다음을 만족한다.

[math( \left \{ \Lambda^\mu_\nu\right \} \in SO(1,3)\\
\left \{ a^\mu\right \} \in R^4 )]

3. 성질

푸앵카레 군은 로런츠 군에 추가적인 항이 붙어있는 형태이기 때문에 원래의 로런츠 군을 동차 로런츠 군(homogeneous Lorentz group)이라 부르고 푸앵카레 군을 비동차 로런츠 군(inhomogeneous Lorentz group)으로 부르기도 한다.

4. 원소와 연산

푸앵카레 군의 원소는 크게 다음과 같이 3개로 이루어져 있다.

[math(P)] : 시공간의 평행이동을 나타낸다.[1]
[math(J)] : 공간 회전을 나타낸다.[2]
[math(K)] : 부스트[3]를 나타낸다.

즉, [math(P)]는 시공간에 대한 원소 성분, [math(J, K)]는 공간에 대한 회전, 변환 성분임을 알수 있다. 이를 좌표계로 세분화하면 다음과 같다.

<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(P)]	[math(P_0,P_1,P_2,P_3)]
[math(J)]	[math(J_1,J_2,J_3)]
[math(K)]	[math(K_1,K_2,K_3)]

원소간 교환관계는 다음과 같다.

[math(\left[ P_j,P_k\right]=0\\
\left[ J_j,P_k\right]=i\epsilon_{jkl}P_l\\
\left[ J_j,P_0\right]=0\\
\left[ K_j,P_k\right]=i\eta_{jk}P_0\\ \left[ K_j,P_0\right]=-iP_j\\
\left[ J_j,J_k\right]=i\epsilon_{jkl}J_l\\
\left[ J_j,K_k\right]=i\epsilon_{jkl}K_l\\
\left[ K_j,K_k\right]=-i\epsilon_{jkl}J_l)]

5. 분류 및 특징

푸앵카레 군을 분류하기 위해선 보통 little group 을 사용한다. 물리학에선 물리학자 유진 위그너의 표기법을 따라 주어진 값을 불변시키는 변환들의 부분군을 little group이라 부르며 수학에선 이를 안정화 부분군(stabilizer subgroup)라 부른다. 위그너는 푸앵카레 군을 [math(p=\left (p_0,p_1,p_2,p_3\right ))]에 대한 little group 들로 분류했다. [math(p)]에 로런츠 변환을 하면 위치 [math(x)]에 의존하는 운동량 고유값을 가지게 되지만 궤도(orbit) 전체에 대해 불변하는 스칼라 값인 [math(p^2)]를 이용하면 위치 의존성을 없앨 수 있다. 이 방법으로 푸앵카레 군을 분류하면 크게 세 가지로 나눌 수 있다.

[math(p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=m^2)] : 이엽쌍곡면을 이루며 기술하는 입자는 시간꼴(time-like)로 움직인다.
[math(p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=-m^2)] : 일엽쌍곡면을 이루고 기술하는 입자는 공간꼴(space-like)로 움직이는 타키온이 된다.
[math(p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=0)] : 광원뿔을 이루며 기술하는 입자는 질량이 없는 입자가 된다.

푸앵카레 군에는 두 개의 카시미르 연산자가 존재하여 다른 연산자들과 교환법칙이 성립한다. 하나는 [math(P^\mu P_\mu)] 이며 다른 하나는 파울리-루반스키 벡터, [math(W_\mu)]의 제곱인 [math(W^\mu W_\mu)] 이다. 자세한 내용은 Wu-ki Tung의 Group Theory in Physics 참고.

푸앵카레 군은 [math(p^2=m^2)]를 만족하는 가장 일반적인 군이지만 질량이 없는 입자에 한해선 등각군(conformal group)의 특수한 경우로 볼 수도 있다. 푸앵카레 군이 10개의 생성자로 기술되는 데에 비해 등각군은 15개의 생성자로 기술된다. 등각군은 질량이 없는 입자를 서술하지만 질량이 있는 입자도 질량이 없는 장과 결합(coupling) 효과로 서술할 수 있다.

[1] 가환 리군.[2] 비가환 리군.[3] 균일적으로 이동하는 두 물체에 대한 변환