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이 상황에서 구는 표면 전하 밀도 [math(\sigma=Q/(4 \pi R^{2}) )]으로 대전되었으므로, 표면 전류 밀도는
[math( \displaystyle \mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}=\frac{Q \omega_{0}}{4 \pi R}\sin{\theta} \hat\boldsymbol{\phi} )]
이다. 따라서 구하는 벡터 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' )]
이다. 이때, [math(\mathbf{r'}=R \hat \mathbf{r})]이고, 구면 좌표계에서 다중극 전개를 이용하자. 또한, 이 영역에서는 [math(r'>r)]이므로
[math( \displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') )]
으로 전개할 수 있다. [math(Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi))]는 구면 조화 함수이다. 따라서 적분은 |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A(r)}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \mathbf{K(r')} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \mathbf{K(r')} Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \end{aligned} )]
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으로 바뀐다. 또한,
[math(\displaystyle \begin{aligned} Y_{1}^{-1}(\theta,\,\phi)&=\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}-i\sin{\phi}) \\ Y_{1}^{1}(\theta,\,\phi)&=-\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{aligned} )]
를 이용하면, 표면 전류 밀도 |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K(r')}&=\sigma \sin{\theta '}(-\sin{\phi '} \hat{\mathbf{x}}+\cos{\phi '} \hat{\mathbf{y}}) \\ &=\frac{\sigma}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{x}}+\sigma \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')-Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{y}} \end{aligned} )]
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으로 구면조화함수의 합으로 전개할 수 있다. 따라서 |
[math( \displaystyle A_{x}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,d {\Omega} ' )]
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이 된다. [math(\Omega')]는 원천 점(Source point)의 입체각(Solid angle)이며, [math(d {\Omega}'=\sin{\theta'} \,d\theta' d \phi')]이다. 이때, 구면조화함수의 규격화 조건에 의해
[math( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} Y_{l}^{m}(\theta',\, \phi')Y_{t}^{s \ast}(\theta ',\, \phi ')\,d \Omega '=\delta_{l t}\delta_{m s} )]
를 만족한다. 위에서 [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다. 따라서 이것을 이용하면, 위 적분의 결과는 |
[math(\displaystyle \begin{aligned} A_{x}(\mathbf{r})&=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}} [\delta_{1l}\delta_{-1m}+\delta_{1l}\delta_{1m}] Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{4\pi}{3} \frac{r}{R^{2}} \left[ \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} [ Y_{1}^{-1}(\theta ,\, \phi )+Y_{1}^{1}(\theta ,\, \phi ) ] \right] \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} {r} (-\sin{\theta} \sin{\phi}) \end{aligned} )]
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로 구할 수 있고, 동일한 방법으로,
[math( \displaystyle A_{y}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} \frac{r}{R^{2}} (\sin{\theta} \cos{\phi}) )]
이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정된다.
[math( \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi R^{2}} {r} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r<R) )]