1. 예제 1: 점전하의 뒤처진 퍼텐셜
| [문제] 원점에 놓인 점전하의 전하량이 [math(q(t)=kt\,(t>0) )]로 변한다. 이 점전하에 의한 뒤처진 스칼라 퍼텐셜을 각각 구하시오. (단, [math(k)]는 상수이고, [math(t<0)]일 때, 전하량은 0이다.) |
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뒤처진 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\int_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,dV' )]
이때, 조건에 의해
[math( \displaystyle \mathbf{r'}=0 \qquad \qquad \mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad t_{r}=\frac{r}{c} )]
이므로
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}r}\int_{V} \rho(t_{r})\,dV' )]
이때, 점전하의 전하 밀도는 디락 델타 함수로 표현할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho(t_{r})&=q(t_{r})\delta(\mathbf{r'}) \\&=k \left( t-\frac{r}{c} \right)\delta(\mathbf{r'}) \end{aligned} )]
따라서 구하는 스칼라 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다. 이때, 적분 영역은 원점 부근의 [math(V \rightarrow 0)]인 극히 작은 부피 영역이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(\mathbf{r},\,t)&=\frac{k}{4 \pi \varepsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) \int_{V} \delta(\mathbf{r'})\,dV' \\ &=\frac{k}{4 \pi \varepsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) \end{aligned} )]
그러나 위의 값은 [math(r<ct)]일 때만 유효하다. 그 이유는 우리는 관측지점 [math(\mathbf{r})]에서 관측을 하고 있으므로 전하는 [math(r>ct)]일 때, 없는 것으로 관측된다. 따라서 原이 없기 때문에 관측되는 스칼라 퍼텐셜은 없어야 한다.
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{k}{4 \pi \varepsilon_{0}r} \left( t-\frac{r}{c} \right) &\quad (r<ct)\\ \\ \displaystyle 0 &\quad (r>ct)\end{array}\right. )]
2. 예제 2: 무한 도선의 뒤처진 퍼텐셜
| [문제] [math(\mathrm{(a)})]와 같이 [math(z)]축으로 놓인 무한한 도선이 있다. 이 도선에 [math(\mathrm{(b)})]와 같이 [math(t=0)] 부터 [math(I_{0})]의 전류를 흘러줬을 때, 점 [math(\mathrm{P})]에서 뒤처진 벡터 퍼텐셜을 구하시오. |
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뒤처진 벡터 퍼텐셜 선형 근사를 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.[1]
[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0} \hat{\mathbf{z}} }{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{I(t-R/c)}{R}\,dz' )]
도선에 의한 벡터 퍼텐셜은 미소 길이 [math(dz')] 만큼의 도선에서 방사된 미소 정보들의 기여분을 모두 합한 것으로 주어질 것이다. 그런데 합산되는 미소 벡터 퍼텐셜들은 점 [math(\mathrm{S})] 즉, 도선의 어떤 미소 영역으로 부터 전자기파의 형태로 관측점 [math(\mathrm{P})]에 도달한 것만이 유효하다. 다시 말하면, 어떤 시간 [math(t)]에서 도선의 각 미소 영역들은 정보를 관측점으로 보내나, 전자기파의 속도는 유한하기 때문에 모든 부분의 정보가 관측점에서 도달하지 못하고, 관측점 [math(\mathrm{P})]에 도달한 것들만 합산되어 해당 점에서 관측되는 벡터 퍼텐셜이 된다는 것이다. 이때, 어떤 시각에서 미소 영역 [math(\mathrm{S})]로 부터 관측점 [math(\mathrm{P})]까지 도달할 수 있는 [math(R_{\mathrm{max}})]은 [math(t=0)]에서 [math(\mathrm{S})]로 부터 [math(\mathrm{P})]까지 이동한 전자기파의 거리와 같다. 따라서 [math(R_{\mathrm{max}}=ct)]로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle R_{\mathrm{max}}=ct=\sqrt{\rho^{2}+z'^{2}} \, \rightarrow \, \left|z \right|=\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}} )]
이고, 이 때문에 특정 시각에서 관측점 [math(\mathrm{P})]에서 관측되는 벡터 퍼텐셜에 기여하는 것은 [math(\left|z \right| \leq \sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}})]만큼의 영역에서 방사된 정보들이다. 따라서 우리는 구하는 벡터 퍼텐셜을 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{4 \pi}\int_{-\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2} }}^{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2} }} \frac{1}{\sqrt{\rho^{2}+z'^{2} }}\,dz' \\ &=\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\left[ \frac{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}}+ct}{\rho} \right]} \end{aligned} )]
그런데 위의 값은 [math(\rho<ct)]일 때만 유효하다. 왜냐하면, 이 조건이 만족하지 않으면, 관측점에서 볼 때, 도선에 흐르는 전류는 없기 때문이다. 이에 따라 해당 조건 외의 시간에서 관측점에서의 벡터 퍼텐셜은 0이라는 사실 또한 알 수 있다. 따라서 우리는 다음과 같이 벡터 퍼텐셜이 결정됨을 쉽게 알 수 있다.
[math( \displaystyle \mathbf{A}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\left[ \frac{\sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}}+ct}{\rho} \right]} &\quad (\rho<ct)\\ \\ \displaystyle 0 &\quad (\rho>ct)\end{array}\right. )]
이제 우리는 [math(t \rightarrow \infty)] 일 때의 상황을 고려해보자. 이 경우에서
[math( \displaystyle \sqrt{(ct)^{2}-\rho^{2}} \simeq ct )]
로 쓸 수 있다. 따라서 벡터 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \mathbf{A}=-\frac{\mu_{0} I_{0} \hat{\mathbf{z} }}{2 \pi}\ln{\rho}+\mathsf{const.} )]
가 되어 정자기학적의 상황의 벡터 퍼텐셜이 됨을 알 수 있다: 다음의 예제와 비교해보라.
3. 예제 3: 변하는 전기 쌍극자
| [문제] [math(z)]축 위에 있는 두 전하 [math(+q(t))], [math(-q(t))]가 서로 [math(l)] 만큼의 거리를 두고 떨어져있다. [math(q(t)=q_{0}\sin{\omega t})]일 때, (a) 두 전하의 전기 쌍극자 모멘트를 결정하고, (b) 두 전하에 의한 방사장을 결정하시오. |
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(a)
두 전하에 의한 전기 쌍극자 모멘트는
[math(\displaystyle \mathbf{p}(t)=q_{0}l\hat{\mathbf{z}}\sin{\omega t} )]
로 쉽게 결정할 수 있다.
(b)
방사장을 결정하려면, [math(\ddot{\mathbf{p}})]를 결정해야 하고, 이것은 전기 쌍극자 모멘트의 시간의 2차 미분과 같다. 따라서
[math(\displaystyle \ddot{\mathbf{p}}=-q_{0}l\omega^{2}\hat{\mathbf{z}}\sin{(\omega t-kr)} )]
로 쉽게 결정할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{q_{0}l\omega^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{2}r}\sin{(\omega t-kr)}[\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot \hat{\mathbf{z}})-\hat{\mathbf{z}} ] \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=\frac{\mu_{0}q_{0}l\omega^{2}}{4 \pi c r}\sin{(\omega t-kr)} [\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{z}}] \end{aligned} )]
이고, 최종적으로 다음과 같이 방사장이 결정된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{q_{0}l\omega^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{2}r} \hat{\boldsymbol{\theta}} \sin{(\omega t-kr)}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)&=-\frac{\mu_{0}q_{0}l\omega^{2}}{4 \pi c r} \hat{\boldsymbol{\phi}} \sin{(\omega t-kr)}\sin{\theta} \end{aligned} )]
[1] [math(R=\left|\mathbf{r-r'} \right|)], [math(\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} )], [math(\mathbf{r'}=z'\hat{\mathbf{z}} )]이다.